高考数学 第五章 第二节 等差数列课件 理 苏教版.ppt

第二节等差数列 1 等差数列的定义 1 条件 一个数列从 起 每一项减去它的前一项所得的差都等于 常数 2 公差 常数叫公差 用字母d表示 3 定义表达式 第二项 同一个 an 1 an d n n 2 等差数列的通项公式若等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则其通项公式为an 3 等差中项若a a b这三个数成等差数列 那么a a叫做a和b的等差中项 a1 n 1 d 4 等差数列的前n项和公式 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n n 都有2an 1 an an 2 3 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 4 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 5 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 解析 1 错误 若这些常数都相等 则这个数列是等差数列 若这些常数不全相等 这个数列就不是等差数列 2 正确 如果数列 an 为等差数列 根据定义an 2 an 1 an 1 an 即2an 1 an an 2 反之 若对任意n n 都有2an 1 an an 2 则an 2 an 1 an 1 an an an 1 a2 a1 根据定义数列 an 为等差数列 3 正确 当d 0时为递增数列 d 0时为常数列 d 0时为递减数列 4 错误 根据等差数列的通项公式 an a1 n 1 d dn a1 d 只有当d 0时 等差数列的通项公式才是n的一次函数 否则不是 5 错误 根据等差数列的前n项和公式 sn na1 显然只有公差d 0时才是n的常数项为0的二次函数 否则不是 甚至也不是n的一次函数 即a1 d 0时 答案 1 2 3 4 5 1 在等差数列 an 中 已知a1 2 a2 a3 13 则a4 a5 a6等于 解析 方法一 a2 a3 a1 d a1 2d 2a1 3d 13 又 a1 2 d 3 a4 a5 a6 a1 3d a1 4d a1 5d 3a1 12d 3 2 12 3 42 方法二 a1 a2 a3 3a2 15 a2 5 d 3 a5 a1 4d 14 a4 a5 a6 3a5 3 14 42 答案 42 2 等差数列 an 的前n项和为sn 若a2 1 a3 3 则s4 解析 方法一 由a2 1 a3 3知d a3 a2 2 a1 a2 d 1 方法二 a2 a4 2a3 6 a4 6 a2 5 a1 a2 a3 a2 2a2 a3 1 s4 答案 8 3 已知 an 是等差数列 且a3 a9 4a5 a2 8 则该数列的公差是 解析 因为a3 a9 4a5 所以根据等差数列的性质可得 a6 2a5 所以a1 5d 2a1 8d 又因为a2 8 即a1 d 8 所以可得公差d 4 答案 4 4 1与 1的等差中项是 解析 1与 1的等差中项为答案 5 在等差数列 an 中 a5 10 a12 31 则数列的通项公式为 解析 a5 a1 4d a12 a1 11d 解得 an a1 n 1 d 2 n 1 3 3n 5 答案 an 3n 5 6 在等差数列 an 中 d 2 n 15 an 10 则sn 解析 由an a1 n 1 d 得 10 a1 15 1 2 解得a1 38 sn 360 答案 360 考向1等差数列的基本运算 典例1 1 已知 an 为等差数列 且a7 2a4 1 a3 0 则公差d 2 设sn为等差数列 an 的前n项和 若a2 1 a4 5 则s5等于 3 2013 苏州模拟 设等差数列 an 的前n项和为sn 且a5 a13 34 s3 9 求数列 an 的通项公式及前n项和公式 思路点拨 1 根据已知和等差数列的通项公式得关于a1 d的方程组 解方程组即得 2 根据a2 1 a4 5 得关于a1 d的方程组求出a1 d 再使用求和公式 或者直接使用等差数列性质 3 根据a5 a13 34 s3 9可得关于a1 d的方程组 根据这个方程确定a1 d的关系即可确定所求 规范解答 1 由a7 2a4 1 a3 0 得得答案 2 方法一 由题意得即故s5 5a1 2 15 方法二 答案 15 3 设等差数列 