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本书的数学教学原则及其批判华南师范大学 何小亚三、数学教学原则的论述我们来分别论述上述四个数学教学原则。学习数学化原则；适度形式化原则；问题驱动原则；渗透数学思想方法原则。1）学习数学化原则（没讲清楚其内涵与外延）数学化是弗赖登塔尔提出来的（见第三章第一节）。他认为，数学作为人类的一种活动，它的主要特征就是数学化，数学学习的过程就是数学化的过程。“与其说学习数学，不如说学习数学化”。数学化，就是学会用数学的观点考察现实，运用数学的方法解决问题。n 我认为，这一定义不符合弗赖登塔尔的原意。弗赖登塔尔所说的数学化（mathematizing）就是整理现实性的过程，它包括数学家的全部组织活动，比如公理化、形式化（符号化）、图式化、建模，以及数学内部由低级向高级的推动过程。（1 P 42-50）n 这里的“现实性（reality）”=真实世界（real world）+数学世界（maths）公理化（axiomatize）：从少数不加定义的原始概念和不加证明的公理出发，运用逻辑推理规则把一门学科建立成为演绎系统的过程。形式化（formalize）:用日益有效的符号对语言的整理、修正和转化的过程。1 P 43图式化（schemalize）: 介绍完公理化、形式化后，他接着写到：“人们早已习惯于把经历和行为示范性地推广，从中抽象出定律和规则.形成与现实的体系相吻合的图式。最后一步就是图式化，它和公理化、形式化相对应，尤其是当考虑的是内容而不是抽象的形式或语言的时候。”1 P 43我的理解：图式化就是形式内容的内化过程，其结果是一种心理意义，即心理结构。建模（modeling）:是数学化的一个方面，F氏将其定义为理想化和简单化。1 P 48 数学化有两种：(Treffers，Goffree)n 水平数学化：从背景中识别数学图式化形式化寻找关系和规律识别本质对应到已知的数学模型(现实的,经验的) 水平数学化过程就是从“生活”到“符号”的转化过程n 垂直数学化是水平数学化后的数学化，是从低层数学到高层数学的数学化。是在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用。 当我们面对一个情境，如果是一个小学生，必须会区分该情境究竟是“加法”问题，还是“减法”问题；一个中学生则要看得出这是方程问题呢，还是函数问题？也许它是一个概率问题，或者可以归结为一个几何问题。接着，还要判断这个问题是否有解，如何解，解答是否符合实际，不断调整和反思。这种数学化的学习，和单纯记忆“知识点”，背诵题型，搞题海战术的教学是不同的。（两者不同在何处？）将这一原则运用在课堂教学上，就是要正确设定教学目标，突出所教内容的数学本质，显示课程所具有的数学价值。举例来说，如果教学内容是“方程”。那么按照关肇直先生的建议，就要揭示方程概念的实质：为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立起来的一种等式关系。学生有了这样的数学化观念，就能将许多现实问题列为方程，做到数学化。数学化和数学建模有密切关系（？属于水平数学化的范畴）。我们在教学改革中，强调数学情境的创设，数据的采集、选择和转换，数学模型的建立，数学方法合理性分析，以及数学解答的检验等，都是符合数学化原则的。将问题数学化，形成数学问题，获取数学知识的现实本源，是数学教学必须坚持的基本原则之一。数学化是从数学整体出发学习数学。实际上，数学本身是用数学化方法组织的一个内部联系密切的领域。没有纵向的数学化，数学知识就像一盘散沙，缺乏系统化和合理化，适用性不强。数学化能力是由数学的抽象、形式化的语言特征决定的一种特殊能力。用数学解决实际问题，首先就是要将实际问题转化为用数学语言描述的数学模式。我的修改建议：水平数学化的原则2）适度形式化原则此条原则讲了等于没讲，在数学教学中如何适度？如何操作？形式化是数学的特征。自从20世纪初，大数学家希尔伯特提出形式主义数学哲学观以来，数学的形式化特征更加浓烈。形式化有助于数学理论体系的简单化、严格化和系统化。由于形式化能够简洁明了地表示纯粹的数量关系，因而可以帮助不断澄清思想、理出线索，寻找本质联系。形式化的另一重要作用，是有助于数学的发现和创造。已有数学知识的形式结构，可以为探索和确定未知的数学形式结构提供猜想、类比的基础或借鉴的模型。数学的形式化包括“符号化、逻辑化和公理化”三个层面。？数学是符号化的形式化语言。用一套表意的数学符号，去表达数学对象的结构和规律，从而把对具体数学对象的研究转化为对符号的研究，并生成演绎的体系。这就是数学的形式化。这一界定表明，形式化就是符号化。数学符号化是数学形式化的基础，如果说，语文是方块字符号按汉语语法组成的篇章，那么数学就是用数字、字母和运算符号，依照逻辑联结，描述数量关系和空间形式的知识体系。