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宁夏大学机械工程学院2007届毕业设计1 绪 论弧齿锥齿轮是一种广泛用于航空、汽车等高速重载场合的齿轮机构。现有的加工方法主要是先用产形轮来展成大齿轮，然后通过机床的调整来加工与大轮共轭的小轮，它需要专用机床和专用刀具来加工。更为严重的是，如果齿廓或的其它任何几何参数稍有设计上的变动，就必须重新设计和制造刀具。为了克服以上不足，本文提出了一种与加工方法无关的弧齿锥齿轮的精确设计方法以及不依赖于专用机床及刀具的数字加工方法用通用数控加工中心和通用球头铣刀进行加工。本研究将从齿轮啮合基本定理出发，把弧齿锥齿轮的齿面作为空间自由曲面来处理。设计理论部分将不再考虑加工设备与刀具，也不做任何近似处理，而是以球面渐开线及螺旋渐开面为基本数学手段推导出完整的设计算法并给出详细的三维实体造型步骤，为生成数控加工代码奠定基础。提供给工程师的几何设计参数不再是传统设计方法中的那些项目，主要是一些算法。因为传统设计方法中的那些参数有些是为了将就加工方法，有些是在手工设计时代为了计算方便人为设置的参数，它们与齿轮传动本身并无本质的关系。加工方面则重点探讨合理切削参数的选择。2 弧齿锥齿轮的定性分析2.1什么是弧齿锥齿轮弧齿锥齿轮是用于传递两相交轴的运动和动力的齿轮机构。和其他锥齿轮一样，弧齿锥齿轮的传动可看成两节圆锥间的相互纯滚动，轮齿的引入是为了连续、平稳地传递更大的载荷。2.2 弧齿锥齿轮特征的描述图2-1弧齿锥齿轮是一种传递相交轴的运动和动力的齿轮机构（如图2-1）。为了达到传递的运动规律（传动比）的要求，两齿轮的运动副元素（两齿面）之间就必须满足空间齿廓啮合的基本定律。对于弧齿锥齿轮的描述主要就是对齿面的约束。下面将从四个方面对齿面的特征进行描述：1. 锥式。 如图2-2所示，当节锥半角0/2外齿轮；节锥半角=/2平面齿轮；节锥半角/2 内齿轮。图2-22.廓式。 如图2-3所示，齿廓曲线为球面渐开线，对于相互啮合的传动的一对齿轮来说，其齿廓曲线须满足齿廓啮合基本定律。即：相互啮合传动的一对齿轮，如果传动规律已知，则两齿廓在每个瞬时接触点（啮合点）的公法线必通过啮合节点。这种满足齿廓啮合定律的曲线称为共轭曲线。球面渐开线就是一种满足齿廓啮合定律的球面曲线。图2-33.线式。 线式即弧齿锥齿轮的齿线，用于描述弧齿锥齿轮的轮齿走向。其定义是为节圆锥面与齿廓曲面的交线，本文的形状为圆锥螺旋线（如图2-3）。在模拟式的加工方法中，齿线的加工再现：铣刀盘的刀刃在轮坯上划出的轨迹在节平面上的投影。对于收缩齿，为椭圆弧，称准弧线；对于等高齿，为圆弧，称弧线；这就是弧齿锥齿轮的弧的得名，在此沿用此名。对于相互啮合的一对齿轮其齿线必须满足传递的运动规律（传动比）的要求。 4.高式。 描述弧齿锥齿轮的啮合齿高，有等高齿和收缩齿之分。对于等高齿，其在整个轮齿走向上的啮合齿高相等（如图2-5）；对于收缩齿，在整个轮齿走向上其啮合齿高从大端到小端逐渐变小的（如图2-4）。啮合齿高的选择与齿轮的重合度，齿轮之间的干涉及齿轮的强度等有关。图2-4图2-53 弧齿锥齿轮的定量分析3.1 弧齿锥齿轮的数学建模3.1.1 球面渐开线形成的数学原理1）球面渐开线形成过程的定性描述如图3-1所示，基本元素：一半径为 的球；以球心为顶点作一圆锥面与球相交，交线是一半径为 的在球上的圆，称为小圆或基圆；过球心作一与圆锥母线相切的平面，该平面与球相交，交线是一半径为的在球上的圆，称此圆为大圆，该圆所包围的平面称为圆平面或发生面。