【教学设计】《2

教材分析一元二次不等式的解法1.本节内容对学生来说不算太陌生，涉及的概念也不算多，所表现的数学基本思想也不复杂。但是，一元二次不等式解法作为高中数学最重要的内容之一，也是中学数学的一个基础和工具。由于一元二次不等式的解法与二次函数联系紧密，而二次函数又是学生在初中数学学习中的一个薄弱环节，因此很多学生对此学习表现出困惑。要使学生通过学习本节内容后，达到新课标所规定的要求却并非易事。2本节分为三部分第1部分，通过师生共同分析日常生活中的实际问题，引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念，总结一元二次不等式的解法与二次函数的关系和解一元二次不等式的步骤。然后用一个流程图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来。根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系。第2部分，通过例题的讲解和学生的练习，进一步发现、深入、探究揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，继续探究一元二次不等式解法的基本方法，及时加以巩固第3部分，研究含有参数的一元二次不等式的解法。通过例题的探究和变式训练，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。 教学目标【知识与能力目标】深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系，逐步提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。【过程与方法目标】通过含参不等式的探究，正确地对参数分区间进行讨论。由于字母较多又要讨论，所以往往成为学生的薄弱环节，要通过借助数轴的直观效果，熟练掌握。【情感态度价值观目标】通过图像解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质。 教学重难点【教学重点】从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，突出体现数形结合的思想. 熟练地掌握一元二次不等式的解法。 【教学难点】深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系。 课前准备 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 教学过程一、导入部分汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”。刹车距s(m)与车速x(km/h)之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同。它是分析交通事故的一个重要数据。1、 乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40 km/h以内，由于突发情况，两车相撞了。交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12 m，乙车的刹车距离刚刚超过了10 m，又知这两辆汽车的刹车距s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系：谁的车速超过了40 km/h，谁就违章了。试问：哪一辆车违章行驶？由题意，只需分别解出不等式和，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶。由此引出一元二次不等式的概念。 二、研探新知，建构概念1.一元二次不等式：形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)的不等式(其中a0)，叫作一元二次不等式。如2x23x20,3x26x2，2x230等都是一元二次不等式探究：一元二次不等式的解集。怎样求不等式的解集呢？（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：二次函数有两个零点：于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。（2）观察图象，获得解集画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：当 x5时，函数图象位于x轴上方，此时，y0,即；当0x5时，函数图象位于x轴下方，此时，y0,即；所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。2.解一元二次不等式的步骤：任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：（1）确定对应方程的解（2）画出对应函数图像的简图（3）由图像得出不等式的解集 3. “三个二次”之间的关系：b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图像ax2bxc0的根x1,2x1x2ax2bxc0的解集x|xx1或xx2Rax2bxc0的解集x|x1xx2三、质疑答辩，发展思维 例1 解不等式3x25x20活动：本例目的是让学生熟悉怎样结合二次函数、一元二次方程求解一元二次不等式，以及怎样书写解题步骤和解集。本题难度不大，但需要学生最终达到得心应手的熟练程度，因此需要学生多加练习。本例可让学生自己解决，充分暴露问题，然后教师一一纠正点拨。解：方程3x25x20的两解是x12，x2.函数y3x25x2的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(2,0)和 (如图1)。图1观察图像可得，不等式的解集为点评：根据不等式3x25x20的解集，你能得出不等式3x25x20的解集吗？与同学交流各自的结论，体会一元二次不等式与二次函数及二次方程的关系。来源变式训练1.求不等式9x26x10的解集。活动：教师引导学生观察不等式左边二次三项式的特点，这是一个完全平方式，其值恒为非负，引导学生结合二次函数y9x26x1的图像得出解集。图2解：方程9x26x10有两个相同实数解：x1x2函数y9x26x1的图像是开口向上的抛物线，与x轴仅有一个交点 (如图4)观察图像可得，不等式的解集是点评：提醒学生要规范书写，最后结果可以写成，但不能写成x2.解不等式：x24x50解：方程x24x50无实数解，函数yx24x5的图像是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图3)。图3观察图像可得，不等式的解集为R例2 解不等式3x215x12活动：本例的二次项系数为负，教师引导学生先将不等式变为标准形式，即3x215x120，进一步化简得x25x40，然后结合二次函数图像及一元二次方程即可求解。可由学生自己完成。解：原不等式可化为x25x400，且方程x25x40的两根为x11，x24，原不等式的解集为x|1x4点评：点拨学生充分利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，并让学生用类似a0时的解题步骤求解。变式训练：3.解不等式：x24x40活动：本题与上例属于同一类型的不等式，可引导学生仿照上例解法二求解。图3解：把不等式化成x24x40方程x24x40的解为x1x22画出函数yx24x4的图像简图(如图9)观察图像，得出原不等式的解集为点评：教师引导学生对一元二次不等式的解法进行总结。一般地，对于a0的一元二次不等式，可以直接采取类似a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解。例3.设A，B分别是不等式3x2619x与不等式2x23x50的解集，试求AB，AB活动：本例是与集合有关的一元二次不等式的应用，点拨学生注意不论是解一元二次不等式，还是集合运算，都要充分利用数形结合的思想。解：由3x2619x，得3x219x60.方程3x219x60的解为x1，x26.函数y3x219x6的图像开口向上且与x轴有两个交点和(6,0)所以，原不等式的解集为A同理可得，不等式2x23x50的解集为B所以AB，ABx|1x6点评：正确解决本例的关键是准确熟练地写出一元二次不等式的解集。例4 解关于x的不等式：x2(2m1)xm2m0活动：本例含有字母m，对不等式的解集产生影响。由于对应方程的两根为m，m1，且mm1，则根据二次函数图像不难写出解集。解：方程x2(2m1)xm2m0的解为x1m，x2m1，且知mm1二次函数yx2(2m1)xm2m的图像开口向上，且与x轴有两个交点。所以，不等式x2(2m1)xm2m0的解集为x|mxm1点评：充分利用“三个二次”之间的关系。变式训练：4.解关于x的不等式：x2(1a)xa0活动：本题对应的方程的两个根分别为1，a，这里的字母a与1的大小关系不能确定，因此需分类讨论。解：方程x2(1a)xa0的解为x11，x2a函数yx2(a1)xa的图像开口向上，所以(1)当a1时，原不等式的解集为(a，1)；(2)当a1时，原不等式的解集为；(3)当a1时，原不等式的解集为(1，a)点评：分类讨论思想是中学数