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量子笔记1 一维薛定谔方程给出某种一维势，求解一维薛定谔方程的束缚定态解及其能级的题目是常见的量子力学的题型之一，这种题型的求解虽有其固有模式，但具体处理过程中也牵涉到很多技巧和要注意之处。下面我通过两个例子来试图对其解题模式和某些解题过程中的常见技巧和经验作出一个概括性的总结，作为量子力学复习的第一阶段的一个阶段性小结。例一. 质量为的粒子在一维势场中运动，其中与均为实数。（1）试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数。（2）给出粒子处于区域中的概率，它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？解：在此势场中的束缚定态能量E0，在势阱中，能量要小于势阱边缘的势能，否则就不能形成束缚态，而是游离态了。这里的势阱是一个势，所以要有束缚态，并需要求E0的区间取负号，x0区的概率为这是因为0，0，.例二. 一个质量为的粒子在一维势场其中，和是正的常数，求第一激发态能量，并讨论时的定态能量。解：在xa区，波函数为零。在0xa区，波函数满足下面方程 （1）及条件 （2） （3）方程（1）的一般解为 （4）其中。如果，则变为宽为a的无限深方势阱。这时条件（3）变为 （5）对比条件（3）和条件（5），可以看到，若，则二者等价。也就是说，条件（5）和条件（2）确定的薛定谔方程的解，如果满足，则它也是由条件（3）和条件（2）确定的薛定谔方程的解。易知无限深方势阱的解为定态波函数而这其中满足的只有当n为偶数时的波函数。故本题的一部分解是题目中得出解的方法是，把新的势场和已知解的势场进行比较，发现其异同，从而得到新势场的解。又比如半壁无限高谐振子的解，就是谐振子势满足的解；势场的解则是势场的解乘一个时间相位（具体形式及推导见下），能级则是在原来能级上加C即可。下面是与的具体关系式及推导过程：设，它们是各自的薛定谔方程的解，故有故，即.故方程的解并不是都满足，当时，其解自然不能再由无限深势阱的解来得到了。所有上面的解只是所有解的一部分。这种情况下，其另一部分的解要由将方程（1）的一般解式（4）代入条件（2），条件（3）而得到。代入，得.于是 （6）再将式（6）代入条件（3）得 （7）令（正的常数），式（7）变为由于最后要由图像法求解，故在此之前要将超越方程的左右两边都写成易于作图且易于发现两图交点的函数形式。比如此题，在将式（6）代入条件（3）得到超越方程时，如果写成的样子，则不好作图；若写成的样子，虽然左右两边都可以作图，但不好确定交点。定态能量由曲线和直线的交点决定（如下图）故最低能量为，由图可知，故.前一组解中的最低能量为，对照上面的不等式，可以知道，后一组解中的最低能量态才是全体解中的基态。故体系的基态能量是，第一激发态能量是.当时（此时为宽为a的无限深方势阱），
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