第五章 连续体力学.ppt

第五章连续体力学 前面将物体简化成质点或刚体 质点不考虑物体的大小形状 刚体则不考虑物体的形变 本章研究连续体力学 连续体包括弹性体和流体 弹性体在受到外力作用时会发生形变 而当外力撤消后 形变也消失 物体又恢复原状 弹性体有四种形变 拉伸压缩形变 剪切形变 弯曲形变和扭转形变 其中前两种是基本的 后两种可看成是前两种的组合 5 1固体的弹性 1 正应力与应变 一 拉伸压缩形变 2 胡克定律 演示 弹性形变 3 拉伸 压缩 形变的势能 二 剪切形变 剪切应力与应变 1 剪切形变 2 剪切形变的胡克定律 理论上还可推出杨氏模量Y 剪切模量N和泊松系数 之间的关系 3 剪切形变的势能 用类似的方法可得出发生剪切形变的弹性势能密度 三 弯曲和扭转形变 1 梁的弯曲 2 柱的扭转 一 静止流体内一点的压强 5 2流体静力学 二 静止流体内压强随高度的分布 等高的地方压强相等如图 设A B两点等高 作以AB联线为轴 底面积为 S的小柱体 该柱体水平方向的平衡条件为 高度相差h的两点间压强差为 gh 设B C两点在同一铅垂线上 作以BC联线为轴 底面积为 S的小柱体 该柱体铅垂方向的平衡条件为 例1水坝长1 0km 水深5 0m 坡度角为60 求水对坝身的总压力 解 以水的底部为坐标原点 z轴铅直向上 在高度z处的压强为p p0 g H z 式中p0为大气压强 H为水深 作用在水坝坡面上的总压力为 三 帕斯卡原理 17世纪法国的帕斯卡提出 作用在密闭容器中流体上的压强等值地传到流体各处和器壁上去 油压机或水压机的基本原理如图所示 根据帕斯卡原理 大 小活塞下的压强均为p 小活塞对流体的作用仅有pS1 而流体对大活塞的作用力却能达到pS2 四 阿基米德原理 公元前3世纪希腊的阿基米德提出 物体在流体中所受的浮力等于该物体排开同体积流体的重量 五 液体的表面现象 1 液体的表面张力 液体的表面像一张绷紧的弹性薄膜 有收缩的趋势 在液体的表面层上存在着一种沿着液体表面的应力 表面张力 为研究液体表面张力的大小 我们在液体表面上划一条假想的线元 l 把液面分割为两部分 表面张力就是这两部分液面相互之间的拉力 比例系数 叫表面张力系数 它标志着通过单位长度分界线两边液面之间的相互作用力 用金属丝弯成一矩形框架 它的下边是可以沿框架滑动 在框内形成液膜后 将它竖起来 下边上挂一砝码 设它的重量W与液面的表面张力平衡 金属框下边长为l 则 用一个与液膜表面张力大小相等的外力F拉金属框的下边 使之向下移动距离 x 则此力作的功为 于是液体的表面张力系数又可定义为 每增大单位表面积 外界作的功 几种液体的表面张力系数见书218页 例已知水和油边界的表面张力系数为 为使半径为R的一个大油滴在水中散布成多个半径为r的小油滴 问外界要作多少功 解 一个大油滴在水中散布成N个小油滴的过程中 液体表面积增大 因油滴总体积不变 有 于是外界作功 2 球形液面内外的压强差 由于存在表面张力 当液面弯曲时会造成液面两边有压强差 以一个球形液珠为例 通过球心取任一轴线 并作垂直于此轴线的假想大圆把液滴分成两半 它们之间通过表面张力产生的相互拉力为 此拉力应为液滴内 外的压差所平衡 内压力作用在半球的大圆面上 数值等于P内 R2 外压力垂直作用在半球面上 其沿轴的分量相当于P外均匀作用在投影面积 R2上 半球的平衡条件为 P内 P外 R2 即 3 液 固表面的润湿与不润湿 液体与固体接触时 在接触处液面与固体表面切线之间成一定的角度 称为接触角 若 为锐角 我们说液体润湿固体 若 为钝角 我们说液体不润湿固体 0为完全润湿情况 为完全不润湿情况 4 毛细现象 图中B点的压强 可得毛细管内水柱的高度 5 3流体运动学 气体和液体统称为流体 流体最鲜明的特征就是流动性 不同流体的流动性有很大差别 气体都有很好的流动性 水也较易流动 但油的流动性则较差 这涉及流体的粘滞性 液体不容易被压缩 在一定条件下 流动的气体也可认为其密度不变 不可压缩 不考虑粘滞性和压缩性的流体称为理想流体 理想流体是不可压缩又无粘滞性的流体 一 理想流体 研究流体运动的方法有二 拉格朗日法 将流体分成许多无穷小的微元 求出它们各自的运动轨迹实际上是用质点组动力学方法来讨论流体的运动 欧勒法 把注意力集中到各空间点 观察流体微元经过每个空间点的流速v 寻求它的空间分布和随时间的演化规律 实际上流体微元是很难区分的 