2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文数.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x|2x4,B=x|(x-1)(x-3)0,则AB=() A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)2.若复数z满足z1-i=i,其中i为虚数单位,则z=()A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i3.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC.bacD.bc0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2+x-m=0有实根,则m0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m0C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m06.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A.B.C.D.7.在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“-1log12x+121”发生的概率为()A.34B.23C.13D.148.若函数f(x)=2x+12x-a是奇函数,则使f(x)3成立的x的取值范围为()A.(-,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+)9.已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.223B.423C.22D.4210.设函数f(x)=3x-b,x0,y0时,xy+(2y)x的最小值为.15.过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230()从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;()在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.17.(本小题满分12分)ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=33,sin(A+B)=69,ac=23,求sin A和c的值.18.(本小题满分12分)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.()求证:BD平面FGH;()若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.19.(本小题满分12分)已知数列an是首项为正数的等差数列,数列1anan+1的前n项和为n2n+1.()求数列an的通项公式;()设bn=(an+1)2an,求数列bn的前n项和Tn.20.(本小题满分13分)设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=x2ex.已知曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与直线2x-y=0平行.()求a的值;()是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;()设函数m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.21.(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,且点3,12在椭圆C上.()求椭圆C的方程;()设椭圆E:x24a2+y24b2=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求|OQ|OP|的值;(ii)求ABQ面积的最大值.答案一、选择题1.C因为集合A=x|2x4,B=x|(x-1)(x-3)0=x|1x3,所以AB=x|2x0.61.5,即ab,又00.60.61,所以a0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m0”,故选D.6.B由茎叶图中的数据通过计算求得x甲=29,x乙=30,s甲=3.6,s乙=2,x甲s乙,故正确.选B.7.A由-1log12x+121,得12x+122,解得0x32,所以事件“-1log12x+121”发生的概率为322=34,故选A.8.C因为f(x)=2x+12x-a是奇函数,所以对定义域内的任意x,f(-x)=-f(x)恒成立,即2-x+12-x-a=-2x+12x-a,即1+2x1-a2x=2x+1a-2x,所以1-a2x=a-2x,即(a-1)(2x+1)=0对任意x恒成立,所以a=1.所以f(x)=2x+12x-1=1+22x-1.其定义域为(-,0)(0,+),在(0,+)上为减函数,在(-,0)上也为减函数,因为f(1)=3, f(x)3,所以f(x)f(1),所以0x1,故选C.9.B依题意知,该几何体是以2为底面半径,2为高的两个同底圆锥组成的组合体,则其体积为13(2)222=423,故选B.10.Df56=356-b=52-b,当52-b1,即b32时,f52-b=252-b,即252-b=4=22,得到52-b=2,即b=12;当52-b32时,f52-b=152-3b-b=152-4b,即152-4b=4,得到b=7832,舍去.综上,b=12,故选D.二、填空题11.答案13解析输入x=12成立,得到x=20,y0,x2y+yx212=2,当且仅当x2y=yx,即x=2y时等号成立,故所求最小值为2.15.答案2+3解析如图,F1,F2为双曲线C的左,右焦点,将点P的横坐标2a代入x2a2-y2b2=1中,得y2=3b2,不妨令点P的坐标为(2a,-3b),此时kPF2=3bc-2a=ba,得到c=(2+3)a,即双曲线C的离心率e=ca=2+3.三、解答题16.解析()由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人,所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P=1545=13.()从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,A4,B1,A4,B2,A4,B3,A5,B1,A5,B2,A5,B3,共15个.根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2个.因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=215.评析本题考查随机事件的概率及其计算,考查运算求解能力及应用意识.17.解析在ABC中,由cos B=33,得sin B=63,因为A+B+C=,所以sin C=sin(A+B)=69.因为sin Csin B,所以CB,可知C为锐角,所以cos C=539.因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=63539+3369=223.由asinA=csinC,可得a=csinAsinC=223c69=23c,又ac=23,所以c=1.评析本题考查正弦定理的应用及三角形内的三角恒等变换;考查了运算求解能力.18.证明()证法一:连结DG,CD,设CDGF=M,连结MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点,又H为BC的中点,所以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.()连结HE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CFHE,又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.评析本题考查空间线面、面面垂直的判定;考查推理论证能力及空间想象能力.19.解析()设数列an的公差为d.令n=1,得1a1a2=13,所以a1a2=3.令n=2,得1a1a2+1a2a3=25,所以a2a3=15.解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.()由()知bn=2n22n-1=n4n,所以Tn=141+242+n4n,所以4Tn=142+243+n4n+1,两式相减,得-3Tn=41+42+4n-n4n+1=4(1-4n)1-4-n4n+1=1-3n34n+1-43.所以Tn=3n-194n+1+49=4+(3n-1)4n+19.20.解析()由题意知,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为2,所以f (1)=2,又f (x)=ln x+ax+1,所以a=1.()k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-x2ex,当x(0,1时,h(x)1-1=0,所以存在x0(1,2),使得h(x0)=0.因为h(x)=ln x+1x+1+x(x-2)ex,所以当x(1,2)时,h(x)1-1e0,当x(2,+)时,h(x)0,所以当x(1,+)时,h(x)单调递增.所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.()由()知方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0,且x(0,x0)时, f(x)g(x),所以m(x)=(x+1)lnx,x(0,x0,x2ex,x(x0,+).当x(0,x0)时,若x(0,1,m(x)0;若x(1,x0),由m(x)=ln x+1x+10,可知00,m(x)单调递增;x(2,+)时,m(x)0,m(x)单调递减,可知m(x)m(2)=4e2,且m(x0)0,可得m24+16k2. 则有x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-161+4k2.所以|x1-x2|=416k2+4-m21+4k2.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为