高考数学一轮复习 第八章 第7讲 立体几何中的向量方法(Ⅱ)求空间角配套课件 理 新人教A版 .pptVIP

考点梳理 1 设异面直线l1 l2的方向向量分别为m1 m2 则l1与l2的夹角 满足cos cos m1 m2 2 设直线l的方向向量和平面 的法向量分别为m n 则直线l与平面 的夹角 满足sin cos m n 第7讲立体几何中的向量方法 求空间角 3 求二面角的大小 b 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足cos cos n1 n2 或 cos n1 n2 一个考情解读异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角是近年高考的常见内容 在新课程标准下 立体几何的基本理论知识要求有所降低 因此应用向量这一工具解题尤为重要 特别是对于易建系的空间图形 应尽量建立空间直角坐标系解决 以降低解题难度 助学 微博 1 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a 1 0 1 b 0 1 1 那么 这条斜线与平面所成的角是 考点自测 答案60 2 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角的大小为 答案45 或135 答案30 4 在如图所示的正方体a1b1c1d1 abcd中 e是c1d1的中点 则异面直线de与ac夹角的余弦值为 5 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1 底面abc ab bc aa1 abc 90 点e f分别是棱ab bb1的中点 则直线ef和bc1所成的角是 答案60 考向一求异面直线所成的角 例2 2012 苏锡常镇四市调研 二 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab 4 ad 2 aa1 2 f是棱bc的中点 点e在棱c1d1上 且d1e ec1 为实数 考向二利用向量求直线与平面所成的角 方法总结 1 异面直线的夹角与向量的夹角有所不同 应注意思考它们的区别与联系 2 直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角 由于向量方向的变化 所以要注意它们的区别与联系 训练2 2013 苏北四市调研 如图 已知三棱柱abc a1b1c1的侧面与底面垂直 aa1 ab ac 1 ab ac m n p分别是cc1 bc a1b1的中点 1 求证 pn am 2 若直线mb与平面pmn所成的角为 求sin 的值 例3 2012 天津卷 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd ac ad ab bc bac 45 pa ad 2 ac 1 1 证明 pc ad 2 求二面角a pc d的正弦值 3 设e为棱pa上的点 满足异面直线be与cd所成的角为30 求ae的长 考向三利用向量求二面角 方法总结 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 训练3 2011 湖北卷 如图 已知正三棱柱abc a1b1c1的各棱长都是4 e是bc的中点 动点f在侧棱cc1上 且不与点c重合 1 当cf 1时 求证 ef a1c 2 设二面角c af e的大小为 求tan 的最小值 向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化 避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦 使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化 简单化 主要是建系 设点 计算向量的坐标 利用数量积的夹角公式计算 规范解答15利用空间向量求空间角 示例 2011 江苏卷 如图 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2 ab 1 点n是bc的中点 点m在cc1上 设二面角a1 dn m的大小为 1 当 90 时 求am的长 审题路线图 设cm t 建系确定点的坐标 利用平面的法向量垂直求 1 问 利用法向量表示cos 求 2 问 1 2012 福建卷 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd中点 1 求证 b1e ad1 2 在棱aa1上是否存在一点p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 3 若二面角a b1e a1的大小为30 求ab的长 高考经典题组训练 2 2012 江西卷 在三棱柱abc a1b1c1中 已知ab ac aa1