二次函数(基础思想)讲义.doc

二 次 函 数考点解析：一、认识二次函数1、二次函数的常见解析式及其三要素函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()的符号决定抛物线的开口方向；相等，抛物线的开口大小、形状相同；如果相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.二次函数用配方法可化成：的形式，其中当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点。2、二次函数的性质：增减性：以对称轴为界，具有双向性。对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线.即：若、两点是抛物线上关于对称轴对称的两点，则有：；(即)。基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x 3 )2 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ；2、抛物线 y = 2x2 + 12x 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 .3、若将二次函数y=x22x + 3配方为y =（xh）2 + k的形式，则y= 4、抛物线y= - 4（x+2）2+5的对称轴是 。5、抛物线 y = - 3x2 + 5x - 4开口 , y = 4x2 6x + 5 开口 .6、已知P1（）、P2（）、P3（）是抛物线上的三个点，若，则的大小关系是_。7、已知函数y=x2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y1成立的x的取值范围是( )A-1x3 B-3x1 Cx-3 Dx-1或x38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( )A h=m B k=n C kn D h0,k09、抛物线的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点,若B点的坐标是(,0),则A点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。这样的二次函数的解析式可以是_。拓展提升：1、已知抛物线y=(x - 4)2 - 3的部分图像(如图) 图像再次与x轴相交时的坐标是（ ）(A) (5，0) (B) (6，0) (C) (7，0) (D) (8，0)2、如图，已知二次函数y= (a0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m4，那么AB的长是 ( )(A)4+m (B)m (C)2m一8 (D)82m3、已知点A（1,）、B（）、C（）在函数上，则、的大小关系是( )A B C D 4、开口向下的抛物线的对称轴经过点（1，3），则_。5、抛物线上有两点（3，8）和（5，8），则对称轴是 。6、已知二次函数，则当m= 时，其最大值为0.二、函数与方程要点： y = ax2 + bx + c ( a 0 ) 二元二次不定方程 有无数组解 在直角坐标系中有无数个点（确定函数y的值） 如： ax2 + bx + c =3 ( a 0 ) 一元二次方程 有确定解 确定在直角坐标系中的点1、已知函数解析式，求点的问题，可用方程或方程组解决（代入法）。2、已知点的坐标，求函数解析式中待定系数的问题，也可用方程思想解决。基础练习题：1、抛物线 y = 2x2 + bx 5 过点A ( - 2, 9 )，则关于“b”的方程为 ，此抛物线的解析式为 .2、已知函数 y = x2 + bx 1 的图象经过点（3，2），则这个函数的解析式为 ；图象的顶点坐标为 。3、抛物线 y = 2x2 - 3x 5 过点A ( n, 9 )，解得 n = .4、y = - 2x2 + 5x 3 与 y轴的交点的坐标为 ，5、y = 2x2 5x + c 与 y 轴的交点为（ 0，3 ），则有c = .6、y = - 2x2 + 5x 3 与x 轴的交点坐标为 、 .应用1：用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三组（、）的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点横坐标、，通常选用交点式：.基础练习题：1、二次函数 y = ax2 + bx+ c的图象的顶点A 的坐标为 ( 1, - 3 )，且经过点 B ( -1, 5 )，则设 y = , 得方程为 ，解得 ，此函数解析式为 . 2、二次函数 y = ax2 + bx + c的图象与 x 轴交于点A ( - 3, 0 )，对称轴x = -1，顶点C到x轴的距离为2，则设 y = , 得方程为 ，解得 ，此函数解析式为 . 3、已知抛物线过点（-1，0）、（3，0）、（2，5），则设 y = , 得方程为 ，解得 ，此函数解析式为 。4、抛物线经过(1,3).(0,-2)和(-2,4),则抛物线的解析式为 . 综合练习题：1、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点.（1）观察图象写出A、B、C三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；（2）求出此抛物线的顶点坐标和对称轴。2、已知二次函数的图像经过(0,3),且顶点坐标为（1，-4）。（1）求这个函数关系式；（2）当x 为何值时,函数值为0?当x为何值时,函数值y随着x的增大而增大?当x 为何值时,y 随 x的增大而减小?xyO3911AB图1 13、如图1，已知二次函数的图像经过点A和点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标应用2：直线与抛物线的交点（1）抛物线与轴（或平行于轴的直线）的交点该交点是由所得，且只有一个(,).特别地，当x=0时，交点为(0, ).