球面渐开线形成过程：令圆平面在圆锥面上作纯滚动，则大圆与小圆在任一点都始终相切，在大圆上取任一点，点的运动轨迹就是球面渐开线。如果圆锥的几何尺寸不变以及圆锥与球的相对位置不变，则当球的半径变小时，就会有相应的不同半径的大圆及小圆，这些大圆在圆锥面上作纯滚动，大圆上的任一点 的运动轨迹也形成球面渐开线。当大圆从小圆上的某点开始在圆锥面上作纯滚动，滚动到小圆上的任一位置时，大圆上滚过的弧长等于小圆（基圆）上被滚过的弧长。图3-12）球面渐开线方程式的推导图3-2如图3-2所示。坐标系是以小圆平面为面，小圆圆心为坐标系中心的右手直角坐标系；而坐标系是以锥顶为坐标原点，且三个坐标方向与坐标系的对应坐标方向相同的右手直角坐标系。符号说明：为基圆锥半角，为圆锥的高，；分别是小圆和大圆的半径；分别是小圆和大圆的展成角，。延长交平面于点，连结，则：；在坐标系中，渐开线是由起点逆时针展开；推导过程：在坐标系下， (大圆上滚过的弧长等于小圆上被滚过的弧长), (如图3-2所示) ，, (如图3-2所示), 图3-3 , , , （如图3-3所示） 如图3-4所示，为矢径在平面上的投影与之间的夹角（为大圆与小圆的切点到小圆圆心的连线, 即）。 为矢径在平面上的投影与轴的夹角。由图可知：，根据图3-3可得：,则： 图3-4 所以在坐标系下的球面渐开线的方程为： 化简为： 其中为已知,。如图3-2所示，从坐标系到坐标系 的坐标变换关系如下：将坐标系下的球面渐开线的方程代入上面的关系式可以得到在坐标系下的球面渐开线的方程：其中为已知,。60*(0.707*cos(t)*cos(t*0.707)+sin(t)*sin(t*0.707)60*(0.707*sin(t)*cos(t*0.707)-cos(t)*sin(t*0.707)-60*0.707*cos(t*0.707)3.1.2 齿面形成的数学原理1）齿面形成的理论支持弧齿锥齿轮的啮合传动是从一端同时啮入，另一端同时啮出，是以齿轮副两轴的交点为球心的球面渐开线啮合传动。为满足空间啮合定律，其齿面就必须是由以锥顶为球心，锥顶到啮合点的距离为半径的球面上的渐开线的集合构成，这个集合构成的曲面称为螺旋渐开面。如图3-5所示：齿轮1与齿轮2如果在两点相啮合，则两点到球心的距离必须相等（），且将分别以角速度和转到点相互啮合传动。关于描述轮齿走向的齿线是圆锥螺旋线将在弧齿锥齿轮啮合传动一节进行验证。 图3-52）齿面形成的数学原理1.齿面的定性描述弧齿锥齿轮的齿面（螺旋渐开面）是以基圆锥螺旋线上的点为起始点，起始点到锥顶的距离为半径的所有球面渐开线的集合构成。由此可知（如图3-6所示的坐标系），要想形成螺旋渐开面，只需当球面半径增大时，球面半径为的球面渐开线沿基圆锥螺旋线作圆锥螺旋运动，且随着球面半径的变化球面渐开线同时发生相应的变化。当球面半径为时，在以点为起始点的球面渐开线将旋转到以基圆锥螺旋线上的点为渐开线的起始点，即：以点为起始点的球面渐开线绕轴旋转了角。其中，即：以两点为起始点的球面渐开线在同一球面上，只是绕轴旋转了角。2.推导过程图3-6如图3-6所示，设基圆锥螺旋线的导程为，则： （当变化量为时，相应的球面半径的渐开线绕轴旋转了）当球面半径增大时，球面半径为的球面渐开线沿基圆锥螺旋线作圆锥螺旋运动，且随着球面半径的变化球面渐开线的形状和位置同时发生相应的变化。