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机械CAD CAM 讲稿 第3讲 第2章计算机图形学基础 2 1计算机图形学概述 1 图形生成 构成的两要素 计算机图形处理的任务就是在计算机内部完成图形生成 存储 变换以及图形的组合 分解和运算 通过图形显示器 绘图机或外设接口显示 输出图形 1 刻画形状的点 线 面 2 物体的表面属性 明暗 灰度 色彩等非几何要素 2 在计算机中表达图形的两种方法 1 点阵法 即由构成图形的点阵来表示 点阵中的所有点都具有一定的灰度和色彩 通常我们把用点阵法生成的图形叫做像素图形 简称图像 2 参数法 通过在计算机内部记录图形的形状参数与属性参数来表达图形的一种方法 其中形状参数是指描述物体的形状和大小的参数 如线段的起点和终点等 属性参数是指颜色 线形等非几何属性 通常我们把用参数法描述的图形叫做参数图形 简称图形 2 2坐标系及齐次坐标系定量地描述物体的几何形状 大小和方位 必须使用坐标系 计算机图形学中主要使用笛卡儿直角坐标系 坐标系分类 1 世界坐标系 WorldCoordinatesSystem 简称WCS 2 设备坐标系 DeviceCoordinatesSystem 简称DCS 齐次坐标的概念齐次坐标就是用n 1维矢量来表示一个n维空间的位置矢量 如果将一个n维空间位置矢量Z xxx x 放到n 1维空间表示为 ZZZ ZH 使得 x Z H x Z H x Z H x Z H 我们就称 ZZZ ZH 是矢量Z的齐次坐标 其中H为一个不等于零的比例因子 当H 0时 则表示一个n维空间的无穷远点 当H 1时 则称为规范化齐次坐标 例如平面上点P x y 的规范化齐次坐标就是 x y 1 齐次坐标表示法的好处 提供了统一的矩阵表示方法 2 3图形的几何变换 图形变换就是指对图形的几何信息进行几何变换后产生新的图形 实际上图形变换就是图形中每个点的坐标变换 坐标变换后新的点集就构成了新的几何图形 引入齐次坐标为几何图形的坐标变换提供了统一的矩阵运算方法 以便于计算机对二维 三维甚至高维空间的几何图形进行单一几何变换及复合变换 二维齐次坐标变换矩阵的通式为 T 三维齐次坐标变换矩阵的通式为T 2 3 1二维图形的几何变换 二维图形几何变换就是指对图形的几何信息进行几何变换后产生新的二维图形 实际上图形变换就是图形中每个点的坐标变换 坐标变换后新的点集就构成了新的几何图形 二维图形几何变换有四种基本变换 平移变换 旋转变换 比例变换 错切变换二维齐次坐标变换矩阵的通式为 T 2 3 1二维图形的几何变换 二维齐次坐标变换矩阵的通式为 T 其中 m l x y方向的平移量 s 整体缩放量 p q 投影变换因子 a b c d 比例 旋转 对称 错切变换有关 2 3 1二维图形的几何变换 1 二维平移变换 图形上每个点移动相同的距离 变换矩阵T 其中 m l x y方向的平移量 s 1 p q 0 a d 1 b c 0 2 3 1二维图形的几何变换 x y 1 x y 1 T x l y m 1 变换矩阵T 2 3 1二维图形的几何变换 2 3 1二维图形的几何变换 举例 A 1 4 B 1 1 C 3 1 作平移变换 l 4 m 2 2 3 1二维图形的几何变换 变换后 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 Xa Ya 1 T B Xb Yb 1 Xb Yb 1 T C Xc Yc 1 Xc Yc 1 T T 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 XaYa1 T 141 561 B Xb Yb 1 XbYb1 T 111 531 C Xc Yc 1 XcYc1 T 311 731 2 3 1二维图形的几何变换 2 二维绕原点的旋转变换 图形上每个点绕原点做一定角度的旋转 变换矩阵T 其中 绕原点旋转角度 s 1 p q 0 l m 0 2 3 1二维图形的几何变换 x y 1 x y 1 T xcos ysin xsin ycos 1 顺时针旋转 0 变换矩阵T 2 3 1二维图形的几何变换 2 3 1二维图形的几何变换 举例 A 1 4 B 1 1 C 3 1 顺时针旋转90 90 2 3 1二维图形的几何变换 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 Xa Ya 1 T B Xb Yb 1 Xb Yb 1 T C Xc Yc 1 Xc Yc 1 T T 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 XaYa1 T 141 4 11 B Xb Yb 1 XbYb1 