勾股定理的逆定理(填空)及详解-中考题.doc

一、填空题（共30小题）1、（2008沈阳）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且ABC是直角三角形，则满足条件的点C有_个2、（2008宁夏）已知a、b、c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a、b、c为边能组成的三角形是：等腰三角形；等边三角形；直角三角形；钝角三角形以上符合条件的正确结论是_（只填序号）3、（2003哈尔滨）若在ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则ADC的度数是_度4、已知|a6|+（c10）2=0，则由a，b，c为三边的三角形是_三角形（填上“锐角”或“直角”或“钝角”）5、（2010达州）如图所示，ABC中，CDAB，垂足为D下列条件中，能证明ABC是直角三角形的有_（多选、错选不得分）A+B=90；AB2=AC2+BC2；CD2=ADBD6、（2010义乌市）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是_（写出一组即可）7、（2005宁夏）在半径为2的O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆心角AOB的度数是_度8、（2006丽水）如图，以ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，如果S1+S2=S3，那么ABC的形状是_三角形9、（2003随州）在ABC中，A：B：C=1：2：3已知BC=3cm，则AB=_cm10、（2007滨州）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个66的方格纸中，找出格点C，使ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是_个11、（2007绵阳）若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形以的长为边的三条线段能组成一个三角形以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形以的长为边的三条线段能组成直角三角形其中所有正确结论的序号为 _12、已知|x12|+（y13）2与z210z+25互为相反数，则以x，y，z为边的三角形是_三角形13、已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为_cm时，这三条线段能组成一个直角三角形14、三角形的三边长为a，b，c，满足（a+b）2c2=2ab，则此三角形是_15、若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_cm216、在ABC中，若BC2+AB2=AC2，则A+C=_度17、有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为_18、如图：在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，且EFBC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2=_19、在ABC中，设CD是高，若BC=6，CA=8，AB=10，则CD=_20、在ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=_21、若a，b，c分别是ABC的三条边长，且a26a+b210c+c2=8b50，则这个三角形的形状是_22、如果ABC的三边长a，b，c满足关系式（a+2b60）2+|b18|+=0，则a=_，b=_，c=_，ABC是_三角形23、如图，RtABC中，C=90度将ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为_24、ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则A=_度25、已知a、b、c是ABC的三边长，且满足|c2a2b2|+（ab）2=0，则ABC的形状是 _26、已知|m|+（p）2=0则以m、n、p为三边长的三角形是_三角形27、在ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8则DAE的度数为_28、已知x，y，z均为正数，且|x4|+（y3）2+=0，若以x，y，z的长为边长画三角形，此三角形的形状为_29、已知a、b、c为ABC的三边，且a2c2b2c2=a4b4，则此三角形的形状为_30、以A（1，1），B（5，1），C（2，2）为顶点的三角形是_三角形答案与评分标准一、填空题（共30小题）1、（2008沈阳）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且ABC是直角三角形，则满足条件的点C有8个考点：坐标与图形性质；勾股定理的逆定理。专题：分类讨论。分析：本题可先根据AB两点的坐标得出直线的方程，再设C点的坐标为：（x，y），根据点到直线的公式得出C点的x与y的关系，然后分别讨论A为直角时或B为直角时或C为直角几种情况进行讨论即可得出答案解答：解：到直线AB的距离为4的直线有两条以一条直线为例，当A为直角时，可得到一个点；当B为直角时，可得到一个点；以AB为直径的圆与这条直线有2个交点，此时，C为直角同理可得到另一直线上有4个点点评：本题需注意：到一条直线距离为定值的直线有两条；需注意分情况讨论三角形为直角的情况2、（2008宁夏）已知a、b、c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a、b、c为边能组成的三角形是：等腰三角形；等边三角形；直角三角形；钝角三角形以上符合条件的正确结论是（只填序号）考点：等腰三角形的判定；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理。