实验四 符号运算的应用解答.doc

实验四、符号运算的应用解答1、创建符号表达式y=sinxcosx，并图示。分析：考查知识点符号表达式的创建【法一】直接创建法sym,将要创建的符号表达式用MATLAB表达式表示，放在单引号里作为sym函数的参数。y=sym(sin(x)*cos(x) y =sin(x)*cos(x) 【法二】间接创建法syms,先用syms创建符号表达式里的简单符号变量，再用这些符号变量构成要创建的符号表达式。syms x %等价于x=sym(x)y=sin(x)*cos(x) y =sin(x)*cos(x) 2、创建符号矩阵分析：考查知识点符号矩阵的创建【法一】直接创建法sym,将要创建的符号矩阵放在单引号里作为sym函数的参数。A=sym(a*x, b*x2; 1/x, sin(x) A = a*x, b*x2 1/x, sin(x) 【法二】间接创建法syms,先用syms创建构成符号矩阵元素的简单符号变量，再用这些符号变量构成要创建的符号矩阵。syms x a bA=a*x, b*x2; 1/x, sin(x) A = a*x, b*x2 1/x, sin(x) 3、简化。（比较simple和simplify指令的区别）分析：考查知识点符号表达式的化简操作第一步先创建要化简的符号表达式，方法如题1。f=sym(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3) %直接法创建符号表达式 f =(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3) 或syms xf=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3) %间接法 f =(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3) 注：符号表达式也可写成：(x(-3)+6*x(-2)+12*x(-1)+8)(-3) ,只要和题目中给的函数表达式运算一致即可。即syms xf=(x(-3)+6*x(-2)+12*x(-1)+8)(-3) f =1/(1/x3+6/x2+12/x+8)3 f1=simplify(f) %恒等式化简 f1 =(2*x+1)3/x3)(1/3) simple(f) %无函数返回值，给出对符号表达式的所有操作结果，其结果是最简的形式 simplify:(2*x+1)3/x3)(1/3)radsimp:(2*x+1)/xcombine(trig):(1+6*x+12*x2+8*x3)/x3)(1/3)factor:(2*x+1)3/x3)(1/3)expand:(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3)combine:(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3)convert(exp):(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3)convert(sincos):(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3)convert(tan):(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3)collect(x):(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3)mwcos2sin:(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3)ans =(2*x+1)/x f2=simplify(f) %把最简的形式赋给变量f2 f2 =(2*x+1)3/x3)(1/3) 4、分析：考查知识点符号微分，使用diff函数解：第一步：创建要求导的符号表达式，法同题1。syms a xy=sin(a*x) %间接法，也可用直接法 y =sin(a*x) 第二步：调用diff进行求导A=diff(y,x,1) %可简化为diff(y) A =cos(a*x)*a B=diff(y,a,1) %可简化为diff(y,a) B =cos(a*x)*x C=diff(y,x,2) %可简化为diff(y,2) C =-sin(a*x)*a2 5、求极限 分析：考查知识点求极限符号求解limit函数limit(f, x, a) limit(f,x,a,right) limit(f,x,a,left) 解：第一步：创建要操作的符号对象即函数表达式(1)间接法：先用syms创建我们所求函数里的符号变量clear; syms x h n %再用这些符号变量构成我们所要操作的符号表达式f1 =(log(x+h)-log(x)/h f1 =(log(x+h)-log(x)/h f2=(1-x/n)n f2 =(1-x/n)n (2) 直接法：直接用sym创建我们所求函数的符号表达式(略)第二步：调用limit函数求解L=limit(f1,h,0) L =1/x M=limit(f2,n,inf) M =exp(-x) 6、计算不定积分、定积分、反常积分。， ， 分析：考查知识点求积分本题因为求I,K是不定积分和反常积分，所以只能通过符号积分求取。而J是一元函数的定积分，三种方法均可实现，具体解法见下题。第一步：创建所求积分函数的符号表达式，这里是间接法，也可用直接法创建syms xf1=(x2+1)/(x2-2*x+2)2;f2=cos(x)/(sin(x)+cos(x);f3=exp(-x2); 第二步：调用int函数求积分I=int(f1,x) I =3/2*atan(x-1)+1/4*(2*x-6)/(x2-2*x+2) J=int(f2,x,0,pi/2) J =1/4*pi K=int(f3,x,0,inf) K =1/2*pi(1/2) K = vpa(K,4) K =.8865 7、用三种方法计算积分， 一元函数的定积分，quad法、梯形法和符号积分三种方法均可实现。【法一】函数积分quad法第一步：创建所求积分函数的函数变量，可用内联函数或匿名函数两种方法；使用函数句柄应先创建所求积分函数的函数文件。不方便。f=(x)cos(x)./(sin(x)+cos(x) %匿名函数的创建 f = (x)cos(x)./(sin(x)+cos(x) 或者f=inline(cos(x)./(sin(x)+cos(x),x)%内联函数的创建 f = Inline function: f(x) = cos(x)./(sin(x)+cos(x) 第二步：调用quad对函数进行积分J=quad(f,0,pi/2) J =0.7854 【法二】梯形法trapz第一步：准备实参X，Y，X为在积分区间的采样向量，可用冒号表达式或linspace两种方法获得；Y是当自变量是X时的函数值，可通过对X按函数表达式进行数组运算得到。