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第五章 近似方法1如果是个小量，求按升幂的展开式。解 设在等式两边同时右乘以得到注意到是个小量，对于任意的，上式都满足，这就要求使：即 这种公式以后经常要用到。例如，当，其中表示无相互作用时的哈密顿算符，相当于微扰，这时有2如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为及电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的第一级修正。解 在电动力学中知道，当时，即在荷电小球外部时，势能的分布和点电荷产生的势能分布一样。在处，势能分布则为因此，微扰势能可以写为故类氢原子处于基态时的一级能量修正值为：注意到 其中 为玻尔半径。故 为了计算上的方便起见，我们作一些近似估计，因为厘米，厘米。对于最大的，有。所以，。因此可以把上面的积分化简为：所以基态能量是：讨论：由结果可见，当愈大时，由于核不是点电荷所产生的影响也愈大；同样，当愈大，产生的修正也愈大，这在物理上看是显然的。这时候相当于微扰的影响相当显著。3转动惯量为，电矩为的空间转子处在均匀电场中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正。解 空间转子是约束在球面上的体系，对于这样的体系，常数，因而波函数对的微商为零，即，这表明波函数只包含和两个变量，哈密顿算符中不含的项。因此，体系的哈密算符是：而 其中为转子的转动惯量，注意到上式即为：即 即无微扰时的本征函数，就是球谐函数。注意到基态为非简并状态，利用非简并微扰，对基态能量的修正值决定于矩阵元。因此，一级能量修正值显然为 二级能量修正值为这个二级能量修正值正是电场中极化的能量，微扰后的总能量准确到二级的情况下为：4转动惯量为I，电矩为的平面转子处在均匀弱电场中，电场是在转子运动的平面上用微扰法求转子能量的修正值。解 平面转 子是约束在平面内一定半径的圆周上运动的系统，它的哈密顿算符是在加进均匀弱电场以后，微扰的哈密顿算符为显然零级近似波函数为球谐函数，事实上：即 无微扰时波函数只与角相关，即一级能量修正值为所以在一级近似中，转子的斯塔克效应不存在。下面求二级近似：一般地，我们先设对态求修正值，最后令，作为特例，我们可以得到转子能量的修正值。故 因此，在对的求和式中，只有和两项不为零，故而 故 特别对于基态： 基态总能量（考虑到二级修正）为： 第个能级的能量为5设哈密顿量在能量表象中为矩阵所表示，其中为实数，求（1）用微扰公式求能量至二级修正值；（2）直接求能量，并和（1）所得的结果比较解 （1）设能量本征函数为，无微扰的零级近似波函数为，体系的哈密顿算符为无微扰的定态薛定谔方程为另一方面，从微扰的一般公式可见，求能量修正值的问题，实质上就是计算微扰矩阵元的问题。一般地说，总哈密顿量的矩阵元是根据题设，在能量表象中，哈密顿量为于是有： 按照微扰的一般公式，准确到二级修正时的总能量是：若以和分别表示第一能级和第二能级的总能量，在准确到二级修正的情况下有（2）为了直接在能量表象中求解本征值方程，我们取的本征矢为，能量本征值为E，则本征值方程为：即有 要使和有非零解的条件是使上二式的系数行列式为零，即故有 展开有 故 而 故 和用微扰公式算得的结果一致。6.一电荷为的线性谐振子受恒定弱电场作用。设电场沿方向：（1）用微扰法求能量至二级修正；（2）求能量的准确值，并和（1）所得的结果比较。解（1）荷电为的线性谐振子由于电场作用所具有的能量为，因为是弱电场，故与无电场时谐振子具有的总能量相比较，显然有令 ，显然，可以看作微扰，因此可以用微扰法求解。线性谐振子在外电场作用下的总哈密顿算符是无微扰时，线性谐振子的零级波函数是当体系处于第态时，考虑微扰的影响，则能量变为其中 其中利用递推公式故 利用厄密多项式的正交性可以看出上面的积分为零，即这表明能量一级修正为零。下面求能量的二级修正。为此计算矩阵元而 最后得能量的二级修正为故在准确到二级修正的情况下，总能量为（2）由于微扰能量是线性的，因此我们可以采用配成完全平方的方法，把哈密顿算符加以变形，从而求得能量的准确性。其中 定态薛定谔方程是而 令 ，则得故 这样算出的结果和用微扰法算出的结果完全一致。7求简并情况下，微扰波函数的一级修正和能量的二级修正。