山东省新泰市高考数学二轮复习 热点七 立体几何与向量练习 理（含解析）.doc

数学热点七 立体几何与向量（理科）【考点精要】考点一. 空间几何体的结构特征、三视图和直观图. 主要考查棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的三视图和直观图. 注意用斜二测画法平行于y轴的线段变为原来的一半. 考点二.求棱锥、棱台中的高、斜高. 注意运用直截面，将高与斜高放在图形中组成相应的三角形. 在正棱锥、棱台中利用几个直角三角形（高、斜高以及底面边心距组成的直角三角形，高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形等）进行相关的计算. 考点三. 斜二测画法的相关计算. 斜二测画法的相关计算，重点考查直观图的定点与其他关键点，计算时尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上. 考点四.几何体中的直角三角形. 在正棱锥中要充分利用四个直角三角形，在在正棱台中要充分利用三个直角梯形，两个直角三角形. 考点五.球的有关运算. 通常先作出球的大圆，然后利用平面几何知识求解. 与球有关的组合体应选择最佳角度作出轴截面图形，进而将立体图形转化为平面图形. 考点六. 三视图及相关面积、体积的计算. 三视图及相关面积、体积的计算，注意掌握三视图之间的规律：正俯长相同、正侧高平齐，俯侧宽相同. 考点七. 柱体、锥体、台体的侧面积、表面积、体积的运算. 注意运用割补法、等体积转化法求解相关体积. 考点八. 空间中点、线、面的位置关系以及直线、平面平行的判定与性质. 近几年来加强了线面之间的距离、异面直线间的夹角、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直、线线垂直、线面角的考查. 考点九. 运用坐标法求空间中两点之间的距离以及点关于平面对称点的坐标. 考点十.向量的有关概念及线性运算. 注意运算法则的应用. 若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算(1)求两异面直线、的夹角，须求出它们的方向向量，的夹角，则.(2)求直线与平面所成的角，可先求出平面的法向量与直线的方向向量的夹角则.(3)求二面角的大小，可先求出两个平面的法向量，所成的角，则或考点十一. 向量共线. 两个向量共线的充要条件. 考点十二.平面向量的基本定理及坐标运算. 巧点妙拨1垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：（1）平行转化：线线平行线面平行面面平行；（2）垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直；每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.2求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.3向量在几何中的应用（1）证明线段平行或者点的共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理. （2）证明垂直问题，常用向量的数量积的坐标运算. （3）求夹角问题，利用夹角公式. （4）求线段的长度，利用向量的模的运算公式. （5）直线的方向向量与法向量：直线的方程为，则它的一个方向向量为，一个法向量为. （6）利用向量法解决平面几何问题的“三部曲”：一是建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中设计到的几何元素，将平面问题转化为向量问题；二是通过向量的运算，研究几何元素之间的平行、垂直、距离、夹角的问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相应的物理现象. 【典题对应】例1. (2014 山东理13）三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则. 命题意图：本题主要考查三棱锥的体积，求体积时注意找好地面以及高. 解析：分别过向平面做高，由为的中点得，由为的中点得，所以. 答案：. 例2. (2014 山东理17)如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，是线段的中点. （i）求证：； （ii）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.命题意图：本题主要考查线面平行，线面垂直、二面角的相关性质及应用. 考查学生建模思想的应用. 