高考数学一轮复习 第二章 第3课时 函数的单调性和最值课件 理.pptVIP

第二章函数与基本初等函数 1 理解函数的单调性及其几何意义 2 会运用函数图像理解和研究函数的性质 3 会求简单函数的值域 理解最大 小 值及几何意义 请注意函数的单调性是函数的一个重要性质 几乎是每年必考的内容 例如判断和证明单调性 求单调区间 利用单调性比较大小 求值域 最值或解不等式 1 单调性定义 1 单调性定义 给定区间d上的函数y f x 若对于 d 当x1 x2时 都有f x1 f x2 则f x 为区间d上的增函数 否则为区间d上的减函数 单调性与单调区间密不可分 单调区间是定义域的子区间 x1 x2 2 证明单调性的步骤 证明函数的单调性一般从定义入手 也可以从导数入手 利用定义证明单调性的一般步骤是a x1 x2 d 且 b 计算并判断符号 c 结论 设y f x 在某区间内可导 若f x 0 则f x 为增函数 若f x 0 则f x 为减函数 x1 x2 f x1 f x2 2 与单调性有关的结论 1 若f x g x 均为某区间上的增 减 函数 则f x g x 为某区间上的函数 2 若f x 为增 减 函数 则 f x 为函数 3 y f g x 是定义在m上的函数 若f x 与g x 的单调性相同 则y f g x 是 若f x 与g x 的单调性相反 则y f g x 是 增 减 减 增 增函数 减函数 4 奇函数在对称区间上的单调性 偶函数在对称区间上的单调性 5 若函数f x 在闭区间 a b 上是减函数 则f x 的最大值为 最小值为 值域为 相同 相反 f a f b f b f a 3 函数的最值设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 对于任意x i 都有 存在x0 i 使得 那么称m是函数y f x 的最大值 类比定义y f x 的最小值 f x m f x0 m 1 判断下列说法是否正确 打 或 1 函数y x 是r上的增函数 2 函数y 的单调递减区间是 0 0 3 若函数y f x 在 1 上是增函数 则函数的单调递增区间是 1 4 对于函数f x x d 若对任意x1 x2 d x1 x2且 x1 x2 f x1 f x2 0 则函数f x 在区间d上是增函数 答案 1 2 3 4 2 课本习题改编 已知f x 2x2 x x 1 3 则其单调递减区间为 f x min 答案 1 1 1 2 1 1 4 函数f x log0 5 x2 2x 8 的单调递增区间 单调递减区间 答案 2 4 解析先求函数的定义域 令x2 2x 8 0 得x 4或x 2 通过图像得函数u x2 2x 8 在x 4时 单调递增 在x 2时递减 所以原函数f x log0 5 x2 2x 8 在 4 上递减 在 2 上递增 讲评求函数的单调区间 应先确定函数的定义域 在定义域的基础上 划分单调增 减 区间 因此 函数的单调区间应是定义域的子集 5 已知函数f x 是r上的增函数 对实数a b 若a b 0 则有 a f a f b f a f b b f a f b f a f b d f a f b 0 a b b a f a f b f b f a 选a 题型一单调性的判断与证明 答案 略 探究1 1 判断函数的单调性有三种方法 图像法 利用已知函数的单调性 定义法 2 证明函数的单调性有两种方法 定义法 导数法 1 若a 2 试证f x 在 2 上单调递增 2 若a 0且f x 在 1 上单调递减 求a的取值范围 思考题1 答案 1 略 2 0 a 1 例2求下列函数的单调区间 1 f x x2 2 x 3 题型二求函数的单调区间 其图像如图所示 所以函数y f x 的单调递增区间为 1 和 0 1 单调递减区间为 1 0 和 1 由上表可知 函数的单调递增区间为 1 单调递减区间为 0 1 答案 1 单调递增区间为 1 0 1 单调递减区间为 1 0 1 2 单调递增区间为 2 5 单调递减区间为 1 2 3 单调递增区间为 1 单调递减区间为 0 1 探究2求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 1 利用已知函数的单调性 即转化为已知函数的和 差或复合函数 求单调区间 2 定义法 先求定义域 再利用单调性定义 3 图像法 如果f x 是以图像形式给出的 或者f x 的图像易作出 可由图像的直观性写出它的单调区间 4 导数法 利用导数取值的正负确定函数的单调区间 5 求复合函数的单调区间的一般步骤是 求函数的定义域 求简单函数的单调区间 求复合函数的单调区间 依据是 同增异减 6 求函数单调区间 定义域优先 求下列函数的单调区间 1 f x x 1 x 思考题2 2 3 2x x2 0 3 x 1 由一元二次函数图像可知f x 的单调递减区间为 3 1 单调递增区间为 1 1 答案 1 单调递增区间为 1 2 单调递减区间为 3 1 单调递增区间为 1 1 3 单调递增区间为 1 单调递减区间为 0 1 题型三利用单调性求最值 设g x x2 2x a 则g x 在 1 上的最小值 a 0 这样问题就转化为求g x 的最小值 a 从而得到关于a的不等式 解之即可 g x x 1 2 a 1 对称轴为x 1 且开口向上 所以g x 在 1 上递增 所以g x 在 1 上的最小值为g 1 3 a 由3 a 0 得a 3 探究3 1 运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法 特别是当函数图像不易作出时 单调性几乎成为首选方法 2 函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间 a b 上是减函数 则f x 在 a b 上的最大值为f a 最小值为f b 若函数在闭区间 a b 上是增函数 则f x 在 a b 上的最大值为f b 最小值为f a 思考题3 例4 1 已知函数y loga 2 ax 在 0 1 上是x的减函数 则实数a的取值范围是 