an 的公差为d 由已知得故an 2n 1 sn n2 互动探究 本例题 2 中条件不变 则sn 解析 在本例题 2 的方法一中已经求解出所以 n2 2n 答案 n2 2n 拓展提升 1 等差数列运算问题的通性通法等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列前n项和公式的应用方法根据不同的已知选用两个求和公式 如已知首项和公差 则使用公式sn na1 若已知通项公式 则使用公式sn 变式备选 已知等差数列 an 中 a5 1 a3 a2 2 则s11 解析 由a3 a2 2 得公差d a3 a2 2 由a5 a1 4 2 1 得a1 7 所以s11 11 7 2 33 答案 33 考向2等差数列的判定 典例2 1 若 an 是公差为1的等差数列 则 a2n 1 2a2n 是公差为 的等差数列 2 已知sn为等差数列 an 的前n项和 bn n n 求证 数列 bn 是等差数列 思路点拨 1 构造新数列cn a2n 1 2a2n 根据cn 1 cn是否对任意正整数n都等于同一个常数作出判断 2 证明bn 1 bn对任意正整数n都等于同一个常数 或者利用等差中项的方法证明任意的三项都成等差数列 规范解答 1 设 an 的公差为d 则d 1 设cn a2n 1 2a2n 则cn 1 a2n 1 2a2n 2 cn 1 cn a2n 1 2a2n 2 a2n 1 2a2n 6d 6 答案 6 2 方法一 设等差数列 an 的公差为d sn na1 n n 1 d bn a1 n 1 d bn 1 bn a1 nd a1 n 1 d 常数 数列 bn 是等差数列 方法二 bn a1 n 1 d bn 1 a1 nd bn 2 a1 n 1 d bn 2 bn a1 n 1 d a1 n 1 d 2a1 nd 2bn 1 因此bn 2 bn 1 bn 1 bn bn bn 1 b2 b1 数列 bn 是等差数列 拓展提升 等差数列的四个判定方法 1 定义法 证明对任意正整数都有an 1 an等于同一个常数 2 等差中项法 证明对任意正整数都有2an 1 an an 2后 可递推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根据定义得出数列 an 为等差数列 3 通项公式法 得出an pn q后 得an 1 an p对任意正整数n恒成立 根据定义判定数列 an 为等差数列 4 前n项和公式法 得出sn an2 bn后 根据sn an的关系 得出an 再使用定义法证明数列 an 为等差数列 提醒 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法 而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题中简单判断 变式训练 设sn为数列 an 的前n项和 sn pnan n n a1 a2 1 求常数p的值 2 求证 数列 an 是等差数列 解析 1 sn pnan a1 a2 a1 pa1 p 1 2 由 1 知 sn nan 当n 2时 an sn sn 1 nan n 1 an 1 整理可得 n 1 an an 1 0 an an 1 0 n 2 数列 an 是等差数列 考向3等差数列的性质及前n项和的最值问题 典例3 1 2012 辽宁高考 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前11项和s11 2 在等差数列 an 中 a3 a7 37 则a2 a4 a6 a8 3 2013 连云港模拟 已知在等差数列 an 中 a1 31 sn是它的前n项的和 s10 s22 求sn 这个数列前多少项的和最大 并求出这个最大值 思路点拨 1 利用等差数列的性质及sn 求解 2 根据等差数列性质整体求解 3 利用等差数列的性质求解 利用二次函数思想或利用邻项变号法解决 规范解答 1 由于 an 为等差数列 所以a1 a11 a4 a8 16 所以s11 11 8 11 88 答案 88 2 由等差数列的性质可知a2 a8 a4 a6 a3 a7 37 所以a2 a4 a6 a8 37 2 74 答案 74 3 s10 a1 a2 a10 s22 a1 a2 a22 又s10 s22 a11 a12 a22 0 0 即a11 a22 2a1 31d 0 又a1 31 d 2 sn