解析：（）连接为四棱柱， 又为的中点，,为平行四边形又 （）方法一： 作,连接则即为所求二面角在中， 在中，, 方法二：作于点以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，设平面的法向量为 显然平面的法向量为显然二面角为锐角，所以平面和平面所成角的余弦值为名师坐堂：求解二面角的方法很多，如定义法、截面法、向量法、几何坐标法等，多数情况下要通过建立空间在直角坐标系，运用几何坐标法进行解决. fphegacbqd例3. (2013 山东理18）如图所示，在三棱锥中，分别是的中点，与交于点，与交于点，连接.（）求证：；（）求二面角的余弦值. 命题意图：本题主要考查线与线，线与面以及面与面的关系，线线垂直以及二面角的求解. 解析：（）证明：因为 分别是的中点， 所以 ，所以 ，又 ，所以 ，又，所以，又 ，所以. （）解法一：在中， ，所以 ，即，因为，所以 ，又 ， 所以 .由（）知，所以 ，又 ，所以 ， 同理可得 ，所以为二面角 的平面角.设 ，连接，在 中，由勾股定理得，在 中，由勾股定理得.又为 的重心，所以 ，同理 .在中，由余弦定理得，即二面角的余弦值为.fphegacbqd解法二：在中，所以.又 ，所以 两两垂直.以 为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则 ,所以 设平面的一个法向量为，由， 得 取 ，得.设平面的一个法向量为，由， 得 取 ，得.所以 ,因为 二面角为钝角，所以 二面角的余弦值为.名师坐堂：求二面角的问题若给定的几何体能够构建空间坐标系，则转化成向量进行求解，运用向量的夹角，法向量等相关知识进行求解. 但应注意所取的向量的夹角与实际的二面角的平面角的关系. 例4.（2013全国理6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )abc d命题意图：本题主要考查几何体中的组合体，能够运用轴截面以及球体中的截面三角形进行求解. 解析：设球的半径为，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为，则，解得，球的体积为=，故选a.名师坐堂：几何体体积的考查已是常态化，且常考常新. 我们应该掌握住基本的方法：如等体积转化、分割、直接运用公式、向量法等. 例5.（2011山东19）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，（）若是线段的中点，求证：平面；（）若，求二面角的大小命题意图：本题考查了立体几何中的线面平行的判定，以及二面角的判断与求解. 解答此题入口较多，学生既可以利用几何法又可以利用坐标法，借以充分发挥学生的空间想象能力. 解析：几何法：证明：（），可知延长交于点，而，则平面平面，即平面平面，于是三线共点，若是线段的中点，而,则，四边形为平行四边形，则，又平面，所以平面；（）由平面，作，则平面，作，连接，则，于是为二面角的平面角. 若，设，则，为的中点，在中,则，即二面角的大小为. 坐标法：（）证明：由四边形为平行四边形， ，平面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为建立直角坐标系，设，则,.由可得，由可得,，则，而平面，所以平面；（）（）若，设，则， ,则,设分别为平面与平面的法向量. 则，令，则，； ，令，则，. 于是，则，即二面角的大小为. 名师坐堂：1、研究线与面通常是转化成线与线的关系，或利用判定定理或利用向量予以解决；2、解决二面角的问题时往往要做到一作二证三求. 首先应考虑做辅助线，然后证明某角为二面角的平面角，最后在求解. 【命题趋向】立体几何部分每一年都有一道小题一道大题，分值在17分左右. 考查的内容主要体现在以下几个方面：1锥体或柱体中的线线、线面、面面位置关系. 复习中应注意运用转化思想，建立空间中线线、线面、面面位置关系之间的联系，常用的转化方向有：线线平行则线面平行，面面平行则线线平行；线线垂直则线面垂直；将空闻几何问题转化为平面几何问题2求空间几何体体积，常用的方法有直接套用公式法、转换法、分割和补体法等多种方法转换法一般用于求棱锥的体积，分割法和补体法多用于不规则几何体的体积的求解3三视图、图形的展开、折叠、切割问题，解决此类问题的关键是弄清图形变化前后的点、线、面的对应关系，并分清变化前后点、线、面的位置变化4利用空间向量解决空间位置关系以及求角和距离等问题，方法一是利用向量的分解与运算二是利用向量的坐标运算，此时应注意建立适当的坐标系且运算要正确【直击高考】1以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()a球的三视图总是三个全等的圆b正方体的三视图总是三个全等的正方形c水平放置的正四面体的三视图都是正三角形d水平放置的圆台的俯视图是一个圆2设、是三个互不重合的平面，、是两条不重合的直线，下列命题中正确的是()a若，则b若，则c若，则d若，则3设、为平面，、为直线，则的一个充分条件为()a， b，c， d，4如图，在正四棱柱中，、分别是、的中点，则下列结论不成立的是()a与垂直b与垂直c与异面d与异面5. 