高等数学(上)第五章定积分总结.doc

第五章 定积分内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。1.定积分的概念一、实例分析1曲边梯形的面积y=f (x)x=a x=b设函数Ca, b, 且0. 由曲线围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积?(1) 矩形面积=底高.(2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高.(3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小.y=f (x)a=x0 x1 xi-1 xi xn=b第i个细长条面积曲边梯形面积: 定积分概念示意图.ppt定义: 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分.二、定积分的定义1. 定义设在a, b有定义, 且有界.(1) 分割: 用分点把a, b分割成n个小区间:(2) 取点: 在每个小区间上任取一点xi, 做乘积: .(3) 求和: (4) 取极限: 若极限存在, 则其为在a, b上的定积分, 记作: . 即: a, b: 积分区间；a：积分下限；b：积分上限；积分和式.问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?注: (1) 与区间的分割法Dxi和取点法xi有关; 而与Dxi和xi无关.(2) 与a、b、f 有关，与x无关，即：2定积分存在定理定理 若在a, b上有界且只有有限个间断点，则在a, b上可积.推论 若在a, b上连续，则在a, b上可积.例1. 求解: 在0, 1连续, 积分存在. 与0, 1的分割法和xi的取法无关. 选取特殊的分割法和取点法, 可使计算简便.(1) 将0, 1n等分, (2) 取点xi=(3) 求和(4) 取极限故3. 定积分的几何意义若在a, b上非负, 则=曲边梯形面积;S+S+S-若在a, b上非正, 则=曲边梯形面积的负值;的几何意义是由曲线围成曲边梯形面积的代数和. 例2. . 三、定积分的性质1规定2性质a c ba b c(4) 若在a, b上有，则推论1 若，则推论2 (5) 设M、m分别为在a, b上的最大、最小值，则(6) (积分中值定理) 设, 则, 使得y=f()将中值定理变形得：称为在a, b上的平均值.2. 微积分基本公式一、变速直线运动中的位置函数与速度函数之间的关系（略）二、积分上限的函数及其导数设在a, b上连续, 则xa, b, 有在a, x上连续. 从而存在. 在这里, 积分上限x与被积变量x的性质是不同的. 与a、b、f 有关，与x无关. 与a、x、f 有关. 对于a, b上的任一点x, 有一个确定的对应值, 故是x的函数, 记作F(x), 即:称为积分上限的函数.定理 若在a, b上连续, 则积分上限的函数在a, b上可导, 且 证明: .注: 若在a, b上不连续, 则最后一个等式不成立.此定理说明, 是的一个原函数.例1. 例2. , 求例3. 求极限.三、牛顿莱布尼茨公式定理 若在a, b上连续, 是的一个原函数，则证明：是的一个原函数, 也是的一个原函数, 同一个函数的两个原函数之间相关一个常数, 于是有:例1. 例2. 例3例4例5. 例6. 注：在数学计算过程中, 要对结论(答案)作合理性检验. 3. 定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法定理 若满足如下条件：(1) 是,(或,)上单值单调函数;(2) 在,(或,)有连续导数;(3) 则: .例1. 令. 当x=0时, t=1; 当x=4时, t=3.(若不定积分掌握得很好得话, 可以直接凑微分:)与不定积分换元法相比较, 有两点不同:(1) 积分变量由x变为t时, 积分的上下限也要随之改变;(2) 求出关于t的原函数后无须回代成x的函数.例2. 注：换元积分公式，满足所要求的条件很重要，如：而事实上，其原因在于在t=0不可导.例3. 证明: (1) 若是-a, a上的偶函数, 则(2) 若证明是-a, a上的奇函数, 则证明: 此例提示我们, 在计算定积分时, 看到对称的积分限, 要保持敏感.页：10例.例4. , 证明: 并计算二、定积分的分部积分法定积分的分部积分法适用的函数类型与不定积分的分部积分法相同.例1. 例2. 例3. 积分公式：例44. 反常积分（广义积分）定义定积分需满足如下条件: (1) 有界 (2) 只有有限个间断点 (3) a, b为确定的数值, 即积分限是有限值. 反常积分是对无穷积分限和无界函数定义的积分.一、无穷限的反常积分定义 设, 取ta, 若极限存在, 则称此极限为上的反常积分, 记作, 即:存在, 也称为收敛; 若不存在, 则称发散.类似地, 定义: 注: 例1. 例2. 例3. 故发散.二、无界函数的反常积分定义 设, 取bta, 若极限存在, 则称此极限为上的反常积分, 仍记作, 即:亦称为收敛; 否则，称发散.类似地, 定义: 注: 例4. 例5. 例6. 故发散.注: 计算前, 首先判断在a, b上是否有无穷点. 定积分小结一、基本概念1定积分2变上限积分函数3广义积分（1）无穷积