高中数学 2.3 圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系课堂探究 新人教B版必修2.doc

2.3.3 直线与圆的位置关系课堂探究探究一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判断方法：(1)(几何法)由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；(2)(代数法)根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；(3)(直线系法)若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系【典型例题1】 (1)已知圆c：x2y24x0，l是过点p(3,0)的直线，则()a.l与c相交 bl与c相切 cl与c相离 d以上三个选项均有可能解析：(方法一)圆c的方程是(x2)2y24，所以点p到圆心c(2,0)的距离是d12，所以点p在圆c内部，所以直线l与圆c相交(方法二)将点p的坐标代入圆的方程，得32024391230，所以点p(3,0)在圆内，所以过点p的直线l与圆c相交答案：a(2)已知动直线l：ykx5和圆c：(x1)2y21，则当k为何值时，直线l与圆c相离？相切？相交？解：(方法一)(代数法)联立得方程组得(k21)x2(10k2)x250，则(10k2)24(k21)2540k96，所以当直线l与圆c相离时，40k960，即k；当直线l与圆c相切时，40k960，即k；当直线l与圆c相交时，40k960，即k.(方法二)(几何法)圆c：(x1)2y21的圆心为c(1,0)，半径r1.设圆心c到直线l的距离为d，则d.当dr，即1时，k，此时直线l与圆c相离当dr，即1时，k，此时直线l与圆c相切当dr，即1时，k，此时直线l与圆c相交探究二 弦长问题1直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形来处理2若用代数法求弦长，请参考基础知识自主梳理中“3”【典型例题2】 求直线yx被圆(x2)2(y4)210所截得的弦长思路分析：求直线被圆所截得的弦长的方法：一是利用弦心距、半径和半弦所构成的直角三角形，二是用弦长公式解法一：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d.于是，弦长为224.解法二：联立方程yx与(x2)2(y4)210，得x26x50.设两个交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是由根与系数的关系，得x1x26，x1x25，则|ab|4.探究三 圆的切线问题求过圆外一点的圆的切线的三种常用方法：(1)设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率；(2)设切点坐标，利用切线的性质解出切点坐标，由直线方程的两点式写出直线方程；(3)设切线斜率，利用判别式等于零，解出斜率对第(1)和(3)两种方法应用时务必注意切线斜率不存在的情形【典型例题3】 已知直线5x12ym0与圆x22xy20相切，则m_.解析：由题意，得圆心c(1,0)，半径r1，则1，解得m8或18.答案：8或18探究四 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题，可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置，再进行计算有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心，有时注意考虑表达式中字母的几何意义，如两点间距离公式、斜率公式、在y轴上的截距等【典型例题4】 已知实数x，y满足y，求m及b2xy的取值范围思路分析：y可化为x2y23(y0)，即以(0,0)为圆心，半径为的半圆，m，可看作半圆上的点与点(3，1)连线的斜率；b可看作与半圆相交的直线2xyb0在y轴上的截距解：y表示以原点为圆心，半径为的上半圆，m表示过点(3，1)和(x，y)的直线的斜率，如图(1)所示 图(1) 图(2)可知kabmkac.所以kab.因为ac与半圆x2y23(y0)相切，所以kac.所以m的取值范围是.由b2xy，知b表示直线2xyb0在y轴上的截距，如图(2)所示可知直线b2xy一定位于两直线l1与l2之间由直线l2与半圆相切，得b，由直线l1过d(，0)，得b2.故b的取值范围是2，点评 本题解决的关键是理解m和b的几何意义，同时要借助分界线探求参数的取值范围探究五 易错辨析易错点：因忽视斜率不存在的情况而致误【典型例题5】 若直线l过点p(2,3)，且与圆(x1)2(y2)21相切，求直线l的方程错解：设直线l：y3k(x2)，即kxy32k0.因为直线l与圆(x1)2(y2)21相切，所以1，所以k.所以直线l的方程为12x5y90.错因分析：忘记讨论斜率不存在的情况正解：(1)若直线l的斜率存在，设直线l：y3k(x2)，即kxy32