系统建模1_数学建模概述.pdf

1 数学建模概述玩具 照片 实物模型实物模型 风洞中的飞机 物理模型物理模型 地图 电路图 符号模型符号模型 模型模型是为了一定目的 对客观事物的一部分进行 简缩 抽象 提炼出来的原型的替代物 模型模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 我们常见 的模型 什么是数学模型什么是数学模型 第一章建立数学模型第一章建立数学模型 你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型 航行问题 航行问题 甲乙两地相距750公里 船从甲到乙顺水航行需30 小时 从乙到甲逆水航行需50 小时 问船的速度是多少 用x表示船速 y表示水速 列出方程 75050 75030 yx yx 求解得到 x 20 y 5 答 船速每小时20公里答 船速每小时20公里 航行问题建立数学模型的基本步骤航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设 船速 水速为常数 用符号表示有关量 x y表示船速和水速 用物理定律 匀速运动的距离等于速度乘以 时间 列出数学式子 二元一次方程 求解得到数学解答 x 20 y 5 回答原问题 船速每小时20公里 数学模型 Mathematical Model 和 数学建模 Mathematical Modeling 数学模型 数学模型 对于一个现实对象对象 为了一个特定目的目的 根据其内在规律规律 作出必要的简化假设假设 运用适当 的数学工具数学工具 得到的一个数学结构数学结构 数学建模 数学建模 建立数学模型的全过程全过程 包括建立 求解 分析 检验 数 学 建 模 的 重 要 意 义数 学 建 模 的 重 要 意 义 电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步 越来越受到人们的重视 数学建模计算机技术 如虎添翼如虎添翼 知识经济 2 建模示例 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题椅子能在不平的地面上放稳吗 1 椅子四条腿一样长 椅脚与地面接触处可视为一点 四脚 的连线呈正方形 2 地面高度是连续变化的 沿任何方向都不会出现间断 没 有像台阶那样的情况 即地面可视为数学上的连续曲面 3 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言 地面是相对平坦的 使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地 模型假设 A B C D t A B C D O x 模型构成 椅脚连线为正方形ABCD 如右图 t 椅子绕中心点O旋转角度 f t A C两脚与地面距离之和 g t B D两脚与地面距离之和 f t g t 0 模型构成由假设1 f和g都是连续函数 由假设3 椅子在任何位置至少有三只脚 同时着地 对任意t f t 和g t 中至少有一 个为0 当t 0时 不妨设g t 0 f t 0 原题归 结为证明如下的数学命题 已知f t 和g t 是t的连续函数 对任意t f t g t 0 且g 0 0 f 0 0 则存在t0 使f t0 g t0 0 模型 求解 O x A B C D A B C D t 最后 因为f t g t 0 所以f t0 g t0 0 令h t f t g t 则h 0 0和h 0 由f和g的连续性知h也是连 续函数 根据连续函数的基本性质 必存在t0 0 t00可 知g 0 f 0 2 2 建模示例商人们怎样安全过河建模示例商人们怎样安全过河 问题 智力游戏 3名商人 3名随从 河 小船 至多2人 随从们密约 在河的任一岸 一旦随从的人数比商人多 就杀人越货 但是乘船渡河的方案由商人决定 商人们怎样才能安全过河 问题分析 多步决策过程 决策决策 每一步 此岸到彼岸或彼岸到此岸 船上的人员 要求要求 在安全的前提下 两岸的随从数不比商人多 经 有限步使全体人员过河 模型构成 xk 第k次渡河前此岸的商人数 yk 第k次渡河前此岸的随从数 xk yk 0 1 2 3 k 1 2 sk xk yk 过程的状态 S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 S 允许状态集合 uk 第k次渡船上的商人数 vk 第k次渡船上的随从数 dk uk vk 决策 D u v u v 1 2 允许决策集合 uk vk 0 1 2 k 1 2 sk 1 skdk 1 k 状态转移律 求求dk D k 1 2 n 使使sk S按转移律 由 按转移律 由s1 3 3 到达到达sn 1 0 0 多步决 策问题 模型求解 x y 3 32 2 1 1 0 穷举法 编程上机 图 解 法 图 解 法 状态s x y 16个格点 10个 点 允许决策D 移动1或2格 k奇 左下移 k偶 右上移 s1 sn 1 d1 d11给出安全渡河方案 评注和思考 规范化方法 易于推广规范化方法 易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况 d1 d11 允许状态S S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 D u v u v 1 2 习题 模仿这一案例 作下面一题 人带着猫 鸡 米过河 船除需要 人划之外 至多能载猫 鸡 米三者之 一 而当人不在场时猫要吃鸡 鸡要吃 米 试设计一安全过河方案 并使渡河 次数尽量地少 3 背景 年1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口 亿 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口 亿 3 4 7 6 7 10 1 11 3 12 13 研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长 建模示例如何预报人口的增长建模示例如何预报人口的增长 指数增长模型 常用的计算公式 k k rxx 1 0 马尔萨斯 1788 1834 提出的指数增长模型 1798 x t 时刻t人口r 人口 相对 增长率 常数 ttrxtxttx 今年人口 x0 年增长率 r k年后人口 0 0 xxrx dt dx rt extx 0 tr extx 0 t rx 1 0 随着时间增加人口按指数规律无限增长随着时间增加人口按指数规律无限增长 