T 111 1 11 C Xc Yc 1 XcYc1 T 311 1 31 2 3 1二维图形的几何变换 3 二维绕原点为中心的比例变换 图形上每个点以原点为中心按一定的比例放大 缩小 变换矩阵T x y 1 x y 1 T x Sxy Sx1 其中 Sx Sy x y方向的比例因子 不同的取值有几种情况 Sx Sy 1 恒等比例变换 图形不变化 Sx Sy 1 等比例放大变换 图形变大 Sx Sy 1 等比例缩小变换 图形变小 Sx不等于Sy 非均匀比例变换 图形变形 2 3 1二维图形的几何变换 Sx Sy 1 恒等比例变换 图形不变化 2 3 1二维图形的几何变换 Sx Sy 1 等比例放大变换 图形变大 2 3 1二维图形的几何变换 Sx Sy 1 等比例缩小变换 图形变小 2 3 1二维图形的几何变换 Sx不等于Sy 非均匀比例变换 图形变形 2 3 1二维图形的几何变换 举例 A 1 4 B 1 1 C 3 1 作等比例放大 Sx Sy 2 2 3 1二维图形的几何变换 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 Xa Ya 1 T B Xb Yb 1 Xb Yb 1 T C Xc Yc 1 Xc Yc 1 T T 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 XaYa1 T 141 281 B Xb Yb 1 XbYb1 T 111 221 C Xc Yc 1 XcYc1 T 311 621 2 3 1二维图形的几何变换 4 错切变换 图形上每个点在两坐标轴方向作线性变换 变换矩阵T 其中 s 1 p q 0 l m 0 a d 1 x y 1 x y 1 T x cybx y1 2 3 1二维图形的几何变换 b 0 c 0 2 3 1二维图形的几何变换 b 0 c 0 2 3 1二维图形的几何变换 举例 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 作错切变换 b 2 c 0 2 3 1二维图形的几何变换 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 Xa Ya 1 T B Xb Yb 1 Xb Yb 1 T C Xc Yc 1 Xc Yc 1 T T 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 XaYa1 T 1 11 1 11 B Xb Yb 1 XbYb1 T 111 131 2 3 1二维图形的几何变换 计算 C Xc Yc 1 XcYc1 T 1 11 111 D Xd Yd 1 XdYd1 T 1 11 1 31 2 3 1二维图形的几何变换 5 对称变换 图形上每个点相对轴作对称图形 变换矩阵T 其中 s 1 p q 0 l m 0 x y 1 x y 1 T ax cybx dy1 2 3 1二维图形的几何变换 b c 0 a 1 d 1 关于Y轴对称 X XY Y 2 3 1二维图形的几何变换 b c 0 a 1 d 1 关于X轴对称 X XY Y 2 3 1二维图形的几何变换 b c 0 a d 1 关于原点对称 X XY Y 2 3 1二维图形的几何变换 b c 1 a d 0 关于Y X轴的对称变换 X YY X 2 3 1二维图形的几何变换 b c 1 a d 0 关于Y X轴的对称变换 X YY X 2 3 1二维图形的几何变换 举例 A 1 4 B 1 1 C 3 1 作关于Y X轴的对称变换 2 3 1二维图形的几何变换 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 Xa Ya 1 T B Xb Yb 1 Xb Yb 1 T C Xc Yc 1 Xc Yc 1 T T 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 XaYa1 T 141 4 11 B Xb Yb 1 XbYb1 T 111 1 11 2 3 1二维图形的几何变换 计算 C Xc Yc 1 XcYc1 T 311 1 31 2 3 1二维图形的几何变换 6 复合变换 图形上每个点作一次以上的基本变换 任何复杂变换都可以分解成几个基本变换的复合变换 变换的结果是每次变换的矩阵相乘 基本变换分别为 T1 T2 T3 则变换矩阵T T1 T2 T3 坐标为 x y 1 x y 1 T x y 1 T1 T2 T3 2 3 1二维图形的几何变换 举例 图形绕任意点P m n 作旋转 角的变换 可以分解成如下基本变换 2 3 1二维图形的几何变换 P m n 点与图形一起平移到原点 变换矩阵为 