概率论及数理统计习题六及答案.pdf

西南交通大学 2017 2018 学年第 一 学期 概率论与数理统计 B 课程习题答案 1 概率论与数理统计概率论与数理统计 B 习题六习题六答案答案 A 第七第七章章 置信区间置信区间 1 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布 2 N 未知 为了合理的确 定对该商品的进货量 需对 和 作估计 为此随机抽取七个月 其销售量分别为 64 57 49 81 76 70 59 试求 的双侧 0 95 置信区间和方差 2 的双侧 0 9 置信区间 解 由于 和 都未知 故 的 1双侧置信区间为 n S ntX n S ntX 1 1 1 1 22 2 的 1双侧置信区间为 1 1 2 2 2 1 2 22 n nS n nS 代入数据得 635 166 7 45 26 25 11 41 108 14 65 2 05 0 2 95 0975 0 2 ntssx 的 0 95 双侧置信区间观测值为 7 25 11 45 214 65 7 25 11 45 214 65 即 为 54 75 74 54 2 的 0 9 双侧置信区间观测值为 635 1 41 1087 592 12 41 1087 即为 14 464 3 60 2 随机地取某种子弹 9 发作试验 测得子弹速度的11 s 设子弹速度服从正态分布 2 N 求这种子弹速度的标准差 和方差 2 的双侧0 95置信区间 解 由于 未知 故 2 的双侧置信区间为 1 1 1 1 2 2 2 1 2 22 n Sn n Sn 代入数据得 18 28 535 178 121 9 2 025 0 2 975 0 2 Sn 西南交通大学 2017 2018 学年第 一 学期 概率论与数理统计 B 课程习题答案 2 2 的 0 95 双侧置信区间观测值为 18 2 1218 535 17 1218 即为 037 444 204 55 故 的 0 95 双侧置信区间观测值为 037 444 204 55 即为 07 21 43 7 第八第八章章 假设检验假设检验 3 设检验某批矿砂中的含镍量 随机抽取 7 份样品 测得含镍量百分比分别为 67 2 33 3 69 3 01 3 98 3 15 3 69 3 假设这批矿砂中的含镍量的百分比服从正态分布 试在05 0 下检验这批矿砂中的含镍 量的百分比为25 3 附表 t分布的分位点表 9432 16 05 0 t 4469 26 025 0 t 8946 17 05 0 t 3646 27 025 0 t 解 设X表示这批矿砂中的含镍量的百分比 则 2 NX 25 3 0 H 25 3 1 H 由于总体方差未知 故用检验统计量 n S X T 25 3 当 0 H成立时 1 25 3 ntn S X T 由于显著性水平05 0 7 n 所以 4469 26 025 0 t 因此检验的拒绝域为 4469 2 25 3 7211 n s x xxxW 由样本观测值 得 36 3 x 455668007 0 s 所以 4469 2638694486 07 455668007 0 25 336 325 3 n s x 因此 不拒绝 0 H 可以认为这批矿砂中的含镍量的百分比为25 3 4 设从正态总体 1 XN 中随机抽出一个容量16n 的样本 由观察值计算得 5 2x 试求参数 的置信水平为10 95 的置信区间 并借此判断能否在显著性水 平0 05 下接受假设 0 5 5H 解 在方差 2 1 已知条件下参数 的置信水平为10 95 的置信区间为 西南交通大学 2017 2018 学年第 一 学期 概率论与数理统计 B 课程习题答案 3 20 025 111 5 25 21 964 71 5 69 416 xzz n 实际上可以看出数值 5 54 71 5 69 落在参数 的置信水平为0 95的置信区间内 所以应接受 0 H 另一方面 在显著性水平0 05 下假设 0 5 5H 的拒绝域为 0 1 9 6 1 9 6 1 9 6 1 1 0 x Wx 又因5 2x 0 5 5 16n 0 5 25 5 1 21 96 1 161 16 x 落在接受域内 所以也应接受 0 H 5 某种电器零件的平均电阻为2 64 改变工艺后 测得 100 个零件的平均电阻为 2 62 设改变工艺后的电阻的方差保持在 2 0 06 问 新工艺对此零件的电阻有无显著性 的影响 0 01 6 设某次考试的成绩服从正态分布 随机抽取了 36 位考生的成绩 算得平均分为 66 5 分 标准差15S 问 在显著性水平0 05 下 是否可以认为这次考试的平均成绩为 70 分 解 假设这次考生的成绩为X 则 2 NX 把从中抽取的容量为 n 的样本均值 记为X 样本标准差为 S 本题中是在显著性水平05 0 下检验假设 70 70 10 HH 检验的拒绝域为 1 70 2 1 ntn s x t 由 0301 2136 15 5 66 36 975 0 tsxn算的 0301 24 136 15 705 66 t 所以接受 0 H 即在显著性水平 0 05 下 可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分 西南交通大学 2017 2018 学年第 一 学期 概率论与数理统计 B 课程习题答案 4 B 第七第七章章 置信区间置信区间 1 设总体 0 2 NX 且 1021 xxx 是样本观察值 样本方差2 2 s 1 求 2 的 置信水平为 0 95 的置信区间 2 已知 1 2 2 2 X Y 求 3 2 X D 的置信水平为 0 95 的置信 区间 70 2 9 2 975 0 023 19 9 2 025 0 解 1 2 的置信水平为0 95的置信区间为 9 18 9 18 2 975 0 2 025 0 即为 0 9462 6 6667 2 3 2 X D 2 2 22 2 2 2 1 11 D X D 由于 23 2 2 X D是 