高考数学一轮复习 第九章 算法初步、统计、统计案例 9.3 用样本估计总体课件 理.ppt

第三节用样本估计总体 知识梳理 1 常用统计图表 1 频率分布表的画法 第一步 求 决定组数和组距 组距 第二步 通常对组内数值所在区间取左闭右开区间 最后一组取闭区间 第三步 登记频数 计算频率 列出频率分布表 极差 分组 2 频率分布直方图 反映样本频率分布的直方图 如图 横轴表示样本数据 纵轴表示 每个小矩形的面积表示样本落在该组内的 频率 3 茎叶图的画法 第一步 将每个数据分为茎 高位 和叶 低位 两部分 第二步 将最小茎与最大茎之间的数按 次序排成一列 写在左 右 侧 第三步 将各个数据的叶依次写在其茎的右 左 侧 大小 2 样本的数字特征 1 众数 中位数 平均数 大小 顺序 最中间 2 标准差 方差 标准差 表示样本数据到平均数的一种平均距离 一般用s表示 s 方差 标准差的平方s2叫做方差 s2 其中xi i 1 2 3 n 是 n是 是 样本数据 样本容量 样本平均数 特别提醒 1 频率分布直方图中纵轴表示的应为2 在绘制茎叶图时 易遗漏重复出现的数据 重复出现的数据要重复记录 同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义 小题快练 链接教材练一练1 必修3p100a组t1改编 一个容量为32的样本 已知某组样本的频率为0 25 则该组样本的频数为 a 4b 8c 12d 16 解析 选b 频数 32 0 25 8 感悟考题试一试2 2015 重庆高考 重庆市2013年各月的平均气温 数据的茎叶图如图 则这组数据的中位数是 a 19b 20c 21 5d 23 解析 选b 由中位数的概念可知 该组数据按从小到大顺序排列的第6和第7个数据的平均数即为要求的中位数 为20 3 2016 合肥模拟 某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系 将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组 分组区间为 35 40 40 45 45 50 50 55 55 60 由此得到频率分布直方图如图 则这80名教师中年龄小于45岁的有 人 解析 由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5 0 040 0 080 0 6 所以共有80 0 6 48 人 答案 48 4 2016 天津模拟 甲 乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图 中间一列的数字表示零件个数的十位数 两边的数字表示零件个数的个位数 则这10天甲 乙两人日加工零件的平均数分别为 和 解析 由茎叶图可知甲的平均数为乙的平均数为答案 2423 考向一数字特征的计算与应用 典例1 1 2015 安徽高考 若样本数据x1 x2 x10的标准差为8 则数据2x1 1 2x2 1 2x10 1的标准差为 a 8b 15c 16d 32 2 2015 广东高考 某工厂36名工人的年龄数据如下表 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本 且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44 列出样本的年龄数据 计算 中样本的平均值和方差 36名工人中年龄在 s与 s之间有多少人 所占的百分比是多少 精确到0 01 解题导引 1 应用标准差 方差公式和性质计算标准差 2 根据年龄数据求出工人编号 再由系统抽样的特点求出样本编号后再求对应的年龄数据 根据 中的数据直接利用公式计算 先求出 s与 s的值 再求出年龄在 s与 s之间的人数 最后计算所占的百分比 规范解答 1 选c 样本数据x1 x2 x10的标准差s 8 则s2 64 而样本数据2x1 1 2x2 1 2x10 1的方差为22 64 所以其标准差为 16 2 由题条件知所抽样本编号是一个首项为2 公差为4的等差数列 故其所有样本编号依次为2 6 10 14 18 22 26 30 34 对应样本的年龄数据依次为44 40 36 43 36 37 44 43 37 由 知可得其样本的平均值为方差为 s2 44 40 2 40 40 2 36 40 2 43 40 2 36 40 2 37 40 2 44 40 2 43 40 2 37 40 2 42 02 4 2 32 4 2 3 2 42 32 3 2 由 知s 所以所以年龄在 s与 s之间的共有23人 所占百分比为 100 63 89 母题变式 1 若本例题 2 中条件不变 求年龄在 30 40 的频率 解析 年龄在 30 40 的工人有16人 因此年龄在 30 40 的频率是 2 若本例题 2 中条件不变 求工人年龄的中位数 解析 将工人年龄按由小到大排序得 27 31 33 34 34 36 36 37 37 37 38 38 38 39 39 39 39 40 40 40 41 41 42 42 42 42 43 43 43 43 44 44 45 45 49 53 其中第18 19个为40 40 因此工人年龄的中位数为40 规律方法 众数 中位数 平均数 方差的意义及常用结论 1 平均数与方差都是重要的数字特征 是对总体的一种简明的描述 它们所反映的情况有着重要的实际意义 平均数 中位数 众数描述其集中趋势 方差和标准差描述波动大小 2 方差的简化计算公式 s2 或写成s2 