圆的标准方程.doc

2015-10-294.1.1 圆的标准方程平遥二中 张恒茂一 教材分析 上一章，学生已经学习了直线与方程。知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题，对数形结合的思想方法有了初步的体验。圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。在初中学生曾经学习过圆的有关知识，相对比较熟悉，而圆是典型的曲线。本章在上一章的基础上，让学生学会在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。二、学情分析学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节在上章学习了直线与方程的基础上，初步了解了用代数方法解决几何问题的思想和数形结合的方法。但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.三、教学目标(一)知识与技能目标1、掌握圆的标准方程。2、能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。3、掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准地写出圆的标准方程。(二)过程与方法目标1、通过具体问题，师生共同探讨，让学生体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力。2、根据实际问题，观察分析比较并找出不同的条件，探究利用已有知识求圆的标准方程的方法。(三)情感与态度目标1、培养学生主动探究知识、合作交流的意识；2、在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.3、培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。四、 教学重点与难点(1)重点: 圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程理解与掌握。(2)难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程。五、教学方法探究式、启发式、练习法六、教学过程(一) 复习提问、引入课题问题1:回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的？学生回顾确定直线的要素两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础。在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？问题2：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在课件上画圆)问题3：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小 (二)建立圆的标准方程1建系设点由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)2写点集根据定义，圆就是集合P=M|MC|=r3列方程由两点间的距离公式得：4化简方程将上式两边平方得： (1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程我们把它叫做圆的标准方程这时，请大家思考下面一个问题问题4：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径当圆心在原点即C(0，0)时，方程为圆心在轴上时：圆心在轴上时：提醒学生注意圆心在不同位置时圆的标准方程的不同形式。教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r0，圆的方程就给定了这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决问题5: 点与圆的位置关系从圆的方程知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上怎样判断点在圆 内呢？还是在圆外呢？容易看出，如果点在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r，即 如果点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径r，即 如果设点M到圆心的距离为d,则可以看到： 点在圆上 d =r ； 点在圆外 d r ； 点在圆内 d r (三)圆的标准方程的应用学生练习一：1说出下列圆的圆心和半径：(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)x2+(y5)2=8；(3)(x+2)2+ y2=m2 （m0）总结：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径2、说出下列圆的方程： (1) 圆心在原点,半径为3. (2) 圆心在点C(3, -4), 半径为7. (3)圆心在点C(3，,0).且与y轴相切。总结：根据圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程当然我们刚才做的练习题都是比较简单的，那当遇到比较复杂的条件时，我们怎么来确定圆的标准方程呢？我们来做下面的一道题。例1、写出圆心为A(2,-3) 半径长等于5的圆的并判断点M(5,-7),N(- ,-1)是否在这个圆上例2、ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程由于圆的标准方程含有三个参数,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。引导学生找出求三个参数的方法，让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程。教师亲自讲解例题的解题过程，看同学反应情况给予适当提醒、启发例3、已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C在直线上l：x y +1=0，求圆心为C的圆的标准方程师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。（教师板书解题过程。） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出外接圆的标准方程的两种求法：1、 根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程.2、根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.练习：课本第1、3、4题随堂巩固：1、已知两点 P1（4，9） P2（6，3） ，求以线段 P1P2 为直径的圆的方程，并判断点 M（6，9）在圆上、在圆内、还是在圆外？ 2、已知AOB 的顶点坐标分别是 A（4，0） ，B（0，3） ，O（0，0） ，求AOB 外接 圆的方程。(四)小结： 1、圆的标准方程。2、点与圆的位置关系的判断方法。3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。（五）布置作业 习题4.1第2、3、4题 （六）板书设计2.3.1圆的标准方程一、 建立圆