浙江高考数学复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形学案.docx

第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2018全国卷)若sin ，则cos 2()A. B. C. D.解析cos 212sin212.答案B2.(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A. B. C. D.解析根据题意及三角形的面积公式知absin C，所以sin Ccos C，所以在ABC中，C.答案C3.(2018浙江卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sin B_，c_.解析因为a，b2，A60，所以由正弦定理得sin B.由余弦定理a2b2c22bccos A可得c22c30，所以c3.答案34.(2017浙江卷)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.解析依题意作出图形，如图所示，则sinDBCsinABC.由题意知ABAC4，BCBD2，则sinABC，cosABC.所以SBDCBCBDsinDBC22.因为cosDBCcosABC，所以CD.由余弦定理，得cosBDC.答案考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2cos21，tan .(2)诱导公式：对于“，kZ的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos sin sin ；tan().(4)二倍角公式：sin 22sin cos ，cos 2cos2sin22cos2112sin2.(5)辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中tan .2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)；变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等.(2)余弦定理在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos A.(3)三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.热点一三角恒等变换及应用【例1】 (1)(2018全国卷)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，则|ab|()A. B. C. D.1(2)若tan 2tan ，则()A.1 B.2 C.3 D.4(3)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，AOC.若|BC|1，则cos2sincos的值为_.解析(1)由题意知cos 0.因为cos 22cos21，所以cos ，sin ，得|tan |.由题意知|tan |，所以|ab|.故选B.(2)3.(3)由题意得|OC|OB|BC|1，从而OBC为等边三角形，所以sinAOBsin，所以cos2sincossin cos sin.答案(1)B(2)C(3)探究提高1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.【训练1】 (1)(2018全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.(2)(2017北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin ，则cos()_.(3)(2018湖州质检)若cos(2)，sin(2)，0，则的值为_.解析(1)sin cos 1，cos sin 0，sin2cos22sin cos 1，cos2sin22cos sin 0，两式相加可得sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin )1，sin().(2)与的终边关于y轴对称，则2k，kZ，2k，kZ.cos()cos(2k)cos 2(12sin2).(3)因为cos(2)且2，所以sin(2).因为sin(2)且2，所以cos(2).所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2).因为，所以.答案(1)(2)(3)热点二正、余弦定理的应用考法1三角形基本量的求解【例21】 (2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题设知，ADB0，所以b3.探究提高解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.【训练2】 (2016浙江卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小.(1)证明由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB).又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由S得absin C，故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B，因sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A； 当CB时，A.综上，A或A1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择Sabsin C来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角一、选择题1.已知R，sin 2cos ，则tan 2等于()A. B. C. D.解析sin 2cos ，sin2 4sin cos 4cos2.用降幂公式化简得4sin 23cos 2，tan 2.故选C.答案C2.(2018全国卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB()A.4 B. C. D.2解析因为cos C2cos2121，所以由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C25125132，所以AB4，故选A.答案A3.(2018北京西城区调研)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A()A. B. C. D.解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tanBAC3，所以cosBAC.答案C4.设，且tan ，则()A.3 B.2C.3 D.2解析由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin.，由sin()sin，得，2.答案B5.(2018杭州调研)已知cos，则cossin2的值为()A. B. C. D.解析cossin2cossin212cos21cos223cos2.答案C6.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C，则下列等式成立的是()A.a2b B.b2a C.A2B D.B2A解析等式右边2sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin(AC)sinAcos Csin B.等式左边2sin Bcos Csin B，2sin Bcos Csin Bsin Acos Csin B，因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0.所以2sin Bsin A，根据正弦定理，得a2b.答案A二、填空题7.(2018金华模拟)已知sin，则sin_.解析sin，coscossin；又0，sin.答案8.(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_.解析由bsin Ccsin B4asin Bsin C得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C0，所以sin A.因为b2c2a28，所以cos A，所以bc，所以SABCbcsin A.答案9.(2018稽阳联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csin Aacos C，则C_；若c，ABC的面积为，则ab_.解析由正弦定理可得sin Csin Asin Acos C，在ABC中，sin A0，tan C，C，又absin C，ab6，再由余弦定理得c2a2b22abcos C，即31a2b2ab，31(ab)23ab，ab7.答案710.(2018北京卷)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；的取值范围是_.解析ABC的面积Sacsin B(a2c2b2)2accos B，所以tan B，因为0B90，所以B60.因为C为钝角，所以0A30，所以0tan A2，故的取值范围为(2，).答案60(2，)11.(2018江苏卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_.解析因为ABC120，ABC的平分线交AC于点D，所以ABDCBD60，由三角形的面积公式可得acsin 120a1sin 60c1sin 60，化简得acac，又a0，c0，所以1，则4ac(4ac)5529，当且仅当c2a时取等号，故4ac的最小值为9.答案9三、解答题12.(2018浙江卷)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos 的值.解(1)由角的终边过点P得sin ，所以sin()sin .(2)由角的终边过点P得cos ，由sin()得cos().由()得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .13.(2018江苏卷)已知，为锐角，tan ，cos().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值.解(1)因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，因此，cos 22cos21.(2)因为，为锐角，所以(0，).又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2，因此，tan()tan2().14.(2018北京卷)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC边上的高.解(1)在ABC中，因为cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由题设知B，所以0A.所以A.(2)在ABC中，因为sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC边上的高为asin C7.15.(2016北京卷)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)求cos Acos C的最大值.解(1)由a2c2b2ac得a2c2b2ac.由余弦定理得cos B.又0B，所以B.(2)ACB，所以CA，0A.所以cos Acos Ccos Acoscos Acoscos Asin sin Acos Acos Asin Asin Acos Asin，0A，A，故当A，即A时，cos Acos C取得最大值为1.16.(2018天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，