分析：根据a、b、c是三个正整数，且a+b+c=12，分情况讨论得出解答：解：因为a、b、c是三个正整数，且a+b+c=12，因此所有a、b、c可能出现的情况如下：2，5，53，4，5，4，4，4，分别是：等腰三角形；直角三角形；等边三角形故符合条件的正确结论是点评：本题综合考查了学生分类讨论的能力和特殊三角形的判定方法3、（2003哈尔滨）若在ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则ADC的度数是90度考点：勾股定理的逆定理。分析：根据题意，画出图形，根据中线的定义，求出BD，由勾股定理的逆定理判断出ABD为直角三角形，从而求得ADC的度数解答：解：AB=5cm，BC=6cm，AD=4cm，又AD为BC边上的中线，BD=6=3，AB2=AD2+BD2，ABC为直角三角形，ADC=ADB=90，ADC的度数是90度点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可4、已知|a6|+（c10）2=0，则由a，b，c为三边的三角形是直角三角形（填上“锐角”或“直角”或“钝角”）考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根。分析：根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判定解答：解：|a6|+（c10）2=0，根据非负数的性质a=6，b=8，c=10，又c2=a2+b2，即100=36+64，符合勾股定理的逆定理，由a，b，c为三边的三角形是直角三角形点评：本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0根据这个结论可以求解这类题目5、（2010达州）如图所示，ABC中，CDAB，垂足为D下列条件中，能证明ABC是直角三角形的有（多选、错选不得分）A+B=90；AB2=AC2+BC2；CD2=ADBD考点：直角三角形的性质；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理。分析：根据三角形内角和是180、勾股定理、余弦函数、相似三角形的性质等来逐一判断各结论是否符合题意解答：解：三角形内角和是180，由知A+B=90，ACB=180（A+B）=18090=90，ABC是直角三角形故选项正确AB，AC，BC分别为ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，正确题目所给的比例线段不是ACB和CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明ACB与CDB相似，也就不能得到ACB是直角，故错误；若ABC是直角三角形，已知CDAB，又CD2=ADBD，（即）ACDCBDACD=BACB=ACD+DCB=B+DCB=90ABC是直角三角形故选项错误；故正确的结论为点评：本题考查直角三角形的性质和勾股定理等知识的应用，只要利用直角三角形的这些特性加以判断即可6、（2010义乌市）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是3、4、5（答案不唯一）（写出一组即可）考点：勾股定理的逆定理。分析：写出一组勾股数即可解答：解：例如，3、4、5（答案不唯一）点评：本题主要考查勾股数的记忆，需要熟练记忆7、（2005宁夏）在半径为2的O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆心角AOB的度数是90度考点：勾股定理的逆定理。分析：已知一个三角形三边，先看三边是否符合勾股定理的逆定理，如果符合，则该三角形为直角三角形解答：解：OA=OB=2，AB=，OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理，ABO是直角三角形，且AOB=90，故填90点评：已知三角形求边长，一般是利用勾股定理的逆定理8、（2006丽水）如图，以ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，如果S1+S2=S3，那么ABC的形状是直角三角形考点：勾股定理的逆定理。分析：由已知得三个正方形的面积分别是三角形各边的平方，由已知得其符合勾股定理从而得到其是一个直角三角形解答：解：S1+S2=S3且S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形点评：本题意在使抽象难懂的知识变得通俗易懂，通过审题把题目中的条件进行转化，是解题的关键9、（2003随州）在ABC中，A：B：C=1：2：3已知BC=3cm，则AB=6cm考点：勾股定理的逆定理。分析：根据直角三角形的判定方法，确定三角形为直角三角形，则AB可求解答：解：A：B：C=1：2：3，设A=x，B=2x，C=3x，x+2x+3x=180，解得x=30，则A=30，C=330=90，30的角所对的直角边是斜边的一半，AB=32=6cm点评：根据比例关系列出方程，是解决此类问题的关键，体现了方程思想在解题中的作用10、（2007滨州）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个66的方格纸中，找出格点C，使ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是6个考点：勾股定理的逆定理。专题：网格型。分析：注意存在的两个关键点：一是直角三角形，二是面积为1个平方单位，按此条件进行分析，不难求得答案解答：解：如图，将A、B、C连接起来，SABC=21=1，同理，其余五点和A、B相连，也可以求出三角形面积为1，所以这样的直角三角形有6个点评：此题考查直角三角形的判定及面积公式的运用11、（2007绵阳）若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形以的长为边的三条线段能组成一个三角形以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形以的长为边的三条线段能组成直角三角形其中所有正确结论的序号为 考点：勾股定理的逆定理；三角形三边关系。