高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理（2）课堂导学案 新人教A版选修23.doc

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 2课堂导学三点剖析一、分步乘法计数原理的简单应用【例1】 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9这10个数字，4个拨号盘各取1个数字可以组成多少个不同的四位数字号码?解析：要组成一个四位数字号码可分为4步，每个拨号盘上的数字都有从0到9十种取法，由分步乘法计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字号码的个数是n=10101010=10 000即可以组成10 000个四位数字号码.温馨提示 应用分步原理的要点是，将完成一件事的过程分解为若干个步骤，而每个步骤的方法数应易于计算.二、根据问题特点，合理地确定分步的标准是用好分步计数原理的关键【例2】 (1)5名学生争夺3项比赛冠军，获得冠军的 可能情况种数共有多少?(2)数、理、化三科教师都布置了作业，求在同一时刻5名学生都做作业的所有可能情况的种数?解析:(1)完成这件事情(决定三个冠军)，需要分三步，每一项冠军都可以由5个人中的一人得到，故共有555=125(种).(2)完成这件事情(5名学生同时做作业)，需要分步，即每个学生做作业均有3种情况，所以5名学生同时做作业的情况共有33333=243(种).温馨提示 在分步时，必须有明确的标准，这样才可做到使结果不重、不漏.如(1)题以三项冠军为标准从而分3步，如果以人为标准分5步，每步有3种情况(显然不对)漏掉不得冠军的情况，并且重复现象也明显.(2)题以学生为标准，分5步，同样可知得53也不对.三、弄清问题的实质和背景，把问题转化为能运用分步计数原理解决的问题【例3】 2 160的所有正因数的和是多少?解析:首先要搞清正因数的概念与正因数的形成过程.因为 2 160=24335,所以 2 160的正因数为p=2a3b5c，其中a0,1,2,3,4，b0,1,2,3,c0,1.确定了一组a,b,c的值就确定了惟一的一个正因数,a,b,c中至少有一个不同则对应不同的正因数.如果将它们分别计算然后相加比较繁琐，事实上(20+21+22+23+24)(30+31+32+33)(50+51)展开式的项也就是2 160的所有正因数，所以 2 160的所有正因数的和为(20+21+22+23+24)(30+31+32+33)(50+51)=7 440.温馨提示 只要我们把问题的实质、背景、形成条件弄清楚了，就能准确、恰当的找到解决问题的办法.本题先分解质因数，由质因数的种类，可知构成一个因数可分三个步骤，由每种质因数可取的个数得到每个步骤的办法数.各个击破【类题演练1】某学生填报高考志愿，有m个不同的学校可供选择，若只能填3个志愿，且按第一、二、三志愿依次填写，求该生填写志愿的方式的种数.解析：可分三步完成填写志愿的任务：第一步从m个学校中选1个填写在第一志愿中；第二步从剩下的m-1个学校中选1个填在第二志愿中；第三步从剩下的m-2个学校中选1个填写在第三志愿中.由分步计数原理共有n=m(m-1)(m-2)种填写志愿的种数.【变式提升1】三种作物种植在如图所示的五块实验田里，每块实验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种?解析：问题的实质是三种作物不能有剩余且相邻的实验田不能种植同一种作物，只考虑“相邻的实验田不能种植同一作物”，有32222=48(种)，再考虑“满足相邻的实验田不能种植同一作物最少要几种作物”.仅用2种作物种植时有6种方式，所以共有48-6=42(种)种植方式.【类题演练2】 从-3，-2，-1，0，1，2，3中任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2+bx+c(a0)的系数，如果抛物线过原点且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条?解析：抛物线y=ax2+bx+c过原点，且顶点在第一象限，a、b、c应满足即分三步，a=-3,-2,-1;b=1,2,3,c=0，所以抛物线的条数n=331=9.【变式提升2】直线l上有7个点，直线m上有8个点，若这些点都不重合，则通过这些点中的两点最多有_条直线，若m与l上有两点重合，最少有_条直线.解析：如图(1)，l上的点与m上的点互不重合，经过这些点的直线包含：()经过l上一点与m上一点的直线，共78=56条；()l与m，共2条，因此最多共有58条直线.如图(2)，不妨设a1、b1重合(l与m不重合，l与m上的点至多有一对点重合)，这时，经过这些点的直线共有67+2=44条，这是最少的情形. (1) (2)答案：58，44【类题演练3】已知集合a=a,b,c,d,b=e,f,g，那么从a到b的映射共有多少个?解析：首先应将“映射”的概念弄清，映射是指集合a中的任一个元素在集合b中有惟一的元素与它相对应.从映射的概念中我们可以看到它的两个特征：(1)集合a中的元素不能剩余，集合b中的元素可以剩余；(2)从集合a到集合b元素可以多对一，不能一对多.所以 要“完成一个映射”可以分步完成：第一步a的象有三种可能，同理b,c，d的象也有三种可能，所以a到b的映射共有3333=34(个).【变式提升3】有n种不同颜色为广告牌着色（如图），要求在、这4个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色. (1)当n=6时，为图1着色共有多少种不同的着色方法.(2)若为图2着色时共有120种不同的着色方法，求n.解析：完成着色这件事，共分四个步骤进行，可依次考虑区域、着色时各自的方法数，再由乘法原理确定总的着色方法数.(1)为着色有6种方法，为着色有5种方法，为着色有4种方法，为着色也有4种方法.所以共有着色方法6544=480（种