即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方 3 平均数 方差的公式推广 若数据x1 x2 xn的平均数为 那么mx1 a mx2 a mx3 a mxn a的平均数是m a 数据x1 x2 xn的方差为s2 数据x1 a x2 a xn a的方差也为s2 数据ax1 ax2 axn的方差为a2s2 变式训练 2016 开封模拟 将某选手的9个得分去掉1个最高分 去掉1个最低分 7个剩余分数的平均分为91 现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊 无法辨认 在图中以x表示 则7个剩余分数的方差为 解析 选b 根据茎叶图 去掉1个最低分87 1个最高分99 则 87 94 90 91 90 90 x 91 91 所以x 4 所以s2 87 91 2 94 91 2 90 91 2 91 91 2 90 91 2 94 91 2 91 91 2 加固训练 1 2014 陕西高考 某公司10位员工的月工资 单位 元 为x1 x2 x10 其均值和方差分别为和s2 若从下月起每位员工的月工资增加100元 则这10位员工下月工资的均值和方差分别为 a s2 1002b 100 s2 1002c s2d 100 s2 解析 选d 样本数据x1 x2 x10的均值 x1 x2 x10 方差s2 新数据x1 100 x2 100 x10 100的均值 x1 100 x2 100 x10 100 x1 x2 x10 100 100 新数据x1 100 x2 100 x10 100的方差s 2 x1 100 100 2 x2 100 100 2 x10 100 100 2 x1 2 x2 2 x10 2 s2 2 2016 揭阳模拟 甲 乙 丙 丁四人参加某运动会射击项目选拔赛 四人的平均成绩和方差如表所示 从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛 最佳人选是 a 甲b 乙c 丙d 丁 解析 选c 由题目表格中数据可知 丙平均环数最高 且方差最小 说明技术稳定 且成绩好 3 2016 天津模拟 甲 乙两人在一次射击比赛中各射靶5次 两人成绩的条形统计图如图所示 则 a 甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数b 甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数c 甲成绩的方差小于乙成绩的方差d 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 解析 选c 由题意可知 甲的成绩为4 5 6 7 8 乙的成绩为5 5 5 6 9 所以甲 乙成绩的平均数均为6 a错 甲 乙成绩的中位数分别为6 5 b错 甲 乙成绩的方差分别为s甲2 4 6 2 5 6 2 6 6 2 7 6 2 8 6 2 2 s乙2 5 6 2 5 6 2 5 6 2 6 6 2 9 6 2 c对 甲 乙成绩的极差均为4 d错 考向二茎叶图及其应用 典例2 1 2016 内江模拟 某中学高三从甲 乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛 他们取得的成绩 满分100分 的茎叶图如图 其中甲班学生成绩的众数是85 乙班学生成绩的中位数是83 则x y的值为 2 2016 福州模拟 某大学为调查来自南方和北方的大学生的身高差异 从2013级的年龄在18 19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名 测量得他们的身高 单位 cm 如下 南方 158 170 166 169 180 175 171 176 162 163 北方 183 173 169 163 179 171 157 175 178 166 画出题中两组数据的茎叶图 并根据茎叶图对来自南方和北方的大学生的身高进行比较 写出两个统计结论 解题导引 1 根据甲中出现次数最多的数为85 乙中第4个数为83求解 2 把百位与十位当茎 个位当叶作出茎叶图 统计结论可从平均身高 中位数 整齐性等方面考虑 规范解答 1 由甲班学生成绩的众数是85 所以x 5 乙班学生成绩的中位数是83 所以y 3 所以x y 5 3 8 答案 8 2 题中两组数据的茎叶图如图所示 统计结论 北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高 南方大学生的身高比北方大学生的身高更整齐 南方大学生的身高的中位数是169 5 北方大学生的身高的中位数是172 南方大学生的身高基本上是对称的 而且大多数集中在均值附近 北方大学生的身高分布较分散 易错警示 解答本例题 1 会出现以下错误 由甲班学生成绩的众数是85 所以x 85 乙班学生成绩的中位数是83 所以y 83 所以x y 85 83 168 导致该错误的原因是 忽视了x y只表示成绩的个位数字 规律方法 茎叶图中的三个关注点 1 叶 的位置只有一个数字 而 茎 的位置的数字位数一般不需要统一 2 重复出现的数据要重复记录 不能遗漏 3 给定两组数据的茎叶图 估计数字特征 茎上的数字由小到大排列 一般 重心 下移者平均数较大 数据集中者方差较小 变式训练 2016 西安模拟 一次数学测验后 从甲 乙两班各抽取9名同学的成绩进行统计分析 绘成茎叶图如图所示 据此估计两个班成绩的中位数的差的绝对值为 a 8b 5c 4d 