na1 31n n n 1 32n n2 方法一 sn 32n n2 n 16 2 256 当n 16时 sn有最大值 sn的最大值是256 方法二 由an sn sn 1 可得an 2n 33 由an 2n 33 0 得n 由an 1 2n 31 0 得n 又n为正整数 所以当n 16时 sn有最大值256 拓展提升 1 等差数列的性质 1 项的性质 在等差数列 an 中 am an m n d d m n 其几何意义是点 n an m am 所在直线的斜率等于等差数列的公差 2 和的性质 在等差数列 an 中 sn为其前n项和 则 s2n n a1 a2n n an an 1 s2n 1 2n 1 an 2 解等差数列前n项和sn的最值问题的两种方法 1 函数法 利用等差数列前n项和的函数表达式sn an2 bn 通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解 2 邻项变号法 a1 0 d0时 满足的项数m使得sn取得最小值为sm 变式训练 等差数列 an 前n项和为sn 已知a1 13 s3 s11 当sn最大时 n的值是 解析 方法一 s3 s11得a4 a5 a11 0 根据等差数列性质可得a7 a8 0 根据首项等于13可推知这个数列递减 从而得到a7 0 a8 0 故n 7时 sn最大 方法二 由s3 s11可得3a1 3d 11a1 55d 把a1 13代入得d 2 故sn 13n n n 1 14n n2 根据二次函数性质 当n 7时 sn最大 方法三 根据a1 13 s3 s11 知这个数列的公差不等于零 由于s3 s11说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减 根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数 以及二次函数图象的对称性 当s3 s11时 只有n 7时 sn取得最大值 答案 7 满分指导 解答等差数列的综合题 典例 14分 2013 郑州模拟 设等差数列 an 的前n项和为sn 且sn nan an c c是常数 n n a2 6 1 求c的值及数列 an 的通项公式 2 设tn 求tn 思路点拨 规范解答 1 因为sn nan an c 所以当n 1时 s1 a1 a1 c 解得a1 2c 2分当n 2时 s2 a2 a2 c 即a1 a2 2a2 c 解得a2 3c 所以3c 6 解得c 2 4分则a1 4 数列 an 的公差d a2 a1 2 所以an a1 n 1 d 2n 2 6分 2 因为 8分所以tn 10分 即 14分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 福建高考 等差数列 an 中 a1 a5 10 a4 7 则数列 an 的公差为 解析 由等差中项的性质知a3 5 又 a4 7 d a4 a3 2 答案 2 2 2013 无锡模拟 设数列 an 是等差数列 且a2 8 a15 5 sn是数列 an 的前n项和 则下列结论正确的是 s9 s10 s9 s10 s11 s10 s11 s10 解析 由题意得 a10 a1 9d 0 s9 s10 s11 s10 答案 3 2013 南京模拟 已知等差数列 an 的前n项和为sn 若m 1 且am 1 am 1 am2 1 0 s2m 1 39 则m等于 解析 数列 an 为等差数列 则am 1 am 1 2am 则am 1 am 1 am2 1 0可化为2am am2 1 0 解得am 1 又 s2m 1 2m 1 am 39 则m 20 答案 20 4 2012 北京高考 已知 an 是等差数列 sn为其前n项和 若a1 s2 a3 则a2 sn 解析 s2 a3 a1 a2 a3 a1 a1 d a1 2d d a1 a2 a1 d 1 sn na1 n n 1 d n2 n 答案 1n2 n 5 2012 广东高考 已知递增的等差数列 an 满足a1 1 a3 a22 4 则an 解析 由a3 a22 4得到1 2d 1 d 2 4 即d2 4 因为 an 是递增的等差数列 所以d 2 故an 2n 1 答案 2n 1 1 若lg2 lg 2x 1 lg 2x 3 成等差数列 则x的值等于 解析 lg2 lg 2x 3 2lg 2x 1 2 2x 3 2x 1 2 2x 2 4 2x 5 0