追踪每个流体微元的轨迹也没有多大的意义 描述流体运动的欧勒法比拉格朗日法更为有效 在流体力学中得到更广泛的应用 二 流线和流管 三 定常流动 一般说来 流速场的空间分布是随时间而变化的 在特殊情况下尽管空间各点的流速不一定相同 但空间各点的流速都不随时间改变 称为定常流动 定常流动时流线就是各流体微元的运动轨迹 流迹 四 不可压缩流体的连续性方程 上式称为不可压缩流体的连续性方程 也叫流量守恒方程 由此可知 横截面小的地方流速大 横截面大的地方流速小 五 流体的动量 流体的反作用 六 理想流体环量守恒定律 通常人们把流体的流动分成有旋流和无旋流两个类型 在数学上表示有旋流的量是环量 设想在流体中作任一闭合回路C 环量 C定义为流速v沿此回路的线积分 环量与 C回路面积Sc之比叫做涡度 理想流体由于不考虑粘滞力的作用 因而其有旋流的角动量守恒 还有一条关于环量的守恒律 形象地说 如果我们能够用墨水在理想流体中画上一个闭合回路C又不致扩散的话 则无论这回路随流体流到什么地方 其上的环量 C守恒不变 叫做开尔文涡定理 它是流体角动量守恒的直接结果 涡旋环绕的轴线叫做涡线 下述实验可以演示涡线随流体运动的情况 在一个扁圆的盒子底的中央开一个圆洞 像鼓一样在面上蒙一张绷紧的橡皮膜 侧放在桌上 事先在鼓内喷上一些烟 用手拍鼓面 就会看到有一个烟圈从底上的洞冒出来 一面向前移动 一面扩大 这烟圈是一条闭合的涡线 空气像螺线管一样绕着它旋转 如果在一定距离之外放上一枝蜡烛 烟圈过后还会把它吹灭 5 4伯努利方程及其应用 伯努利方程是1738年首先由丹尼耳 伯努利提出的 这不是一个新的基本原理 而是把功能原理表述成适合于流体力学应用的形式 一 方程的推导 重力势能的改变 外力对这段流管内流体所作的功 由功能原理有 求出理想流体定常流动的伯努利方程 二 方程的应用 取一根从水面到小孔的流线 在水面那一端速度几乎是0 桶的面积比小孔大得多 水面到小孔的高度差为h 此流线两端的压强皆为p0 大气压 故由伯努利方程有 求出流量 3 皮托管测气体流速开口A迎向气流 是个速度vA 0的驻点 开口B在侧壁 其外流速vB差不多就是待测的流速v 可求得待测气体流速 4 虹吸管 将一软管装满水后一端插入大水池中 另一端在水池外 水将通过软管不断从大水池中流出 称之为虹吸管 现要求虹吸管出水口2点处的流速及管中最高点3处高出水面的最大高度h 选择一条流线从水面上的1点开始经软管最后到出水口2点 对1 2两点应用伯努利方程有 求出 对流管上2 3两点应用伯努利方程有 3点最高时P3 0 于是有 例题如图 在圆筒底上有一漏水口 水旋转着从这里流出 求呈漏斗状水面的方程 解 把水当做理想流体 其环量守恒 当水面的环流向下流动并向中央集中时 积分回路的周长正比于半径r 故速度的切向分量按1 r的比例增加 在水面上的压强处处相等 皆为大气压 根据伯努利原理 在沿水面的流线上有 式中v2 1 r2 故有 三 流体的升力 运动物体周围出现环流的一个重要场合是运动物体的旋转造成的 如果固体表面和流体之间有一点摩擦力 固体的旋转就会造成环流 旋转的球在空中走出弯曲的轨迹 这在各类球类运动中都是十分重要的 右图a b分别是平动而不旋转的球体和只旋转无平动球体周围的流线 图c是二者的合成 球上边流线密 流管窄 流速大 压强小 球下边流线稀 流管宽 流速小 压强大 所以球受到向上的升力 使其轨道向上弯曲 5 5粘性流体的流动 一 粘滞力 粘滞系数 除了因材料而异外 还比较敏感地依赖于温度 液体的粘滞系数随温度升高面减小 气体则反过来随温度升高而增大 二 泊肃叶公式 考虑半径为R长为l的一段水平管子 流体在管中沿轴流动 由于有粘滞性 附着在管壁上的流体速度为0 流体的速度沿径向有个分布 可求得 流量 流速 泊肃叶公式说明由于流体的粘滞性 要使流体在水平管道中流动 管道两端应有压差 这与实际情况相符 三 粘性阻力 斯托克斯公式 四 雷诺数 流体的相似性原理 流体的相似性原理 若两种流动边界状况或边界条件相似且具有相同的雷诺数 则两种流体具有相同的动力学特征 该原理表明 若流动相似 只要雷诺数不变 流动性质主不变 这也是一种对称性 在工程技术以及其它许多领域中 人们常希望利用模拟试验来代替对实际现象的研究 例如用水代替石油来研究它们在管道中的流动 把设计好的飞机缩小成模型放在风洞中试验其性能等 都是建立在此相似性基础上的 五 层流与湍流 在盛水的容