（2）抛物线与轴（或平行于轴的直线）的交点由方程组所得，故交点的横坐标是方程的解；交点的个数受方程根的判别式决定，即：抛物线与轴相交有两个交点（x1、k）（x2、k）；抛物线与轴相切有一个交点（x、k）（即顶点在上）；抛物线与轴相离没有交点.特别地，当时，即表示为与x轴的交点。一次函数的图像与二次函数的图像的交点由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.抛物线与轴两交点之间的距离：若与轴的两交点为，由于、是方程的两根，故：所以：基础练习题：1、若二次函数y=x24x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=_ _（只写一个）2、已知二次函数 y = ax2 2 的图象经过点（1，- 1），则这个二次函数的解析式为 ，该函数图象与 x 轴的交点个数为 .3、抛物线y = x2 - 6x + c 的顶点在 x轴上，则 c 的值是（ ）.（A） 9 （B） 3 （C） - 9 （D） 04、函数的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 拓展提升：1、二次函数的值永远为负值的条件是a 0, 02、二次函数y=x26x5，当时，y0，且随的增大而减小。3、二次函数y=x22x3与x轴两交点之间的距离为_.4、已知： 二次函数 y = ( m 3 ) x2 + 2mx + m + 2，其中m 为常数，且满足-2 m 3，此抛物线的开口 ，与 x 轴 交点（填有、无），与 y 轴的交点在x 轴 （填上方、下方）.5、如果二次函数y = 2x2 + ( 2a b )x + b，当且仅当1 x 2 时，y 0； b = 2a； a + b + c；a b + c ，正确的个数是（ ）.(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个 6、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（ ） (A) ab 0 (B) bc 0 (D) a-b+c 0）的对称轴为x1，交x轴的一个交点为（x1，0），且0x10 b0，其中正确的个数有（ ）A、0个 B、1个 C、2个 D、3个3、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6题4题4、如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A（3， 0），对称轴为x1给出四个结论：b24ac；2ab=0；abc=0；5ab其中正确结论是（） （A）（B）（C）（D）5、已知二次函数y=ax2+bx+c，且a0，a-b+c0，则一定有（ ）（A）b2 - 4ac0 （B）b2 - 4ac=0 （C）b2 - 4ac0 （D）b2 - 4ac06、二次函数y =ax2bxc 的图象如图所示，且P=| abc | 2ab |，Q=| abc | 2ab |，则P、Q的大小关系为 . 7、如图，已知二次函数的图象与轴交于点（-3，0），（x1，0），且21b0 6a+c0 9a+c0其中正确的结论是_（将你认为正确结论的序号都填上）综合提升1、若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图像分别表示量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的a、b、c、d对应排序(a) 小车从光滑的斜面上滑下（小车速度与时间的关系）(b) 一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物重量的关系）(c) 运动员推出去的铅球（铅球高度与时间的关系）(d) 小杨从A到B后，停留一段时间，然后按原速度返回（路程与时间的关系）正确的顺序是：（ ）(A)（c）（d）（b）（a） (B)（a）（b）（c）（d）(C)（b）（c）（a）（d） (D)（d）（a）（c）（b）2、在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）OxyOxyOxyOxyABCDOxy3、反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图，它们的解析式可能分别是（ ）（A）y=，y=kx2-x （B）y=，y=kx2+x （C）y=-，y=kx2+x （D）y=-，y=-kx2-x 4、已知一次函数 y = ax + c 与二次函数 y = ax2 + bx + c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）.(A) (B) (C) (D)5、下列图中阴影部分的面积与算式|+（）2 + 2-1的结果相同的是 （ ）6、如图，OAB是边长为2+的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A 折痕为EF（1）当 AE / x轴时，求点A 和E的坐标；（2）当 AE / x轴时，且抛物线y= x2 + bx + c经过点A 和E时，求该抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A 在OB上运动但不与O、B 重合时，能否使A EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A 的坐标；若不能，请你说明理由。7、抛物线 y = x2 - 2x + c 与 x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，且OC =OB，求此抛物线的函数解析式及三角形ABC的面积.8、如图、已知抛物线y=x2 ax+a+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C。动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CD运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿AB运动。连结PQ、CB.设点P的运动时间为t秒 . （1）求a的值；（2）当t为何值时，PQ