插值与拟合例题.doc

1 山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：(平面区域1200=x=4000,1200=y=3600)，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。2 用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。如果作2或4次多项式拟合，结果如何？3 用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为 ，其中V0是电容器的初始电压， 是充电常数。试由下面一组t，V数据确定V0， 。2用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。 分别作1、2、4、6次多项式拟合，比较结果，体会欠拟合、过拟合现象。解：程序如下：x=1:0.5:10;y=x.3-6*x.2+5*x-3;y0=y+rand;f1=polyfit(x,y0,1)%输出多项式系数y1=polyval(f1,x);%计算各x点的拟合值plot(x,y,+,x,y1) grid ontitle(一次拟合曲线);figure(2);f2=polyfit(x,y0,2)%2次多项式拟合y2=polyval(f2,x);plot(x,y,+,x,y2);grid ontitle(二次拟合曲线);figure(3);f4=polyfit(x,y0,4)%4次多项式拟合y3=polyval(f4,x);plot(x,y,+,x,y3)grid ontitle(四次拟合曲线);figure(4);f6=polyfit(x,y0,6)%6次多项式拟合y4=polyval(f6,x);plot(x,y,+,x,y4)grid ontitle(六次拟合曲线);运行结果如下：依次为各个拟合曲线的系数（按降幂排列）f1 =43.2000 -149.0663f2 = 10.5000 -72.3000 89.8087f4 =0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.5913f6 = 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.4199运行后，比较拟合后多项式和原式的系数，发现四次多项式系数与原系数比较接近，四次多项式的四次项系数很小。作图后，发现一次和二次多项式的图形与原函数的差别比较大，属于欠拟合的情况，而四次多项式和六次多项式符合得比较好。作图如下：3.解：据题意分析如下:电容器充电的数学模型已经建立。(已知V=10)可见，v(t)与成指数变化关系，所以在通过曲线拟合的时候，使用指数曲线ya1ea2x。(非线性拟合)。首先进行变量代换在程序中用v1代替v(t)，t0代替,v2是拟合后的曲线方程：对变形后取对数，有令y=ln(10-) ,f1=ln(10-) ,f2= -1/t0,则v0=10-exp(f(2)， t0= -1/ f(1)。编写程序如下：t=0.5 1 2 3 4 5 7 9;v1=6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63;y=log(10- v1);f=polyfit(t,y,1)t0=-1/f(1)v0=10-exp(f(2)v2=10-(10-v0)*exp(-t/t0);plot(t,v1,rx,t,v2,k:)grid onxlabel(时间t(s),ylabel(充电电压(V);title(电容器充电电压与时间t的曲线);程序运行输出结果如下：f =-0.2835 1.4766t0 = 3.5269 v0 =5.6221即电容器的初始电压为 v0 =5.6221，=3.5629。4.某年美国旧车价格的调查资料如下表其中xi表示轿车的使用年数，yi表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多