高三数学一轮复习 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教A版.ppt

第3讲 函数的奇偶性与周期性 1 函数的奇偶性的定义 1 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 或 则称f x 为奇函数 奇函数的图象关于 对称 2 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 或 则称f x 为偶函数 偶函数的图象关于 轴对称 3 通常采用图象或定义判断函数的奇偶性 具有奇偶性的函数 其定义域关于原点对称 也就是说 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称 原点 f x f x f x f x 0 f x f x 0 y f x f x 2 函数的周期性的定义对于函数f x 如果存在一个 t 使得定义域内的每一个x值 都满足 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t叫做这个函数的 非零常数 f x t f x 周期 d a 奇函数b 偶函数c 既是奇函数又是偶函数d 非奇非偶函数 c 2 下列函数中 在其定义域内是奇函数的是 c a y轴对称c 坐标原点对称 b 直线y x对称d 直线y x对称 4 2012年广东广州一模 若函数f x ln x2 ax 1 是偶函数 则实数a的值为 0 5 设f x 是 上的奇函数 f x 2 f x 当 0 x 1时 f x x 则f 7 5 0 5 解析 由f x 2 f x 得f x 4 f x 故f x 是以4为周期的函数 故f 7 5 f 0 5 8 f 0 5 又f x 是 上的奇函数 且当0 x 1时 f x x 所以f 7 5 f 0 5 f 0 5 0 5 考点1判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性 解 1 函数的定义域为x 关于原点对称 f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x 1 x 1 是奇函数 2 此函数的定义域为 x x 0 由于定义域关于原点不对称 故f x 既不是奇函数也不是偶函数 3 去掉绝对值符号 根据定义判断 故f x 的定义域为 1 0 0 1 关于原点对称 且有x 2 0 故f x 为奇函数 4 函数f x 的定义域是 0 0 当x 0时 x 0 f x x 1 x x 1 x f x x 0 当x 0时 x 0 f x x 1 x f x x 0 故函数f x 为奇函数 5 此函数的定义域为 1 1 且f x 0 可知图象既关于原点对称 又关于y轴对称 故此函数既是奇函数又是偶函数 f x 是奇函数 1 函数的奇偶性是函数的一个整体性质 定义域具有对称性 即若奇函数或偶函数的定义域为d 则x d时都有 x d 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 因此判断函数的奇偶性应首先考虑函数的定义域 2 分段函数的奇偶性一般要分段证明 3 用定义判断函数的奇偶性的步骤是 定义域 关于原点对称 验证f x f x 下结论 还可以利用图象法或定义的等 互动探究 域均为r 则 b a f x 与g x 均为偶函数c f x 与g x 均为奇函数 b f x 为偶函数 g x 为奇函数d f x 为奇函数 g x 为偶函数 1 2010年广东 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义 d 考点2 利用函数的奇偶性求函数解析式 互动探究 3 2011年广东广州综合测试 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 当x 0时 f x x3 x2 则当x 0时 f x 的解析式为 f x x3 x2 4 2011年安徽 设f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 x 则f 1 a a 3 b 1 c 1 d 3 解析 f 1 f 1 2 1 2 1 3 故选a 考点3 函数奇偶性与周期性的综合应用 a 值的方法 关键是通过周期性和奇偶性 把自变量 转化到区间 本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数 52 0 1 上进行求值 互动探究 5 2011年山东 已知f x 是r上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 的图象在区间 0 6 上 与x轴的交点的个数为 b a 6 b 7 c 8 d 9 解析 因为当0 x 2时 f x x3 x 又因为f x 是r上最小正周期为2的周期函数 且f 0 0 所以f 6 f 4 f 2 f 0 0 又因为f 1 0 所以f 3 0 f 5 0 故函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为7个 故选b d a a b cc c b a b b a cd c a b 易错 易混 易漏5 判断函数奇偶性时没有考虑定义域 正解 的定义域相同 均为 2 2 且均有f x f x 所以都是奇函数 的定义域为 2 2 且有f x f x 所以为偶函数 而 的定义域为 2 不对称 因此为非奇非偶函数 失误与防范 在判断一个函数的奇偶性时 必须注意其定义域 一个函数具有奇偶性的前提是此函数的定义域关于原点对称 对于函数f x 定义域中的任意x 总存在一个常数t t 0 使得f x t f x 恒成立 则t是函数y f x 的一个周期 1 若函数y f x 满足f x a f x a a 0 则t 2a是它 的一个周期 2 若函数y f x 满足f x a f x a 0 则t 2a是它的 一个周期 3 若函数y f x 满足f x a 1f x a 0 则t 2a是它的 一个周期 4 若函数y f x 满足f x a 1f x a 0 则t 2a是它的一 个周期 1 f x 1 f x a 0 则t 2a是它 5 若函数y f x 满足f x a 的一个周期 6 若函数y f x x r 的图象关于直线x a与x b对称 则t 2 b a 是它的一个周期 7 若函数y f x x r 的图象关于点 a 0 与x b对称 则t 4 b a 是它的一个周期 对于函数f x 的定义域内任意一个