2 解析 选d 甲 乙两班成绩按大小顺序排列 处在最中间的数分别为87 89 故它们之差的绝对值是2 加固训练 1 2016 咸阳模拟 如图是某大学自主招生面试环节中 七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均数和众数依次为 a 85 84b 84 85c 86 84d 84 86 解析 选a 由图可知 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据为84 84 84 86 87 所以平均数为 85 众数为84 2 2016 郑州模拟 pm2 5是指大气中直径小于或等于2 5微米的颗粒物 也称为可入肺颗粒物 如图是根据某地某日早7点到晚8点甲 乙两个pm2 5监测点统计的数据 单位 毫克 立方米 列出的茎叶图 则甲 乙两地浓度的方差较小的是 a 甲b 乙c 甲 乙相等d 无法确定 解析 选a 从茎叶图上可以观察到甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中 因此甲地浓度的方差较小 考向三频率分布直方图 考情快递 考题例析 命题方向1 求频率或频数 典例3 2015 湖北高考 某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计 发现消费金额 单位 万元 都在区间 0 3 0 9 内 其频率分布直方图如图所示 1 直方图中的a 2 在这些购物者中 消费金额在区间 0 5 0 9 内的购物者的人数为 解题导引 利用频率和为1 求得a 由消费金额在区间 0 5 0 9 内的频率 求得消费金额在区间 0 5 0 9 内的购物者的人数 规范解答 由频率分布直方图及频率和等于1可得0 2 0 1 0 8 0 1 1 5 0 1 2 0 1 2 5 0 1 a 0 1 1 解得a 3 消费金额在区间 0 5 0 9 内的频率为0 2 0 1 0 8 0 1 2 0 1 3 0 1 0 6 所以消费金额在区间 0 5 0 9 内的购物者的人数为0 6 10000 6000 答案 1 3 2 6000 命题方向2 求样本的数字特征 典例4 2015 广东高考 某城市100户居民的月平均用电量 单位 度 以 160 180 180 200 200 220 220 240 240 260 260 280 280 300 分组的频率分布直方图如图 1 求直方图中x的值 2 求月平均用电量的众数和中位数 3 在月平均用电量为 220 240 240 260 260 280 280 300 的四组用户中 用分层抽样的方法抽取11户居民 则月平均用电量在 220 240 的用户中应抽取多少户 本题源自a版必修3p65探究 解题导引 1 利用频率和为1 求出x 2 根据中位数前面的频率之和为0 5求解 3 先求出各组用户的户数 再求出抽取比例后求解 规范解答 1 由 0 002 0 0095 0 011 0 0125 x 0 005 0 0025 20 1得 x 0 0075 所以直方图中x的值是0 0075 2 月平均用电量的众数是 230 因为 0 002 0 0095 0 011 20 0 45 0 5 所以月平均用电量的中位数在 220 240 内 设中位数为a 由 0 002 0 0095 0 011 20 0 0125 a 220 0 5得 a 224 所以月平均用电量的中位数是224 3 月平均用电量为 220 240 的用户有0 0125 20 100 25户 月平均用电量为 240 260 的用户有0 0075 20 100 15户 月平均用电量为 260 280 的用户有0 005 20 100 10户 月平均用电量为 280 300 的用户有0 0025 20 100 5户 抽取比例 所以月平均用电量在 220 240 的用户中应抽取25 5户 技法感悟 1 频率 频数 样本容量的计算方法 1 组距 频率 2 频率 样本容量 样本容量 频率 频数 2 利用频率分布直方图估计样本的数字特征的思路 1 中位数 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 由此可以估计中位数的值 2 平均数 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 3 众数 在频率分布直方图中 众数是最高矩形的底边中点的横坐标 易错提醒 制作好频率分布表后 可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确 题组通关 1 2016 石家庄模拟 根据 中华人民共和国道路交通安全法 规定 车辆驾驶员血液酒精浓度在20 80mg 100ml 不含80 之间 属于酒后驾车 处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证 并处200元以上500元以下罚款 血液酒精浓度在80mg 100ml 含80 以上时 属醉酒 驾车 处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证 并处500元以上2000元以下罚款 据 法制晚报 报道 2015年8月15日至8月28日 全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人 如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图 则属于醉酒驾车的人数约为 人