T1 2 3 1二维图形的几何变换 P m n 点与原点重合图形绕原点旋转 角 变换矩阵为 T2 2 3 1二维图形的几何变换 P m n 点与图形一起平移回原来的P m n 点 变换矩阵为 T3 2 3 1二维图形的几何变换 图形绕任意点P m n 作旋转 角的变换为 T T1 T2 T3 2 3 1二维图形的几何变换 变换后图形上的点 x y 1 xy1 T 2 3 1二维图形的几何变换 实例计算 A 1 1 1 B 2 1 1 C 2 3 1 作绕A点的顺时针旋转45 变换 解 T1 2 3 1二维图形的几何变换 T2 T3 2 3 1二维图形的几何变换 T T1 T2 T3 2 3 1二维图形的几何变换 计算 B Xb Yb 1 XcYc1 T 211 1 7070 2931 C Xc Yc 1 XcYc1 T 231 3 1211 7071 2 3 1二维图形的几何变换 2 3 2三维图形的几何变换 三维图形几何变换就是指对图形的几何信息进行几何变换后产生新的三维图形 实际上图形变换就是图形中每个点的坐标变换 坐标变换后新的点集就构成了新的几何图形 三维图形几何变换有四种基本变换 平移变换 旋转变换 比例变换 错切变换三维齐次坐标变换矩阵的通式为 T 2 3 2三维图形的几何变换 三维齐次坐标变换矩阵的通式为 T 其中 a41 a42 a43 x y z方向的平移量 a44 整体缩放量 a14 a24 a33 投影变换因子 a b c d 比例 旋转 对称 错切变换有关 2 3 2三维图形的几何变换 比例 旋转 错切变换与有关 2 3 2三维图形的几何变换 1 三维平移变换 图形上每个点移动相同的距离 变换矩阵T 其中 Tx Ty Tx x y z方向的平移量 2 3 2三维图形的几何变换 x y z 1 x y z 1 T x Tx y TY z Tz 1 变换矩阵T 2 3 2三维图形的几何变换 2 三维绕坐标轴的旋转变换 图形上每个点绕坐标轴做一定角度的旋转 绕X坐标轴的旋转变换 变换矩阵T 其中 绕原点旋转角度 x y z 1 x y z 1 T 2 3 2三维图形的几何变换 2 三维绕坐标轴的旋转变换 图形上每个点绕坐标轴做一定角度的旋转 绕Y坐标轴的旋转变换 变换矩阵T 其中 绕原点旋转角度 x y z 1 x y z 1 T 2 3 2三维图形的几何变换 2 三维绕轴的旋转变换 图形上每个点绕坐标轴做一定角度的旋转 绕Z坐标轴的旋转变换 变换矩阵T 其中 绕原点旋转角度 x y z 1 x y z 1 T 2 3 2三维图形的几何变换 三维绕过原点的任意轴的旋转变换 图形上每个点绕此任意轴做一定角度的旋转 此任意轴的方向向量 n1 n2 n3 变换矩阵T 其中 绕原点旋转角度 x y z 1 x y z 1 T 2 3 2三维图形的几何变换 三维绕过任意轴AB的旋转变换 图形上每个点绕此任意轴做一定角度的旋转 此任意轴的方向向量 n1 n2 n3 任意轴AB端点坐标A a1 a2 a3 为已知 分下面几步 I A点及图形平移到原点变换 变换矩阵T1 II 作过原点的任意轴AB的旋转变换 变换矩阵T2 III A点及图形平移到原来点 变换矩阵T3 2 3 2三维图形的几何变换 T1 T2 2 3 2三维图形的几何变换 T3 2 3 2三维图形的几何变换 3 三维相对原点为中心的比例变换 图形上每个点以原点为中心按一定的比例放大 缩小 变换矩阵T x y z 1 x y z 1 T x Sx y Sx z Sz 1 2 3 2三维图形的几何变换 变换矩阵T 其中 Sx Sy Sz x y z方向的比例因子 不同的取值有几种情况 Sx Sy Sz 恒等比例变换 Sx Sy 1 Sz 1 相对XOY平面的对称变换 Sx Sy Sz1 等比例放大变换 图形变大 Sx Sy Sz 1 相对原点的对称变换 Sx Sy Sz互不相等 非均匀比例变换 图形变形 2 3 2三维图形的几何变换 4 三维图形的错切变换 变换矩阵T x y z 1 x y z 1 T x dy y bx cx fy 1 2 3 2三维图形的几何变换 举例 A 1 0 1 B 1 0 2 C 2 0 1 D 1 2 1 顺时针绕Y轴旋转90 90 T 2 3 2三维图形的几何变换 计算 A B C D坐标组成矩阵 变换矩阵T 2 3 2三维图形的几何变换 坐标计算 2 3 2三维图形的几何变换 2 3 2三维图形的几何变换 举例 A 1 0 1 B 1 0 2 C 2 0 1 D 1 2 1 作相对XOY平面的对称变换 T 2 3 2三维图形的几何变换 计算 A B C D坐标组成矩阵 变换矩阵T 2 3 2三维图形的几何变换 坐标计算 2 3 2三维图形的几何变换 2 3 2三维图形的几何变换 2 3 2三维图形的几何变换 2 3 2三维图形的几何变换 