因为在坐标系下的球面渐开线的方程为： （其中为已知,）所以在此坐标系下，弧齿锥齿轮的齿面的方程为： 其中，为双参数。齿面实例：如图3-7所示。图3-73.1.3 齿轮的描述对齿轮进行描述即是对造型几何参数进行确定。下面就对需用到的造型几何参数和造型几何参数的推倒阐述如下。1）弧齿锥齿轮的造型几何参数（以大端为参考）名称符号名称符号基锥半角力角基圆锥螺线导程锥距啮合齿高系数顶隙2）弧齿锥齿轮的造型几何参数的确定已知：基圆锥参数，齿数 ，啮合齿高系数，力角，基圆锥螺旋线的导程。推倒过程：1.引论图3-8如图3-8所示。令为与相对应的力角。 因为 所以 设为球面半径时的齿距，且齿数为，则： （为半径为的圆的周长的 ；为基圆的周长的，称为基圆齿距） 当已知或时：由图3-8可知： （是与大圆展成角相对应的力角）所以 当矢径在平面上的投影时，大圆（发生圆）在基圆上滚过的弧长为： 2.造型几何参数的求取图3-9推倒：如图3-9所示，啮合齿高，齿宽。由已知条件可以确定以上几个参数：取节圆上的齿厚与齿槽宽相等且为节圆齿距的一半，即： 对于轮齿的走向可由基圆锥螺旋线的导程来决定，推倒见下面的小节：5.基圆锥螺旋线的方程。3. 弧齿锥齿轮的在不同位置时的渐开线方程弧齿锥齿轮的齿面方程为： （其中为双参数）所以当取不同的半径时，就能够得到不同位置和不同半径时的球面渐开线方程，用以作图。4. 球面半径为时的齿廓的对称线的方程图3-10如图3-10所示，为节圆半径处的齿厚。因为由图3-8所可知：是与节圆相对应的各参数，将其代入上两式可得：所以由 图3-11所以 L的方程：这就是球面半径为时齿廓的对称线的方程。5. 基圆锥螺旋线的方程如图3-11所示。基圆锥螺旋线的形成过程：初始时，点和点重合，点沿锥母线移动的同时绕Z轴旋转。当的长度增加到时，点运动到了点，同时点绕Z轴转过了角到达点。点的轨迹即为基圆锥螺旋线。其方程如下：设基圆锥螺旋线的导程为，为点转过时点沿锥母线的变化量即：所以 ，将其代入基圆锥螺旋线的方程可得： 这就是基圆锥螺旋线方程。3.2 弧齿锥齿轮的啮合传动弧齿锥齿轮要满足传动规律（传动比）的要求，则两齿面必须共轭齿面。为了便于分析，我们可以将齿面间的关系转变为两个方向上的曲线之间的关系，在每个方向上两齿轮的线之间的关系也必定要满足传递的运动规律（传动比）的要求。下面我们将齿面分解为廓式、线式所在的两个方向上的曲线之间的共轭关系。要找在这两个方向上曲线间的共轭关系，只需找出决定两齿面的曲线的参数之间的关系即可。3.2.1 共轭齿面廓式、线式的参数间的关系图3-12图3-12如图3-12所示，轴交角，分别为主动轮和从动轮分锥角，主动轮和从动轮的回转角速度。弧齿锥齿轮的啮合传动可看成两节圆锥间的相互纯滚动，两节圆锥面分别与各自的齿面的交线即齿线。两齿线在啮合传动时，其上的瞬时接触点（啮合点）M的速度必然相等，将速度分解为沿锥母线移动的速度和绕轴线旋转的圆周速度，则对应于接触点（啮合点）的两共轭齿面上的点将分别在各自的节圆锥面上作圆锥螺旋运动，此两点在各自的节圆锥面上的运动轨迹即为两者的齿线（节圆锥螺旋线）。因为主动轮和从动轮在节圆锥上的对应点与接触点（啮合点）的运动速度相同，所以将两齿轮上的对应接触点（啮合点）以速度沿节圆锥运动所形成的轨迹即为两齿轮的齿线，它们是两条节圆锥螺旋线且两条螺旋线的旋向相反。