解 假设我们已经找到准确的波函数，它是简并的，对于同一个能级来说，不同的简并态用不同表示。设体系的波函数为，哈密顿算符为，总能量为则将用展开，展开系数为，这正是我们所要求的展开系数。在表象中的定态薛定谔方程可以写为（1）（这个式子和无简并的 相当）考虑到算符 ，得（2）为了确定和E，把它们展开为的幂级数，有（3）将（1）代入（2），得到这是一个恒等式，因此方程两边的同幂次的系数应相等，于是有：（4）：（5）：（6）由（4）式得到 这相当于在无微扰存在时，和是一致的。故 （7）把的值代入（5）式，有（8）当时，由于，故由（8）式得到即 故 于是（7）式成为 （9）当时，再由（8）式可得：（10）下面求。利用准确到的波函数的归一化条件即是纯虚数，为方便起见，使它为零，这只在时成立。下面再求：利用（6）式，把（10）中的代入（6）式，故虑的情况，有当时，有其中 当时这就是能量的二级修正值。因此我们求得了：其中 8设哈密顿量在能量表象中的矩阵是：（1）用简并微扰的方法求能量到二级修正；（2）求能量的准确解，并与（1）的结果比较。解 （1）若用脚码11表示第一行或列，12表第二行或列，21表示第三行或列，前两指标表示行数，后两指标表示列数，则 可以理解为可以看出，当时是二度简并的，时没有简并。故虑到 ，在表象中，的矩阵元是：而利用本章第7题的结果，对于：，：由于（事实上，只须注意），当时，有， ）这时，尚未确定，我们必须在讨论时决定它，当时， ：当时有：注意到： 及 和 当时：即 要使有非零解的条件是的系数行列式为零，即即 于是得出 当时，有总上所述，用简并微扰法算出的能量准确到二级修正是：（2）下面求能量的准确解设本征失是，则本征值方程为不同时为零的条件是即它的解是：即 在准确到的情况下，其解为：和用简并微扰法算出的结果一致。9求氢原子状态的一级斯塔克效应。解 氢原子的状态所对应的零级能量是：，其中 ，是玻尔半径。它是度简并的，这个能级对应的波函数计有：设电场沿轴方向，微扰哈密顿算符为设零级近似波函数为根据简并微扰，这时的久期方程为：它是九行九列的行列式方程，其中因此问题归结为计算微扰矩阵元。由于内含有，它在区间之间是奇函数，因而 。此外这些矩阵元，都属于两个波函数的磁方子数相同的矩阵元；对于不同的情况，故虑到的正交性，这时矩阵元为零。因此，余下的矩阵元或因为的正交性而等于零，或因角部分被积函数为奇函数而等于零，都没有贡献。因此，最后我们得到不全为零的充要条件为将行列式展开后得： 不简并 二度简并 三度简并 二度简并9度简并外电场时 不简并有外场时简并能级分裂显然，有外电场时，能级分裂，但简并还不能完全消除，要想完全消除简并还要外加磁场等。10设在外场下的谐振子的哈密顿是其中为常数，若将看成微扰，试利用39中公式（39-30）的结果，求谐振子能级。解 这种体系常被称为非谐振子，下面用狄拉克符号的方法来求解。设而 与时间无关。设体系处在第m个本征态，先求能量的一级修正值，能量的一级修正值为零。下面求能量的二级修正，注意到因此问题归结为计算所有可能出现的微扰非对角矩阵元。容易看出，只有等四个矩阵元不为零，共它矩阵元均为零。显然，只有当时，等式右端的三个矩阵元之积才不为零，故故 同法可得：同样计算可得：将四个非对角矩阵元代入能量关系中，并利用决定分母，可得这个结果和在坐标表象中解出的结果完全一致（参看教材第195页（40-48）式）。11设尝试波函数具有的形式，其中为归一化常数，为与无关的变分参数，试用变分法求谐振子的基态波函数和基态能量。最后把归一化常数算出来。解 由于谐振子具有对左右对称的特性，且当增加时很快趋于零，因此选择尝试波函数是合理的。谐振子的哈密顿算符是先把波函数归一化：注意到 容易算得：利用 可得 和准确解的结果完全一致。12试选择适当的尝试波函数；用变分法求氢原子的基态能量和基态波函数，并和准确值比较。解 为了用变分法求氢原子的基态能量，我们应选择适当的尝试波函数，注意到当r很大时，y(r)很快地趋于零，且易见氢原子的基态波函数应当是球对称的，和角度无关。所以取取尝试波函数为b为变分参量，A为归一化常数，可由归一化条件决定如下：上面我们用到积分公式令 （一玻尔半径）即当变分参数时，的能量极小，因此基态能量可以近似地认为是基态波函数是由此可见，用变分法计算氢原子基态能量和基态波函数与由严格解得出的准确值完全一致。这一方面说明了我们选择的尝试波函数是比较合适的。