举例 A 1 4 B 1 1 C 3 1 顺时针旋转90 90 2 3 1二维图形的几何变换 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 Xa Ya 1 T B Xb Yb 1 Xb Yb 1 T C Xc Yc 1 Xc Yc 1 T T 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 XaYa1 T 141 4 11 B Xb Yb 1 XbYb1 T 111 1 11 C Xc Yc 1 XcYc1 T 311 1 31 2 3 1二维图形的几何变换 3 二维绕原点为中心的比例变换 图形上每个点以原点为中心按一定的比例放大 缩小 变换矩阵T x y 1 x y 1 T x Sxy Sx1 其中 Sx Sy x y方向的比例因子 不同的取值有几种情况 Sx Sy 1 恒等比例变换 图形不变化 Sx Sy 1 等比例放大变换 图形变大 Sx Sy 1 等比例缩小变换 图形变小 Sx不等于Sy 非均匀比例变换 图形变形 2 3 1二维图形的几何变换 Sx Sy 1 恒等比例变换 图形不变化 2 3 1二维图形的几何变换 Sx Sy 1 等比例放大变换 图形变大 2 3 1二维图形的几何变换 Sx Sy 1 等比例缩小变换 图形变小 2 3 1二维图形的几何变换 Sx不等于Sy 非均匀比例变换 图形变形 2 3 1二维图形的几何变换 举例 A 1 4 B 1 1 C 3 1 作等比例放大 Sx Sy 2 2 3 1二维图形的几何变换 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 Xa Ya 1 T B Xb Yb 1 Xb Yb 1 T C Xc Yc 1 Xc Yc 1 T T 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 XaYa1 T 141 281 B Xb Yb 1 XbYb1 T 111 221 C Xc Yc 1 XcYc1 T 311 621 2 3 1二维图形的几何变换 4 错切变换 图形上每个点在两坐标轴方向作线性变换 变换矩阵T 其中 s 1 p q 0 l m 0 a d 1 x y 1 x y 1 T x cybx y1 2 3 1二维图形的几何变换 b 0 c 0 2 3 1二维图形的几何变换 b 0 c 0 2 3 1二维图形的几何变换 举例 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 作错切变换 b 2 c 0 2 3 1二维图形的几何变换 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 Xa Ya 1 T B Xb Yb 1 Xb Yb 1 T C Xc Yc 1 Xc Yc 1 T T 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 XaYa1 T 1 11 1 11 B Xb Yb 1 XbYb1 T 111 131 2 3 1二维图形的几何变换 计算 C Xc Yc 1 XcYc1 T 1 11 111 D Xd Yd 1 XdYd1 T 1 11 1 31 2 3 1二维图形的几何变换 5 对称变换 图形上每个点相对轴作对称图形 变换矩阵T 其中 s 1 p q 0 l m 0 x y 1 x y 1 T ax cybx dy1 2 3 1二维图形的几何变换 b c 0 a 1 d 1 关于Y轴对称 X XY Y 2 3 1二维图形的几何变换 b c 0 a 1 d 1 关于X轴对称 X XY Y 2 3 1二维图形的几何变换 b c 0 a d 1 关于原点对称 X XY Y 2 3 1二维图形的几何变换 b c 1 a d 0 关于Y X轴的对称变换 X YY X 2 3 1二维图形的几何变换 b c 1 a d 0 关于Y X轴的对称变换 X YY X 2 3 1二维图形的几何变换 举例 A 1 4 B 1 1 C 3 1 作关于Y X轴的对称变换 2 3 1二维图形的几何变换 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 Xa Ya 1 T B Xb Yb 1 Xb Yb 1 T C Xc Yc 1 Xc Yc 1 T T 2 3 1二维图形的几何变换 计算 A Xa Ya 1 XaYa1 T 141 4 11 B Xb Yb 1 XbYb1 T 111 1 11 2 3 1二维图形的几何变换 计算 C Xc Yc 1 XcYc1 T 311 1 31 2 3 1二维图形的几何变换 6