可以说，数学的世界是一个符号化的世界（徐利治，2001）。数学教学的重要目标是会使用符号。从小学开始，加减乘除运算符号、等号的使用，交换率、分配率的表达、应用题列等式，都是符号教学的重要内容。进人初中阶段，文字代表数、式的运算、列方程、建立函数关系、几何证明的书写等，符号表示起关键作用。高中阶段以上，则需要使用集合语言，对数、指数、正弦、余弦等符号，以及微分、积分、向量、矩阵等运算符号。这些符号的学习，与方块汉字的识字教学有许多共同之处。但是，数学毕竟不是形式，生动活泼的数学内涵不能淹没在形式主义的海洋里。20世纪中叶以后，人们渐渐觉得，形式化固然是数学的基本特征，但不能走极端，使得数学变得枯燥无味、远离大众、脱离现实。过分强调数学的抽象语言而忽视其思想内容，就会把光彩照人的“数学女王”拍成X光照片下的一副“骨架”。于是，就产生了数学教学中“非形式化（informal）”的研究。这一段说明：数学教学应该追求符号的理解，不能只会演算操作。我的修改建议：理解符号的原则3）问题驱动原则“问题驱动”是由数学的特征所确定的。在各门科学中，数学主要以“问题”的方式呈现。所以我们常说：“问题是数学的心脏。”（哈尔莫斯语）数学问题是数学发展的原始驱动力。中国古代数学经典九章算术就是一本问题集。1900年希尔伯特的23个问题，曾预言了数学的发展方向，成为20世纪数学家奋斗的目标。费马猜想、庞加莱猜想的解决，更被当作人类智慧的象征。作为对照，语文教学则更多以阅读为基础，用情意驱动，体会表达思想感情的方式方法，借以抒发自己的内心感受，并达到与别人进行交流的目的；历史教学，则是以历史事实的叙述和评论为线索展开，最终形成正确的历史观。至于物理、化学、生物等学科，虽然也要揭示大自然的奥秘，解答许许多多的问题，但是它们多半从自然现象和实验结果出发，以物质运动的各种形态的研究为依归。以上学科中虽然也有许多问题，但是不能以“问题驱动”为原则进行教学。作者有什么理由说其他学科不能以“问题驱动”为原则进行教学。退一万步，其它学科不是以“问题驱动”为原则也说明不了数学教学就要有这一原则。正因为数学是由向题驱动的，所以数学教学也必须用问题驱动。在数学教学实践中，问题驱动是十分有效的教学方式。西方在数学教育改革中提出“问题解决”的口号，并非偶然。从学习的角度看，“数学是做出来的”。数学学习是“解决问题”，课后练习是演练“问题”，数学考试是回答“问题”，研究性学习也是研究“问题”。数学教学既要让学生会解常规问题，也能解决非常规问题，在解决问题的过程中学习数学。可以说，问题是贯穿数学教学活动的一条主线，是学生学习数学的驱动力之一。我的反思：按照作者的描述，中国的数学教学一直都是符合问题驱动原则的，不是吗？讲很多数学题，做很多数学作业题，练很多复习题，当今大行其道的学案中不就是题！题！题！一直以来“解题教学”我们国家数学教学的传统，其优点自然不必重复，但当今它已经退化为了“应试教育”。我们的解题教学范围窄。其实，数学问题可以分成三大类别：纯正的数学问题；真实的实际问题；数学应用题（我把它叫做部分理想化的实际问题）。我们过去我们的解题教学层次不高，为考试而讲题、练题，非常缺乏问题解决教学！建议给“问题驱动原则”赋予新的含义数学问题解决！.4）渗透数学思想方法原则数学思想方法的教学是中国数学教学的特色之一。人们所学到的数学概念、数学定理、数学公式，经过很长一段时间之后，往往会遗忘。但是永远留在记忆之中的，正是数学思想方法。古人云：“授之以鱼，不如授之以渔”。这句至理名言也道出了数学思想方法的重要性。中学数学内容丰富多样，彼此之间存在着内在联系，呈现出很强的层次性和系统性。那么怎样把一些看起来互不相关的数学内容整合在一起呢？一个重要的方面就是提炼数学思想方法。如果把数学问题比作一颗颗珍珠，用数学联结和数学思想方法串起来，则会变成一件美轮美奂的艺术品。数学思想是一种隐性的数学知识（其实就是意会知识-tacit knowledge，explicit knowledge，由英国20世纪著名物理化学家、思想家波兰尼（Michael Polanyi）1957年在（The Study of Man）一书中首次提出），要在反复的体验和实践中才能使个体逐渐认识、理解、内化为个体认知结构。数学教学要具有创新意义，必须探究和解决非常规数学问题，并在大量的数学实践活动中，从整体上把握数学内部的联结，理解和运用数学思想方法。总之，在数学教学中注意内容的彼此关联，努力渗透并提炼数学思想方法，是我们应当努力运用的原则。但P88页的第五节数学思想方法的教学，思想少，方法多，到底在中学数学中应该渗透哪些数学思想？以上提出的四项数学教学原则是彼此联系，环环相扣，层次递进，浑然一体的。我们的总目标是数学化。但是数学化的过程是用形式化的数学进行表述和前进的。人们掌握符号化、逻辑化的数学基本知识和基本技能，就能解决一个个的问题。