分析：由已知三边，根据勾股定理得出a2+b2=c2，然后根据三角形三边关系即任意一边长其他二边的差，其他二边的合，再推出小题中各个线段是否能组成三角形解答：解：（1）直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2，因而以a2，b2，c2的长为边的三条线段不能满足两边之和第三边，故不能组成一个三角形，故错误；（2）直角三角形的三边有a+bc（a，b，c中c最大），而在三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有成立，即，即a+b+，（由a+bc），则不等式成立，从而满足两边之和第三边，则以的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；（3）a+b，c+h，h这三个数中c+h一定最大，（a+b）2+h2=a2+b2+2ab+h2，（c+h）2=c2+h2+2ch又2ab=2ch=4SABC（a+b）2+h2=（c+h）2，根据勾股定理的逆定理即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形故正确；（4）假设a=3 b=4，c=5，的长为，以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误故填点评：本题考查勾股定理，以及勾股定理的逆定理，同时，通过这一题目要学会，用反例的方法说明一个命题是错误的思考方法12、已知|x12|+（y13）2与z210z+25互为相反数，则以x，y，z为边的三角形是直角三角形考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方。分析：由已知得|x12|+（y13）2+z210z+25=0，则可求得x、y、z三边的长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形形状解答：解：|x12|+（y13）2+z210z+25=0，|x12|+（y13）2+（z5）2=0，x=12，y=13，z=5，52+122=132以x，y，z为边的三角形为直角三角形点评：主要考查了勾股定理的逆定理运用如果一个三角形的三条边满足两边和的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形13、已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为13或cm时，这三条线段能组成一个直角三角形考点：勾股定理的逆定理。分析：已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形斜边和短边二种情况下的结果解答：解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为=13；当12为斜边时，第三条线段长为=故填13或点评：本题考查了勾股定理的逆定理，注意要分两种情况讨论14、三角形的三边长为a，b，c，满足（a+b）2c2=2ab，则此三角形是直角三角形考点：勾股定理的逆定理。分析：先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定解答：解：（a+b）2c2=2ab，a2+b2=c2，三角形是直角三角形点评：本题考查了勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可15、若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为120cm2考点：勾股定理的逆定理。分析：根据已知可求得三边的长，再根据三角形的面积公式即可求解解答：解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x=60，x=2，三边分别为10cm，24cm，26cm，102+242=262，三角形为直角三角形，S=10242=120cm2点评：此题主要考查学生对直角三角形的判定及勾股定理的逆定理的理解及运用16、在ABC中，若BC2+AB2=AC2，则A+C=90度考点：勾股定理的逆定理。分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形解答：解：BC2+AB2=AC2，根据勾股定理的逆定理：这个三角形是直角三角形B=90，则A+C=90，故填90点评：本题考查了勾股定理的逆定理，比较简单17、有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为3或考点：勾股定理的逆定理。分析：因为没有指明哪个是斜边，所以分两种情况进行分析解答：解：当第三边为斜边时，第三边=；当边长为5的边为斜边时，第三边=3点评：本题利用了勾股定理求解，注意要分两种情况讨论18、如图：在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，且EFBC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2=100考点：勾股定理的逆定理；勾股定理。分析：根据角平分线的定义推出ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2解答：解：CE平分ACB，CF平分ACD，ACE=ACB，ACF=ACD，即ECF=（ACB+ACD）=90，又EFBC，CE平分ACB，CF平分ACD，ECB=MEC=ECM，DCF=CFM=MCF，CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100点评：本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用19、在ABC中，设CD是高，若BC=6，CA=8，AB=10，则CD=4.8考点：勾股定理；三角形的面积；勾股定理的逆定理。专题：计算题。