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数 逐渐下降 阻滞增长模型 Logistic模型 人口增长到一定数量后 增长率下降的原因 资源 环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假定 0 srsxrxrr 固有增长率 x很小时 xm 人口容量 资源 环境能容纳的最大数量 1 m x x rxr r是x的减函数 m x r s 0 m xr 阻滞增长模型 Logistic模型 rx dt dx 1 m x x rxxxr dt dx dx dt x 0 xmxm 2 xm x t x x x e m mrt 11 0 t x 0 x t S形曲线 x增加先快后慢 x0 xm 2 模型的参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报 必须先估计模型参数 r 或 r xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例 美国人口数据 单位 百万 1860 1870 1880 1950 1960 1970 1980 1990 31 4 38 6 50 2 150 7 179 3 204 0 226 5 251 4 r 0 2557 xm 392 1 专家估计 4 模 型 检 验 用模型预报2000年美国人口 与实际数据比较 2000 1990 1990 1990 1 1990 m xxxxrxxx 实际为281 4 百万 2000 274 5x 模 型 应 用 人 口 预 报 加入2000年人口数据后重新估计参数 r 0 2490 xm 434 0 x 2010 306 0 百万 Logistic模型在经济领域中的应用 如耐用消费品的售量 基本方法 机理分析机理分析 测试分析测试分析 根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律 将研究对象看作 黑箱 通过对量测数据 的统计分析 找出与数据拟合最好的模型 机理分析没有统一的方法 主要通过实例研究 Case Studies 来学习 以下建模主要指机理分析 二者结合二者结合 机理分析建立模型结构 测试分析确定模型参数 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 数 学 建 模 的 一 般 步 骤数 学 建 模 的 一 般 步 骤 模型准备模型假设模型构成 模型求解模型分析 模型检验 模型应用 怎 样 学 习 数 学 建 模怎 样 学 习 数 学 建 模 数学建模与其说是一门技术 不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术 不如说是一门艺术 技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则 想象力洞察力 判断力 学习 分析 评价 改进别人作过的模型学习 分析 评价 改进别人作过的模型 亲自动手 认真做几个实际题目亲自动手 认真做几个实际题目 创新意识 看谁答得快 1 某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山 下午5时到达山顶 并留宿 次日早8时沿同一路径下山 下午5时回到旅店 某 乙说 甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点 为 什么 2 某人家住T市 在他乡工作 每天下班后乘火车于6时抵达T 市车站 他的妻子驾车准时到车站接他回家 一日他提前下 班搭早一班火车于5时半抵T市车站 随即步行回家 他的妻 子像往常一样驾车前来 在路上遇到他接回家时 发现比往 常提前了10分钟 问他步行了多长时间 3 两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上 学 每天同时放学后分别以4千米 小时和2千米 小时的速度步 行回家 一小狗以6千米 小时的速度从哥哥处奔向妹妹 又从 妹妹处奔向哥哥 如此往返直至回家中 问小狗奔波了多少 路程 录像机计数器的用途录像机计数器的用途 问 题 问 题 经试验 一盘录像带从头走到尾 时间用了 183分30秒 计数器读数从0000变到6152 在一次使用中录像带已经转过大半 计数器读数为 4580 问剩下的一段还能否录下1小时的节目 要求要求 不仅回答问题 而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系 思考思考计数器读数是均匀增长的吗 计数器读数是均匀增长的吗 第二章初等模型 5 问 题 分 析 录像机计数器的工作原理 0000 左轮盘 右轮盘 磁头 主动轮 压轮 计数器 录象带 录像带运动方向 录像带运动右轮盘半径增大 右轮转速不是常数录像带运动速度是常数 计数器读数增长变慢 观 察 计数器读数增长越来越慢 模 型 假 设 录像带的运动速度是常数v 计数器读数n与右轮转数m成正比 记m kn 录像带厚度 加两圈间空隙 为常数w 空右轮盘半径记作r 时间t 0 时读数n 0 建 模 目 的建立时间t与读数n之间的关系 设v k w r 为已知参数 模 型 建 立 建立t与n的函数关系有多种方法 1 右轮盘转第i 圈的半径为r wi m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt 所以 knm n v rk n v wk t 2 2 2 1 2 m i rwivt 模 型 建 立 2 考察右轮盘面积的 变化 等于录像带厚度 乘以转过的长度 即 22 rwknrwvt n v rk n v wk t 2 2 2 3 考察t到t dt录像带在 右轮盘缠绕的长度 有 2 ddrwknk nv t 思 考思 考 vtwir m i 1 2 wvtrwknr 22 vdtkdnwknr 2 n v rk n v wk t 2 2 2 1 3种建模方法得到同一结果1 3种建模方法得到同一结果 但仔细推算会发现稍有差别稍有差别 请解释 2 模型中有待定参数2 模型中有待定参数 kvwr 确定参数的一种办法是测量或调查 试设计测量方法 参 数 估 计 确定参数的另一种方法 测试分析 将模型改记作 2 bnant 只需估计 ba 理论上 已知t 183 5 n 6152 再有一组 t n 数据即可 实际上 由于测试有误差 最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据 t0 20 40 60 80 n 0000 1153 2045 2800 3466