1.廓式方向的参数之间的关系的推倒如图3-12所示，由上分析可知：因为两接触点（啮合点）M在每一瞬时的速度相等，所以速度的两分速度的，相等，则对应的两齿轮在此时接触点（啮合点）的分速度亦相同。 即： （仅代表大小）因为所以传动比 又因两节圆锥的锥母线的长度相等，即：，所以2.线式方向的参数之间的关系的推倒在接触点（啮合点）从一端同时啮入，另一端同时啮出过程中，与接触点（啮合点）相对应的两节圆锥上的接触点（啮合点）将在各自的节圆锥面上作圆锥螺旋运动。此两点的运动轨迹即为节圆锥螺旋线，旋向相反。如图3-12所示，假如两者从小端点啮入，大端点啮出。当传动到点时，两节圆锥的锥母线增加了，为了保证传动规律（且的转向相反）的要求，在形成圆锥螺旋线时绕轴的旋转运动与齿轮的旋转方向应相反。即：当齿面由点啮合传动到点时，两齿面上的接触点分别绕旋转轴旋转负的， 就可形成符合传动比要求的节圆锥螺旋线。设两节圆锥螺旋线的导程分别为，则： （当节圆锥锥母线的变化量为时，接触点绕轴线旋转了）所以 即：两弧齿锥齿轮的传动比等于两节圆锥螺旋线导程的反比。设两基圆锥螺旋线的导程分别为，因为所以 。3.2.2 两齿轮造型几何参数间的关系由式可得： 将上两式相比可得： 由式式可得： 将上两式相比可得： 由式可得：将上两式相比可得： （一对齿轮正确啮合时）令，则有： 又因所以所以两齿轮的传动比与两齿轮的参数之间的关系如下： 3.2.3 两齿轮传动的接触线的方程图3-13因为齿面方程已知，要求齿面方程在啮合过程中的啮合线（接触线）只需将两齿面的公法面（发生圆）绕基圆锥作纯滚动，在此过程中发生圆与齿面的交线即为两齿廓的啮合线（接触线）。将齿面固定不动，让发生圆绕基圆锥轴线旋转，在不同位置两面的交线即是两齿廓在不同时刻的啮合线（接触线）。推倒过程：如图3-13所示建立坐标系，则发生圆在如图位置的参数方程为：当其绕轴逆时针旋转时，其参数方程为： 因为齿面方程为： 其中，为双参数。受齿顶，齿根的约束。所以，两曲面的方程的交线即为啮合线（接触线）。3.2.4 两齿轮啮合传动的重合度的确定 重合度反映了两齿轮平均参与啮合的轮齿对数。对于两齿轮啮合传动的重合度是将从廓式和线式两个方向上来分析的：1.廓式重合度2.线式重合度3.重合度已知：两齿轮正确啮合传动， 轴交角为，锥距为。求：，。 解：1.以大端作为参考对进行求取如图3-14所示，两齿轮的齿廓从点进入啮合，从点啮合退出。点为啮合节点，是过两轴线的大圆与发生圆的交点。大圆上的弧长为两齿廓的实际啮合线段，大圆上的弧长为两齿廓的理论啮合线段，两点称为两齿廓的啮合极限点。的定义如下：图3-14由可知：当矢径在平面上的投影时，大圆（发生圆）在基圆上滚过的弧长为：所以 又因为 所以或由上面两式可知：增加齿数或均可以增大，增大（即增大了啮合齿高）可以增大。2.的求取图3-15如图3-15所示，两轮齿从基圆锥螺旋线的大端点啮入，从小端的点啮出。设在此过程中锥母线绕轴线转到锥母线时点在底圆上扫过的弧长为，则： 定义： 从上式可以看出：当增大齿数，减小基圆锥螺旋线导程可以增大，增大齿宽也可以增大。3.由，可以得出弧齿锥齿轮啮合传动的重合度为：由此定义出发，要增大重合度，就只需增大影响，的参数即可。因此，要增大重合度，只需增加齿数或，增大（即增大了啮合齿高），减小基圆锥螺旋线导程，增大齿宽即可。