分析：根据勾股定理的逆定理可以判定ABC为直角三角形，用两条直角边和斜边及斜边的高分别求三角形ABC的面积，运用面积法可以计算CD解答：解：已知BC=6，CA=8，AB=10，且BC2+CA2=AB2，ABC为直角三角形，且AB为斜边，所以RtABC面积=BCCA=ABCD，解得CD=4.8故答案为：4.8点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，本题中正确的判定三角形是直角三角形是解题的关键20、在ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=5考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。专题：计算题。分析：根据BD，AD，AB的长度可以判定ABD为直角三角形，即ADBC，又D为BC的中点，可以判定ABC为等腰三角形，且AB=AC解答：解：在ABD中，已知AB=5，AD=4，BD=3，满足AB2=AD2+BD2，ABD是直角三角形，即ADBC，又D为BC的中点，ABC为等腰三角形，且AB=AC，AC=5故答案为 5点评：本题考查了根据勾股定理的逆定理来判定直角三角形，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证ABC是等腰三角形是解题的关键21、若a，b，c分别是ABC的三条边长，且a26a+b210c+c2=8b50，则这个三角形的形状是直角三角形考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式。分析：利用完全平方公式把这个式子写成平方几个非负数的和的形式，求得a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可解答：解：a26a+b210c+c2=8b50a26a+9+b28b+16+c210c+25=0（a3）2+（b4）2+（c5）2=0a=3，b=4，c=5这个三角形的形状是直角三角形点评：本题考查完全平方公式和勾股定理的逆定理在实际中的运用，注意运用几个非负数的和为0，那么这几个数均为0这个知识点22、如果ABC的三边长a，b，c满足关系式（a+2b60）2+|b18|+=0，则a=24，b=18，c=30，ABC是直角三角形考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根。分析：先根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理解答解答：解：（a+2b60）2+|b18|+=0，a=24，b=18，c=30，242+182=302，ABC是直角三角形点评：本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0根据这个结论可以求解这类题目23、如图，RtABC中，C=90度将ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为6考点：勾股定理的逆定理；含30度角的直角三角形。分析：运用线段垂直平分线的性质得A=ABE，根据折叠的性质得ABE=CBE，然后根据直角三角形的性质计算解答：解：根据题意，得DE垂直平分AB，则AE=BE得A=ABE根据折叠，得ABE=CBE再根据直角三角形的两个锐角互余得A=ABE=CBE=30CE=BE=2则AC=4+2=6点评：此题综合了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，所以学生学过的知识要系统24、ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则A=30度考点：勾股定理的逆定理；等边三角形的判定。分析：由题意得出AEO和OEC全等以及OCF和OFB全等，再根据全等三角形的定义，求得对应的边相等而OC=CB=OB，则OCB为等边三角形，得出B=60，最后求出A的度数解答：解：如图所示，OE，OF分别是边AC，BC的中垂线OE，OF分别是边AC，BC的中垂线AEOCEO，OCFOBFAO=CO，CO=BOACB为直角三角形CO=BCOBC为等边三角形B=60A=30，故填为30点评：此题主要考查了学生对直角三角形的判定及等边三角形的判定的运用25、已知a、b、c是ABC的三边长，且满足|c2a2b2|+（ab）2=0，则ABC的形状是 等腰直角三角形考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方。专题：推理填空题。分析：根据绝对值和偶次方的性质，|c2a2b2|=0，（ab）2=0，由此可得出ABC的三边关系，利用勾股定理的逆定理，即可作出判断解答：解：ABC是等腰直角三角形|c2a2b2|+（ab）2=0，|c2a2b2|=0，（ab）2=0，c2=a2+b2，a=b，ABC是等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形点评：此题主要考查学生对勾股定理的逆定理，非负数的性质（绝对值，偶次方）的理解和掌握，解答此题的关键是根据|c2a2b2|=0，（ab）2=0，得出ABC的三边关系26、已知|m|+（p）2=0则以m、n、p为三边长的三角形是等腰直角三角形考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理。专题：常规题型。分析：根据非负数的性质列式求出m、n、p的值，再根据勾股定理逆定理进行解答即可解答：解：根据题意得，m=0，n2=0，p=0，解得m=，n=2，p=，m=p，又2+2=22=4，即m2+p2=n2，以m、n、p为三边长的三角形是等腰直角三角形故答案为：等腰直角点评：本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键27、在ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8则DAE的度数为45考点：正弦定理与余弦定理；勾股定理；勾股定理的逆定理。专题：数形结合。分析：首先由已知可得ABC是直角三角形，则可求得B与C的余弦值，在ABD与AEC中利用余弦定理即可求得AD与AE的值，再在ADE中用余弦定理求得DAE的余弦值，即可求得DAE的度数解答：解：AB=5，AC=12，CB=13，AB2+AC2=CB2，BAC=90，cosB=，cosC=，BD=1，