【教学设计】《4

教材分析 4.2 简单线性规划教材的内容着重介绍线性规划的有关概念，并且推导出了“最优解一般在可行域的边界上，而且通常在可行域的顶点处取得”的重要结论。 教学目标【知识与能力目标】使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；【过程与方法目标】经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；【情感态度价值观目标】培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 教学重难点【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题。 【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解。 课前准备 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 教学过程一、导入部分引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组： .（1）（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。（5）获得结果：由上图可以看出，当实现金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。 二、研探新知，建构概念1线性规划中的基本概念线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解。由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。2求目标函数最值的步骤在约束条件下，当b0时，求目标函数zaxbyc的最小值或最大值的求解程序为：(1)作出可行域；(2)作出直线l0：axby0；(3)确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值。自主检验：判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值。()(2)线性目标函数的最优解是唯一的。()(3)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距。()【解析】(1)最优解指的是使目标函数取得最值的可行解(x，y)。(2)最优解不一定唯一，可能有无穷多个。(3)z的几何意义是直线axbyz0在y轴上截距得b倍。【答案】(1)(2)(3)三、质疑答辩，发展思维 例1 若x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_【精彩点拨】作出可行域，观察目标函数何时取得最小值，求出点的坐标代入目标函数即可。【解析】不等式组表示的可行域如图阴影部分所示。由zx2y得yxz平移直线yx，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z3245【答案】5点评：1将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解。2当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个。变式训练1设x，y满足约束条件则z2x3y5的最小值为_【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示。由题意可知，当直线yx过点A(1，1)时，z取得最小值，即zmin2(1)3(1)510【答案】10例2. 已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A3B2C2D3【精彩点拨】作出可行域，结合图形及目标函数分类讨论确定参数的值。【尝试解答】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解为x1，y1或x2，y0，经检验知x2，y0符合题意，2a04，此时a2，故选B.【答案】B点评：1这是一道线性规划的逆向思维题。解答此类题首先要熟练掌握二元线性规划问题的求解程序和确定最优解的方法，然后要根据题目条件对解答过程中的有关环节做出正确判断，建立等量关系。2此类问题中边界直线或目标函数对应的直线往往是变化的，因此分析边界直线斜率与目标函数对应的直线的斜率关系十分重要。 变式训练2已知x，y，k满足且z2x4y的最小值为6，则常数k等于()A2B9C3D0【解析】先根据约束条件画出可行域，设z2x4y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z2x4y经过点A时，z最小。由得代入直线xyk0得，k0【答案】D例3.已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的范围。【精彩点拨】(1)zx2y210y25的几何意义是什么？如何求z的最小值？(2)z的几何意义是什么？如何求z的范围？【尝试解答】依约束条件作出可行域为图中阴影部分，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)(1)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足在AC上，故zmind2(2)z2可以看作可行域内的点(x，y)与点Q连线斜率k的2倍，其范围是kQBkkQA，而kQB， kQA故z2k.34,72点评：1解决线性规划问题的一般步骤是：一画二移三求其关键是准确作出可行域，准确理解z的几何意义。2目标函数常见的类型：(1)截距型：zaxbyc(2)距离型：z(xa)2(yb)2，即z的几何意义为可行域内的动点与定点(a，b)的距离的平方。(3)斜率型：z，即z的几何意义为可行域内的点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率。变式训练：3若x、y满足约束条件则的最大值为_【解析】画出可行域如图阴影所示，表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，点(x，y)在点A处时最大。由得A(1,3)的最大值为3。【答案】3四、课堂小结：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解五、作业布置：1.求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件解：不等式组表示的平面区域如图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0点（0，0）在直线:2x+y=0上。作一组与直线平行的直线:2x+y=t,tR. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大。所以zmax=2