2 的单调减少函数 置信区间为 22 2 2 即为 0 3000 2 1137 2 从自动车床加工的一批零件中随机抽取 10 个 测得其尺寸与规定尺寸的偏差 单位 微米 分别为 2 1 2 3 2 4 2 5 3 4 记零件的尺寸偏差为X 假定 2 XN 试求未知参数 和 2 的置信度为0 95的区 间估计 0 05 2 9 2 2622t 2 0 025 9 19 023 2 0 975 9 2 7 解 1 方差未知时 均值 的置信水平为10 95 的置信区间为 2 1 s xtn n 由本题中数据得 0 05 10n 0 05 2 9 2 2622t 2x 2 4037s 故所求置信区间为 2 40372 4037 22 2622 62 26220 2805 3 7195 1010 2 方差 2 的置信水平为10 95 的置信区间为 22 22 21 2 11 1 1 nsns nn 由本题中数据得 0 05 10n 2 0 025 9 19 023 2 0 975 9 2 7 2 5 7778s 西南交通大学 2017 2018 学年第 一 学期 概率论与数理统计 B 课程习题答案 5 故所求置信区间为 9 5 7778 9 5 7778 2 7335 19 2593 19 0232 7 第八第八章章 假设检验假设检验 3 设某机床加工的零件长度 2 今抽查 16 个零件 测得长度 单位 mm 为 12 15 12 12 12 01 12 08 12 09 12 16 12 03 12 01 12 06 12 13 12 07 12 11 12 08 12 01 12 03 12 06 试求 1 2 的置信度为 95 的置信区间 2 在 5 的显著性水平下 能否认 为该机床加工的零件长度为 12 10mm 解 由数据计算得 2 置信水平 2 2 2 2 2 2 2 则 2 的置信水平为0 95的区间估计为 2 2 2 2 2 本问题是方差未知的条件下 的假设检验 故 a b c 2 d 的拒绝域为 2 e 故 所以接受 即认为该机床加工的零件长度为 12 10mm 4 食品厂用自动装罐机装罐头食品 每罐标准重量为 500 克 每隔一定时间需要检验 机器的工作情况 现抽 10 罐 测得其重量 单位 克 495 510 505 498 503 492 502 512 497 506 假设重量X服从正态分布 2 N 试求在显著性水平0 02 时 机器工作是否正常 西南交通大学 2017 2018 学年第 一 学期 概率论与数理统计 B 课程习题答案 6 解 0 500H 因 2 未知 所以选取统计量 在 0 H成立的条件下 0 500 9 10 XX Tt SnS 由样本数据 得502x 6 5s 0 502500 6 510 T 0 977 查t分布表 得 0 01 2 1 9 2 8214tnt 因为 0 0 972 8214T 故可认为自动装罐机工作正常 5 已知一批零件的长度 X 单位 cm 服从正态分布 2 4 53 0 108N 某日从中随机 地抽取 9 个零件 测到长度的平均值为 4 49cm 样本方差为 2 0 0676 1 假定总体方差无 变化 能否认为该日零件的平均长度仍为 4 53 2 如果不能确定总体方差是否发生变化 能否认为该日零件的平均长度仍为 4 53 0 05 解 1 01 4 53 4 53HH 0 4 53 0 1 X HnN 当成立时 拒绝域为 2 4 53 X nZ 0 050 05 22 1 0 0250 9751 96ZZ 所以 4 494 53 9 1 11 1 96 0 108 0 H 成立 可以认为该日零件的平均长度仍为 4 53 2 01 4 53 4 53HH 0 4 53 1 X Hnt n S 当成立时 拒绝域为 2 4 53 1 X ntn S 因为 0 05 2 2 306t 8 4 494 53 9 1 7752 306 0 0676 0 H 成立 可以认为该日零件 的平均长度仍为 4 53 6 设某厂生产一种钢索 其断裂强度 2 kg cm X服从正态分布 2 40 N 从中随机选 取一个容量为 9 的样本 由观测值计算得平均值 2 780 kg cm x 能否据此认为这批钢索 的平均断裂强度为 2 800 kg cm 0 05 0 05 2 1 96z 解 这是正态总体 2 N 方差 22 40 已知时 关于均值 的双边检验问题 检验过 程如下 1 根据实际问题提出假设 01 800 800HH 2 选定显著性水平0 05 确定样本容量9n 3 选择恰当的统计量 X U n 在 0 H为真时 检验统计量 西南交通大学 2017 2018 学年第 一 学期 概率论与数理统计 B 课程习题答案 7 800 0 1 40 9 X UN 4 查标准正态分布表可得 0 05 2 1 96z 的值 确定 0 H的拒绝域为 800 1 96 40 9 x u 5 根据样本值计算780 x 及检验统计量的观测值 800780800 1 51 96 40 940 9 x u 落在接受域内 所以应接受 0 H 即在显著性水平0 05 下可以认为这批钢索的平均 断裂强度为 2 800 kg cm 7 某 纯 净 水 生 产 厂 用自 动 灌 装 机 灌 装 纯 净水 该 自 动 灌 装 机 正常 灌 装 量 2 18 XN 1 若 n XX 1 为其样本 X为样本均值 计算 0 n EXX P 2 现测量了某天 9 个灌装样品的灌装量 单位 L 数据如下 18 0 17 6 17 3 18 2 18 1 18 5 17 9 18 1 18 3 在显著性水平0 05 下 试问该天灌装量是否正常 0 025 8 2 306t 解 1 由于 2 18 9 XN 则 18 0 0 XPEXXP n EXX P 0 5 2 这是正态总体 2 N 方差 2 未知时 关于均值 的双边检验问题 1 根据实际问题提出假设 01 18 18HH 2 选定显著性水平0 05 确定样本容量9n 3 选 择 恰 当 的 统 计 量