x=linspace(0,pi/2,100);y=cos(x)./(sin(x)+cos(x);J=trapz(x,y) J = 0.7854 【法三】符号积分，见上题8、用两种方法计算二重积分【法】符号积分，二重积分，调用二次int首先，创建要积分的函数的符号表达式syms x yf=x2+y2 f =x2+y2 M=int(int(f,y,1,x2),x,1,2) M =1006/105 M=vpa(M,5) M =9.5810 补充说明：因积分限不全为常数，所以不能用函数积分。积分限为常数的二重与三重积分q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) 二重积分，tol是指定的精度,可缺省；qq=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol) 三重积分9、求级数的和S, 以及前十项的部分和S考查知识点：级数求和symsum函数（Symbolic Summation）symsum(s,x,a,b)%计算表达式s的级数和l 说明：x为自变量，x省略则默认为对自由变量求和；s为符号表达式；a,b为参数x的取值范围。clear;syms n S = symsum(1/n2,1,inf) S =1/6*pi2 S1 = symsum(1/n2,1,10) S1 =1968329/1270080 s1 = vpa(S1,4) s1 =1.550 10、在629K测定HI的解离度时得到下列实验数据：0.1914；0.1953；0.1968；0.1956；0.1937；0.1949；0.1948；0.1954；0.1947；0.1938。解离度与平衡常数的关系为：用MATLAB求以上测量数据的平均值和标准误差，再求629K时的平衡常数K。分析：考查知识点数据分析与数学运算函数名功能描述函数名功能描述cumprod向量累积prod对向量中各元素求积cumsum向量累加sort对向量中各元素排序max求向量中最大元素sortrows对矩阵中各行排序min求向量中最小元素std求向量中各元素标准差mean求向量中各元素均值sum对向量中各元素求和median求向量中中间元素trapz梯形法求数值积分a = 0.1914;0.1953;0.1968;0.1956;0.1937;0.1949;0.1948;0.1954;0.1947;0.1938; c=mean(a) c = 0.1946 d = std(a) d = 0.0014 K = (a ./ (2*(1-a) ) .2; %注意是数组运算 mean(K) ans = 0.0146 11、已知f(x)= 4x4 + 2x2 - x +1(1)用MATLAB求f(x)=0的所有根.(2) 若x = 2 4 6 8 20; 求f(x)的值。【法一】符号法syms x f=4*x4+2*x2-x+1 f =4*x4+2*x2-x+1 ezplot(f,-20,20) %符号表达式可视化 X=solve(f); %解方程f=0X=vpa(X,5) %j将有理分式转化为指定精度的小数形式X = .37245-.46998*i .37243+.47000*i -.37244+.74599*i -.37244-.74601*i x=2:2:20; fx=subs(f); %通过置换操作求函数值plot(x,fx,*k-) %数据可视化 【法二】数值方法多项式p=4 0 2 -1 1;poly2sym(p) ans =4*x4+2*x2-x+1 r=roots(p) r = -0.3724 + 0.7460i -0.3724 - 0.7460i 0.3724 + 0.4700i 0.3724 - 0.4700i x=2:2:20;y=polyval(p,x);plot(x,y,or-,MarkerSize,20,LineWidth,5) 12、求微分方程的通解l dsolve r = dsolve(eq1,eq2,., cond1,cond2,., v)r = dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v)y=dsolve(Dy=x,x) y =1/2*x2+C1 13、 求微分方程的特解y=dsolve(D2y=Dy+x,y(0)=1,Dy(0)=0,x) y =-1/2*x2+exp(x)-x 14、求微分方程组的通解x,y=dsolve(Dx=y+x,Dy=2*x) x =C1*exp(2*t)-1/2*C2*exp(-t)y =C1*exp(2*t)+C2*exp(-t) 15、求函数，其中x = 1:10（用数值和符号运算三种方法）法一：符号，置换f = sym(x4 -3*x + 8) f =x4 -3*x + 8 fx = subs(f,x,1:10) fx = Columns 1 through 5 6 18 80 252 618Columns 6 through 10 1286 2388 4080 6542 9978 法二：符号，转换f = sym(x4 -3*x + 8) f =x4 -3*x + 8 p = sym2poly(f) p = 1 0 0 -3 8 fx = polyval(p,1:10) fx = 6 18 80 252 618 1286 2388 4080 6542 9978 法三：数值，多项式求值p =1 0 0 -3 8 p = 1 0 0 -3 8 fx = polyval(p,1:10) fx = 6 18 80 252 618 1286 2388 4080 6542 9978 16、把展成多项式的形式。（用数值和符号运算两种方法）数值:多项式相乘n = conv(conv(1 1,1 1),conv(1 1,3 4 0 7) n = 3 13 21 22 25 21 7 f = poly2sym(n,s) f =3*s6+13*s5+21*s4+22*s3+25*s2+21*s+7 符号:表达式展开syms s f = (s+1)3*(3*s3+4*s2+7) f =(s+1)3*(3*s3+4*s2+7) f =expand(f) f =3*s6+13*s5+21*s4+22*s3+25*s2+21*s+7 p = sym2poly(f) p = 3 13 21 22 25 21 7 isequal(n,p) ans = 1 17、求下列联立方程的解 （用数值和符号运算两种方法）法一：数值方法A = 3 4 -7 -12;5 -7 4 2;1 0 8 -5;-6 5 -2 10; b = 4;-3;9;-8; x = Ab x = -1.4841 -0.6816 0.5337 -1.2429 法二：符号方法clear;syms x y z w f1 = 3*x