另一方面，也说明了变分法往往在某些具体问题上能够给出良好的结果。13能量为E的粒子受到势能为的场散射，若EU0，用W、K、B方法求粒子流的贯穿系数。解 势能曲线如图所示。在x=0处，U(x)=U0；在x1，x2处，U(x)=E，即有 为两转折点。为W、K、B方法求得的贯穿系数公式为而 显然，a愈大（即势垒愈宽），贯穿系数D愈小。U0愈大，愈小，愈大，因而贯穿系数也愈小，即势垒愈高贯穿系数愈小。这两个结论在物理上看是显然的。14设粒子在势能力的场中运动，用W、K、B法求粒子运动的能量。解 注意到W、K、B近似相当于经典近似，在这种近似下，粒子的能量由玻尔量子化条件决定： 在这里成为 令 、x1，x2为转折点由 ，对En求导数得令 ，且其中z1和z2可决定如下：由，可得 故 考虑到积分 下面确定常数C；当时，积分上下限缩为一点，即 I（当时） 按 ，15能量为E的粒子受到势能为 的场散射，若E0时处在的电场中，求谐振子处于激发态的几率。解 在t0时，谐振子的哈密顿算符是在这里我们取场的方向沿x轴的方向，且本题的微扰与时间有关。根据微扰论得到的公式，在t0时，处于激发态m的几率决定于 对于谐振子有 对于基态 k=0，就有事实上，我们也可以直接从定义出发证明xmo有上述表示式。 。这里我们利用了等。将xmo代入表示式中，得到由于有的存在，显然只能跃迁到第一激发态，而而 故 当 时，所以t=0时处于基态的谐振子，在t0时在电场的作用下，经充分长的时间后，到达第一激发态，处在第一激发态的几率是：。17设t=0时电荷为e的线性谐振子处在基态，在t0时起，附加与谐振子振动方向相同的恒定外电场，求谐振子处在任意态的几率。解 t0后，谐振子的哈密顿算符为从解方程 可得： 且体系的波函数为： 其中 。今设 则在初态时（t=0）波函数可写为：故t0的总波函数 而 利用 ，不难算得 讨论：这个结果和泊松分布相似，泊松分布是 ，在现在的情况下，相当于当这就是说必定处于激发态，几率最大的激发态对应于的状态，相应的能量是当时这时粒子仍处于基态，它的能量是这就是说，当电场很弱，以致谐振子在电场中的能量比振子相邻两个能级的差还小时，振子系统附加一个势能，其值等于平衡点处的势能。而当电场很强，以致谐振子在电场中的能量远大于振子相领两个能级的差时，振子将处在这样的激发态中，提高的能量正好补偿系统在电场中势能的数值。保持初始状态的能量。18设在时，氢原子处在基态，以后由于受到周期性的均匀电场的作用而电离，若电离后的电子的波函数为平面波，求这周期性场的最小角频率和在时刻t时电离态的几率振幅。解（1）先求这周期性场的最小角频率。利用周期微挠的公式。现在的微扰的哈密顿算符是令则其中这里m代表末态，k代表初态。若m态能量大于k态能量 于是由k态跃迁到m态时就要吸收光子。所以吸收时只须故虑中的第二项，就有要使氢原子的电子从基态离化，周期性场的圆频率至少为（2）求离化态的几率振幅，为此，先求(F)mk，初态k是氢原子的基态未态m是平面波我们把方向取为球极坐标的轴方向，并且取平面为x-z平面，则的方向余弦为（sin，0， cos）。这样容易得到，对y积分，第一项积分得2p，第二项积分为零令而19基态氢原子和在平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 （为大于零的参数）求经过长时间后氢原子处在态的几率解 设电场沿轴方向，则微扰哈密顿量为按照微扰论，由状态跃迁到状态的几率决定于因此，要求得，必须先算，现在末态为态是简并的，有，三个态。且：，故 而=0同理 因此，从态几率就是从态的几率，故当t很大时所以跃迁到2p态的几率是其中由此可见，电场愈强，跃进心率愈大。20计算氢原子由态跃迁到态时所发出的光谱线强度。解 系统由状态到状态所发出的光谱线的强度决定于处在状态中的原子数和单位时间内跃迁的几率，谱线强度表示这样跃时所放出的能量。一般地 而 注意到由谱线的圆频率为而 有三个状态，即（2，1，0），（2，1，1）和（2，1，-1）（1）先计算的矩阵元利用公式这是因为可得：其中令 同理，容易算得：（2）计算的矩阵元故虑到 这里用到了以及球谐函数的正交性。（3）计算的矩阵元：故虑到 （4）最后计算：注意到 其中令 注意到 故 谱线强度其中 为玻尔半径21计算氢原子由第一激发态到基态的自发辐射几率。解 自发辐射系数为为受激发射系数，它为故 由态的谱线圆频率为利用20题计算的结果故 （注意：态