已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等，则ab1与侧面acc1a1所成角的正弦等于（ ）a. b. c. d.h6. 如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（ ）a点是的垂心b垂直平面c的延长线经过点d直线和所成角为7. 三棱锥中，底面，3，底面是边长为2的正三角形，则三棱锥 的体积等于_8已知四棱锥的底面是矩形，底面，点、分别是棱、的中点，则棱与所在直线垂直；平面与平面垂直；的面积大于的面积；直线与直线是异面直线以上结论正确的是_(写出所有正确结论的编号)9. 三棱锥中，是斜边的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线与所成的角为90；直线平面；平面平面；点到平面的距离是.其中正确结论的序号是_10. 已知多面体abcde中，ab平面acd，de平面acd，ac = ad = cd = de = 2a，ab = a，f为cd的中点. （）求证：af平面cde； （）求异面直线ac，be所成角余弦值； （）求面acd和面bce所成二面角的大小 . 11. 如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，图6，（1）求证平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的余弦值12. 已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知. (i)求证：平面；(ii)求到平面的距离；(iii)求二面角的平面角的正弦值.数学热点七 立体几何与向量【直击高考】1解析：画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆选a.2解析：对于a，若，可以平行，也可以相交，a错；对于b，若，则，可以平行，可以相交，也可以异面，b错；对于c，若，则可以在平面内，c错；易知d正确3解析：如图知a错；如图知c错；如图在正方体中，两侧面与相交于，都与底面垂直，内的直线，但与不垂直，故d错；由，得.又，则，故b正确4解析：连接，则交于，且为的中点，又为的中点，所以且，而平面，所以，所以，a正确；又，所以，b正确；显然与异面，c正确；由，得.故不成立的选项为d.5. 解析：已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等，取a1c1的中点d1，连接bd1，ad1，b1ad1是ab1与侧面acc1a1所成的角，选a。6. 解析：因为三棱锥a是正三棱锥，故顶点a在底面的射映是底面中心，a正确；面面，而ah垂直平面，所以ah垂直平面，b正确；根据对称性知c正确。选d7. 解析：底面，为三棱锥的高，且3.底面为正三角形且边长为2，底面面积为，.8解析：由条件可得平面，故正确；若平面平面，由，得平面，从而，这是不可能的，故错；，由，知正确；由、分别是棱、的中点，可得，又，故与共面，错答案9解析：由题意知平面，故，平面，平面平面，正确；取的中点，连接，(如图)可证得平面，故的长度即为到平面的距离，正确答案10解析：（）de平面acd，af平面acddeaf。又ac=ad=c，f为cd中点afcd，af面cdeaf平面cde 。 （）取de中点m，连结am、cm，则四边形ameb为平行四边形am/be，则cam为ac与be所成的角。在acm中，ac=2a由余弦定理得：异面直线ac、ae所成的角的余弦值为. （）延长da。eb交于点g，连结cg.因为ab/de，ab=de，所以a为gd中点.又因为f为cd中点，所以cg/af.因为af平面cde，所以cg平面cde.故dce为面acd和面bce所成二面角的平面角易求dce=45.11. 解析：（法一）（1）取中点为，连接、， 且，则 且 四边形为矩形， 且，且，则 平面，平面， 平面 （2）过点作的平行线交的延长线于，连接， ，四点共面四边形为直角梯形，四边形为矩形，又，平面，又平面平面，为平面与平面所成锐二面角的平面角，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为 （3）过点作于，连接，根据（2）知，四点共面，又， 平面，则又， 平面直线与平面所成角为。，即直线与平面所成角的余弦值为 （法二）（1）四边形为直角梯形，四边形为矩形，又平面平面，且平面平面，平面以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系根据题意我们可得以下点的坐标