3.2.5 干涉分析齿轮干涉分为两中情况：一种是在两齿轮啮合过程中必须保证从啮入到啮出均为两球面渐开线接触；另一种是不在啮合区的轮齿不发生齿廓重叠干涉。下面将从这两个方面进行干涉分析：图3-16图3-17第一种情况：如图3-16所示，要想两齿轮啮合过程中必须保证从啮入到啮出均为两球面渐开线接触，只需：另一种情况：如图3-16所示，当齿廓从点传动到点时，齿廓的齿顶转到了，与此同时齿廓的顶点由点传动到了点。因为点为干涉极限点，所以如果点在点之后将发生干涉。由下图可知，如不发生干涉，则，即（为两弧所对应的球心角）。如3-17图所示。注意：以下的符号表示的夹角均为面间的夹角对一个齿廓有： 由球面三角的余弦定理可得： 因为不发生干涉的条件为：，所以即：将代入上不等式可得到关于的约束不等式方程，即：啮合齿高的约束方程。4 弧齿锥齿轮的三维实体造型思路：用CAXA制造工程师2006中的曲面生成/导动/（双导动线/双截面线/变高）来生成齿面并利用其他特征功能完成整个锥齿轮的造型。4.1 造型的计算准备齿轮2（左旋）1.渐开线的绘制： 当=45时，将已知条件代入齿面方程可得球面渐开线方程为：x=56.643433*cos(t)*cos(0.80106*t)+70.7106*sin(t)*sin(0.80106*t)-56.643433*sin(t)*cos(0.80106*t)+70.7106 *cos(t)*sin(0.80106*t) y=56.643433*cos(t)*cos(0.80106*t)+70.7106*sin(t)*sin(0.80106*t)+56.643433*sin(t)*cos(0.80106*t)-70.7106*cos(t)*sin(0.80106*t)z=-59.8584* cos(0.80106*t)当=31.5时，将已知条件代入齿面方程可得球面渐开线方程为：x=47.811105*cos(t)*cos(0.80106*t)+59.6848*sin(t)*sin(0.80106*t)-29.298657*sin(t)*cos(0.80106*t)+36.57486*cos(t)*sin(0.80106*t) y=29.298657*cos(t)*cos(0.80106*t)+36.57486*sin(t)*sin(0.80106*t)+47.811105*sin(t)*cos(0.80106*t)-59.6848*cos(t)*sin(0.80106*t)z=-41.90088* cos(0.80106*t)2.螺旋线的绘制：将已知条件代入方程可得螺旋线的方程为：x=101.994127*t*cos(t) y=101.994127*t*sin(t) z=-76.214081*tt的上限为： =0.785398163397448309615660845819884.2 造型过程1.球面渐开线，螺旋线的绘制单击公式曲线按钮，弹出公式曲线对话框如右所示，在其中分别输入渐开线方程1，渐开线方程2及螺旋线方程的相关参数。单击确定，然后选择坐标原点可得到三条曲线。2.轮齿另一半渐开线和另一条导动线（螺旋线）的绘制首先，作四条辅助线，它们分别是过Z轴的任意直线，与X轴的夹角为的直线以及渐开线1和渐开线2的对称线1和对称线2，如右图所示。其中对称线1和对称线2分别为与X轴的夹角为的直线绕Z轴旋转角后而得到。