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2009年线性代数试卷答案一、 选择题：（每题3分，共18分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 二、填空题：（每题3分，共18分）7. ； 8. ； 9. ； 10. ； 11. ； 12. 三、计算与证明13. 14.15. ，其同解方程组为解得基础解系为 正交化 单位化 16. 所以且为向量组的一个极大线性无关组. 由于, 所以线性相关, 从而由此解得又可由线性表示, 从而可由线性表示, 所以线性相关, 于是解之得. 于是17. 设存在一组数使得，即 （1）当有当时，方程组无解，故当 不能由线性表示；（2）当 方程组有唯一解故当可由唯一地线性表示，其表示式为（3）当 方程组有无穷多解，故可由线性表示，但表示法不唯一18.（1）设存在一组数使得 左乘 即 又即 得 因为 线性无关，所以 即 将代入得 故 线性无关；（2）令19.（1），由得，即，又即（2）的特征值的属于的线性无关的特征向量为的属于的线性无关的特征向量为易见两两正交，将单位化，得取，则为正交矩阵。令，得 20. 充分性 对 即 正定；必要性 设为的特征值，由于正定，所以为
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