02、因式分解.doc

二、因式分解在第一章中，我们知道两个x的一次式乘积展开后成为x的二次多项式。反过来说，如果能将一个x的二次式写成两个x的一次式的乘积，我们称这样的过程为这个二次式的因式分解。此时，这两个一次式都称为二次多项式的因式，而这个二次多项式则称为这两个一次式的倍式。因式分解乘积展开在高中的课程中，我们也将一个多项式写成几个一次或二次的多项式的连乘积，这种过程也称为这个多项式的因式分解。例如：= 因式分解乘积展开= 在国中阶段做因式分解时，我们只考虑因式的系数为有理数（整数或分数）的情形。但从此以后，我们将不再要求因式的系数一定是有理数。现在来介绍几个常用的方法：提公因式、分组分解、十字交乘和利用乘法公式。2-1 提公因式【从各项提公因式】如果发现每一项都有共同的因式时，我们可先将此公因式提出。【范例1】因式分解下列多项式：(1) (2) (3) 【解】 (1) = = (2) = (ab)( ab)2( ab)= (ab)(ab)2= (ab)(ab2)(3) = = = 【分组提公因式】当各项没有公因式时，可尝试分组或去括号重新分组，使得每组之间有公因式。【范例2】因式分解下列多项式：(1) (2) (3) (4) 【解】 (1) = = (2) 方法一：= = = 方法二：= （交换律）= = (3) 方法一：= = = 方法二：= = = (4) 可尝试去括号展开后，再重新分组。= = = = = 从上面的例子我们可以看出，某些多项式可能有不只一种分组的方式来做因式分解。【拆项后分组提公因式】有时候，可尝试先将多项式中某一项拆开后，再利用分组提公因式。【范例3】因式分解下列多项式：(1) (2) 【解】 (1)= = = (2)= = = = = 事实上，范例3的第(2)题也可用分组的方式来因式分解：= (x4x22)(3x33x)= (x21)(x22)3x(x21)= (x21)(x23x2)= (x1)(x1)(x1)(x2)= (x1)2(x2)(x1)【类题练习】因式分解下列多项式：(1) (2) 【家庭作业】因式分解下列多项式：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2-2十字交乘法因为大家都已熟悉十字交乘法，所以在这里只举例，而不做文字说明。【二次三项式】【范例1】因式分解下列多项式：(1) (2) 【解】 (1) = (2) = 【类题练习】因式分解下列多项式：(1) (2) 【家庭作业】因式分解下列多项式：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 2-3利用乘法公式对于某些多项式，我们可直接利用乘法公式来做因式分解。【完全平方】【范例1】因式分解下列各式： (1) (2) (3) 【解】 (1) = = (2) = = (3) = = = （或写成）【平方差】【范例2】因式分解下列各式：(1) (2) (3) 【解】 (1) = = = = = (2 ) = = = = (3) = = = = 【立方差、立方和】= = 【范例3】因式分解下列各式：(1) (2) (3) 【解】 (1) = = = (2) = = = (3) = = = 【类题练习1】因式分解下列各式：(1) (2) 在范例3的第(3)题中，也可以将写成，因此得到：= = = 显然的，可以再分解，我们将在下一个单元里，介绍它的分解方法。【配方法】利用完全平方公式或完全立方公式，再配合平方差公式或前面介绍的方法，可以处理一些特殊多项式的因式分解，这里需要一些拆项(分项)或补项(加减项)的技巧，要多练习。【范例4】因式分解下列多项式：(1) (2) 【解】 (1) = = = = = (2) = = = = = 事实上，在范例4的第(1)题中，所见到的= 也是一个常见的乘法公式。【类题练习2】 因式分解下列各式： (1) (2) 【范例5】因式分解下列多项式： (1) (2) 【解】 (1) 虽然可以直接引用立方差公式来因式分解，我们也可以用补项的概念来因式分解。= = = = = (2) 很显然，无法直接使用平方差公式来分解。所以，我们尝试用补项的方法来克服困难。= = = = 在国中时期，因为我们要求因式分解后的各个因式的系数皆为有理数，所以有些二次式无法分解。如果允许因式的系数可为任意实数，那么我们就可以用配方法来分解它。【范例6】因式分解。【解】