解析 设u 2 ax a 0且a 1 函数u在 0 1 上是减函数 由题意可知函数y logau在 0 1 上是增函数 a 1 又 u在 0 1 上要满足u 0 题型四单调性的应用 答案 1 2 2 已知f x 的定义域为 0 且在其上为增函数 满足f xy f x f y f 2 1 试解不等式f x f x 2 3 解析 f 2 f 2 f 4 f 2 1 f 4 2 3 2 1 f 4 f 2 f 8 f x f x 2 f x x 2 原不等式为f x x 2 f 8 根据函数的定义域和单调性有 答案 x 2 x 4 探究4已知单调性求参数值或利用单调性解不等式是高考中热点 主要体现对性质的应用 1 已知函数f x 在区间 0 上单调递增 则满足f x2 2x 3 0 x2 2x 3 6 x2 2x 3 0 3 x 1 答案 3 x 1 思考题4 1 单调区间是定义域的子区间 求单调区间 定义域优先 2 熟记各基本初等函数的单调区间 是求单调区间的前提 基础 4 函数的单调增 减区间要分开写 两个 或两个以上 同一类单调区间之间用 隔开 不能用 符号连接 5 若f x 具有对称轴x a 则在x a两侧的对称区间上f x 具有相反的单调性 若f x 具有对称中心 a b 则在x a两侧的对称区间上f x 具有相同的单调性 6 函数图像的平移不影响单调性 其中左右平移能改变单调区间 上下平移不改变单调区间 1 2014 北京理 下列函数中 在区间 0 上为增函数的是 答案a 2 若函数y x2 bx c x 0 是单调函数 则实数b的取值范围是 a b 0b b 0c b 0d b 0答案a a k 0b k 0c k 0d k 0答案b a 有最大值b 有最小值c 是增函数d 是减函数答案a 答案 6 若函数f x 2x a 的单调递增区间是 3 则a 答案 6解析画图知a 6 求函数最值的常用方法1 配方法配方法是求二次函数最值的基本方法 如f x af2 x bf x c的函数的最值问题 可以考虑用配方法 例1已知函数y ex a 2 e x a 2 a r a 0 求函数y的最小值 思路 将函数表达式按ex e x配方 转化为关于变量ex e x的二次函数 解析 y ex a 2 e x a 2 ex e x 2 2a ex e x 2a2 2 令t ex e x f t t2 2at 2a2 2 t 2 f t t2 2at 2a2 2 t a 2 a2 2的定义域为 2 抛物线y f t 的对称轴为t a 当a 2且a 0时 ymin f 2 2 a 1 2 当a 2时 ymin f a a2 2 讲评 利用二次函数的性质求最值 要特别注意自变量的取值范围 同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系 如本题化为含参数的二次函数后 求解最值时要细心区分 对称轴与区间的位置关系 然后再根据不同情况分类解决 2 换元法换元法有两类 即代数换元和三角换元 我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法 以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题 从而求出原函数的最值 如可用三角代换解决形如a2 b2 1及部分根式函数形式的最值问题 3 不等式法主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法 常常使用的基本不等式有以下几种 思路 先利用条件将三元函数化为二元函数 再利用基本不等式求得最值 讲评 本题是三元分式函数的最值问题 一般地 可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决 在利用均值不等式法求函数最值时 必须注意 一正二定三相等 特别是 三相等 是我们易忽略的地方 容易产生失误 4 函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性 然后依据单调性求函数的最值 这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法 这种求解方法在高考中是必考的 且多在解答题中的某一问中出现 思路 先判断函数在指定区间上的单调性 再求出函数的最值 然后利用条件求得参数a的值 讲评 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性 这是问题的关键 5 导数法设函数f x 在区间 a b 上连续 在区间 a b 内可导 则f x 在 a b 上的最大值和最小值应为f x 在 a b 内的各极值与f a f b 中的最大值和最小值 利用这种方法求函数最值的方法就是导数法 例5函数f x x3 12x 1在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 思路 先求闭区间上的函数的极值 再与端点函数值比较大小 确定最值 解析 因为f x 3x2 12 所以令f x 0 得x 2或x 2 舍去 又f 3 10 f 2 17 f 0 1 比较得 f x 的最大值为17 最小值为1 讲评 利用导数法求函数最值的三个步骤 第一 求函数在 a b 内的极值 第二 求函数在端点的函数值f a f b 第三 比较上述极值与端点函数值的大小 即得函数的最值 函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得 导数为零的点 导数不存在的点及其端点 6 平方法对含根式的函数或含绝对值的函数 有的利用平方法 可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的 易于解决的函数最值问题 思路 本题是无理函数的最值问题 可以先确定定义域 再两边平方 即可化为二次函数的最值问题 进而可以利用二次函数的最值解决 7 数形结合法数形结合法 是指利用函数所表示的几何意义 借助几何方法及函数的图像求函