于是用系列化的问题驱动，通过数学问题的变式，以问题解决的过程展开教学。当人们在这一系列的数学活动中获得智力的提升，用数学思想方法加以统帅的时候，数学教学的图景就会变得清晰而美丽。Hans Freudenthal 的教学原则1.数学现实原则（Rea1istic Mathematics）2.数学化原则（Mathematization）n 一方面数学教学不能停留在让学生的头脑成为形形色色公理系统的仓库,更重要的任务是教会学生能运用自己的数学思维,对一个领域进行加工、整理，从而独立地建立起一个公理体系来；n 另一方面，数学教学不能为形式而形式，只让学生死记硬背那些形式符号与逻辑体系，只作机械的而无内涵、无意义、运算操练,必须使学生学会用正确的数学语言来组织并表达数学的现实内容及内在联系,从而构成严谨的体系。即“与其让学生学习公理体系，不如让学生学习公理化；与其让学生学习形式体系，不如让学生学习形式化。一句话，与其让学生学习数学，不如让学生学习数学化。”3.再创造原则（Recreation）学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”,也就是由学生自己去把要学的东西创造或发现出来,教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作,而不是生吞活剥的把现成的知识灌溉给学生。他认为这是一种最自然、最有效的学习方法。4.反思原则（Reflective thinking）反思是一种重要的数学活动,是数学活动的核心和动力。数学的发现来自直觉,而分析直觉理解的原因是通向证明的道路,为此必须教育学生对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实,以便使他们学会反思,能有意识地了解自身行为后面潜藏的实质,只有这样教育才能真正培养学生的数学能力。我的反思：张奠宙先生书中所提的以上四条教学原则：学习数学化原则；适度形式化原则；问题驱动原则；渗透数学思想方法原则。不但没有超越Hans Freudenthal 的教学原则，反而是一种倒退。这一倒退表现在以下几方面：1. 最有价值的“数学现实原则”去掉了。数学源于现实,也必须寓于现实,并且用于现实Rea1istic Mathematics=real world + pure mathe + imagination每个人都有自己的一套“数学现实”即“每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算方法、规则和有关的数学知识结构”，其中，既含有客观世界的现实情况，也包含个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。数学教学必须从学生的数学现实开始,现实在不断地扩展,教师的任务就在于,确定各类学生在不同阶段所必须达到的“数学现实”,并随着学生们所接触的客观世界越来越广泛,了解并掌握学生所实际拥有的“数学现实”,从而据此采取相应的方法,予以丰富,予以扩展,以逐步提高学生所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。这一原则的思想与中国的因材施教原则，凯洛夫的可接受性原则（是指教学的内容、方法、份量和进度要适合学生的身心发展，是他们能够接受的，但又要有一定的难度，需要他们经过努力才能掌握，以促进学生的身心发展。）以及维果茨基的最近发展区原则（维果茨基认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平；另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力。两者之间的差异就是最近发展区。教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平，然后在此基础上进行下一个发展区的发展。）是一脉相承的。数学教学必须从学生的数学现实开始,体现了以学生为主体的建构主义教学观，建构主义者强调，要把当前的学习内容尽量与以前的经验相联系，并对这种联系认真地思考。“联系”与“思考”是意义建构的关键。数学教学应充分地联系学生的现实是数学教学最基本的不可缺的原则。2. “学习数学化原则”值得商榷首先，学习数学化原则是学习原则，不是教学原则，教学原则应该是教学遵守的原则，不能将二者混为一谈。其次，将数学化定义为“学会用数学的观点考察现实，运用数学的方法解决问题。”是对弗赖登塔尔所说的的“数学化”意义的曲解。 数学化分水平数学化与垂直数学化，前者是从真实世界到符号世界的过程。后者是符号世界内部，从低层数学发展到高层数学的过程，是在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用。他认为形式