然后，绘制轮齿另一半渐开线和另一条导动线螺旋线。单击，在属性对话框中选择，然后拾取过对称线1和过Z轴的直线构成的平面上的三点作为渐开线1的对成平面，拾取渐开线1后单击右键可得到轮齿另一半的条渐开线。同理，可得到另一渐开线2的另一半。结果如右图所示。最后，绘制螺旋线。单击，在属性对话框中输入相应的参数， 选择如右图所示的1，2两点作为旋转轴，然后拾取螺旋线后单击右键可得到另一条螺旋线2。如下图所示。3.齿面的生成单击，将渐开线和螺旋线裁剪成如右图所示的组成部分。单击曲线打断，拾取螺旋线，拾取打断点后右击。然后将不需要的一段删除，结果如下图所示，同理，可对另一条螺旋线编辑为如右图所示的形状。单击曲线组合，在属性对话框中选择，将两条渐开线组合成为一齿廓线。如右图所示。单击导动面，在属性对话框中选择如下参数。如右图所示，拾取导动线1，导动线2，截面线1，截面线2后右击可得到如下图所示的曲面。4.齿轮的生成单击阵列，在属性对话框中选择如右图所示，然后拾取曲面单击右键，再拾取原点后右击确定。结果如下图。单击删除，删除不需要的曲面。随便保留两个，如右图所示。按F6键，将坐标系打倒ZY面，单击，选择，回车，在弹出的对话框中输入半径值右键单击。如右图所示，作了两个径为100和70的圆。用直线命令作出如右图所示的齿轮的齿顶线和齿根线，相关数据已在计算准备中算出。用裁剪命令裁剪掉多余的部分，最终形状如右图。单击旋转，在属性对话框中输入如右图所示。然后拾取转轴，拾取方向，拾取母线后右键单击。生成的两曲面如下图。单击，在属性对话框中选择如下，依次裁剪掉不需要的面，最终形状如下图。单击阵列，在属性对话框中选择如右图所示，然后拾取曲面单击右键，再拾取原点后右击确定。结果如下图所示。以下部分为根据需要选择结构尺寸。单击可见，将隐藏的线让其可见，以便于作图。 在YZ面创建草图，单击曲线投影，将所需的尺寸投影到草图平面上来，如右图所示。最后退出草图模式。单击旋转增料，选择如下，然后单击确定，生成结果如右图所示。单击曲面裁剪除料，选择如下，单击确定，生成图形如下。对于齿根过渡圆角，取半径为0.6mm，点击过渡，在弹出式对话框中选择如右，图的对话框所示，单击确定后生成如右图所示的图形。以上就是弧齿锥齿轮的全部造型过程。5 弧齿锥齿轮的数字化加工对于弧齿锥齿轮的数字化加工，所用的CAD/CAM软件为CAXA制造工程师2006。在此仅讨论齿面的加工成形，其他曲面的成形工序在此均不涉及。5.1 工艺分析 弧齿锥齿轮的齿面是一种复杂的空间曲面，传递运动和动力是由两齿轮的齿面进行保证的，为了得到高质量的传动精度，齿面的成形加工分成了粗加工和精加工两道工序，并且粗加工和精加工均选择三轴联动的参数线加工方法进行空间插补。工艺系统的选择（1）工件材料铝合金：LD30（2）机床VTC16A (RPM:7000r/min)（3）夹具精密平口钳（4）刀具球头铣刀，刀具材料为高速钢1. 毛坯如右图所示，毛坯带有工艺凸台，以便于对齿轮用精密平口钳进行装夹。此毛坯的内孔已精车，凸台的上表面和齿轮的上表面已精铣，用它们作为对刀和装夹的精基准。毛坯的齿面余量为1.5mm。2. 装夹用精密平口钳对上面的毛坯进行装夹。3. 加工轨迹的生成（注：粗加工和精加工的切削参数的选择均是在导师的指导下选择的。） 为了满足齿面加工要求（如齿根圆角半径为1.5mm的要求），对于粗加工和精加工的两道工序的刀具参数和主要切削参