高台村用水问题.doc

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 20 所属学校（请填写完整的全名）： 延安大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 任治豪 2. 郑 璇 3. 白 珊 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 8 月 22 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：高台村用水问题摘 要 水资源短缺一直是人们关注的焦点，位于我国西北地区的偏远贫困村高台村是典型的缺水地区。为了帮助县政府解决村民生活用水问题，设计最优打井和建造输水管道计划具有重要意义。 本文运用平滑指数法和平均移动法对四口井的产水量进行预测，并得出原有四口水井2012-2016年每年产水量，运用整数优化模型确定了两个方案： a、在满足村民5年基本用水和不超过县政府提供的建设资金的前提下，三年打井和建设输水管道费用最低，求解得： 第一年打2，3，6，8号井，可提供154.7731万吨水；第二年打1号井，可提供175.7315万吨水；第三年打7号井，可提供170.3813万吨水；第四年由于管道修通，管道进行输水，管道最大输水量为100万吨，故最大可供253.3382万吨水；第五年最大可供237.7635万吨水；总花费为169万元。 b、 在满足村民5年基本用水和不超过县政府提供的建设资金的前提下,建设的输水管道输水量最大，求解得： 第一年打2，3，6，8号井，可提供154.7731万吨水；第二年打1号井，可提供175.7315万吨水；第三年打7号井，可提供170.3813万吨水；第四年由于管道修通，管道进行输水，管道最大输水量为117.39万吨，最大可提供370.7282万吨水；第五年最大可以提供355.1535万吨水；总花费为180万元。 运用LINGO软件求解得出了最优方案，为县政府提供了两套不同的可选方案，基本解决了高台村的用水问题。关键字：拟合 0-1规划 最优决策目标 LINGO软件一、问题重述为解决高台村的用水短缺问题,县政府决定从今年起为该村解决用水问题，具体方案包括两个方面：一是在高台村附近找8个可供打井的位置,由于每个位置打井的费用和年产水量也不同,且预计每口井的年产水量还会以平均每年10%的速率减小;二是从长远考虑,建设输水管道,从20公里外的柳河将水引入该村,费用为管输工程工期需要三年且每年投资管输的费用为万元的整数倍.要求管输完成后, 每年能管输至少100万吨水.在综合考虑用水需求和县政府提供的费用条件下,给出三年的打井计划和管输建设计划.二、问题分析题中要求为解决高台村用水问题而制定的一个总费用最小的抗旱（打井，铺设管道）方案，并且使得该村从2010至2016年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，每年费用不超过60万元。属于优化问题模型.决策目标为:2012-2014年期间打井，铺设管道所用总费用最小.约束条件有：1、该村从2012至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水；2.、每年费用不超过60万元；3、打一口井只在某一年进行因此 4、铺设管道费用为万元整数倍；5、由于河位于与该村相隔20公里外的地方,所以管道总长度不小于20公里；6、铺设管道需要3年时间,故前3年管道供水量为0,而第4,5年供水量不小于100万吨。故此模型即为基于以上约束条件的整数规划（最优决策目标）问题。三、模型假设1、假设现有四口水井都可正常使用；2、假设在每年年初即可打井完毕并可投入使用。管道铺好后即可供水；3、假设外界环境不会导致输水管道无法使用或供水变化；4、不考虑意外情况导致所需经费增加；5、假设这五年之内村民需水量基本稳定；6、假设井供水量呈稳定规律变化，不考虑其他因素对产水量的影响；7、新井的产水量每年以10%的速率减少；8、管输建设工程可以逐年付款。四、符号说明符 号说 明第年的总费用第年修管道的费用第年的总产水量管道每年的可输水量第年新打水井的总产水量0-1变量，第年打第口井, 第年不打第口井第年铺管道的公里数第年打井费用五、模型建立与求解模型建立准备 对原有四口井产水量的预测处理根据所给数据，用matlab拟合工具箱进行拟合。根据实际情况，井水产水量不能小于0，只能无限接近于0，故采用指数平滑法进行处理。但是根据指数平滑法处理的结果观察，3号井的误差太大，所以对三号井先用移动平均法进行处理，再进行指数平滑法进行处理。1号井：拟合结果为：2号井：拟合结果为：3号井：拟合结果为：由于误差太大，重新选择用简单移动平均法进行处理。简单移动平均法是将最近的K期数据加以平均，作为移动中项的趋势测定值。设移动时期项数为k，则第t期的移动平均值为：注意：当k取奇数或偶数的不同形式时，处理方法有区别。对于k取奇数时，可直接运用公式即可；当k取偶数时，要在第一次对原数列作移动平均后，对所得新数列再做一次相邻两项的移动平均，这样才能完成中心化。我们分别取进行预测，预测结果为下表：年份实际值移动数200327.9200425.825.83333200523.823.7333323.72200621.621.6333321.62200719.519.519.56200817.417.4666717.46200915.515.415.38201013.313.3333201111.2通过简单移动平均法进行数据的处理，再用指数平滑法进行处理，曲线： 通过结果的分析，采用时的处理结果结果进行指数平滑处理，结果为：4号井：拟合结果:根据以上函数，预测20122016年四口井的产水量，结果如下表： 年份井号201220132014201520161号井21.9269920.9896320.0923419.233418.411192号井1.4390471.0656460.7891340.5843710.432743号井9.2639757.2447025.2354443.2357681.2452424号井15.1413414.1315413.1944212.321711.50767模型I 费用最低原则先引入0-1变量模型，即表示第年是否打井,为1则施工,从而确定打井费用.利用非线性整数优化模型,决策变量为三年打井和管输建设的总费用,总费用来源有两部分:每年的打井费用,三年的管输费用.则有第年的总费用因此有总费用约束条件 (1)打一口井只在某一年进行因此 (2)每年的费用不超过计划的即 , (3) 每年的水量应满足要求，水量由三部分构成：现有四口水井的产水量,新建水井的产水量,管道铺好后的管道水量。 (A)打新井的产水量 第一年: 第二年: 第三年: (B)管道水量前三年为0,后两年为 则有总的产水量为 ,(4)管输水量至少为100即 (5)管道长至少为20公里即 将上述模型带入Lingo中(运行结果见附录一)得如下结果: 第一年打2，3，6，8号井，可提供154.7731万吨水；第二年打1号井，可提供175.7315万吨水；第三年打7号井，可提供170.3813万吨水；第四年由于管道修通，管道进行输水，故可提供253.3382万吨水；第五年可以提供237.7635万吨水。模型II 管输最大 先引入0-1变量模型，表示第年是否打井,为1则施工,从而确定打井费用.利用非线性规划模型,使得在打井总费用最低的条件下,三年提供的总费用全部用完,从而使得管输量达到最大.(1) 决策变量为打井费用最低即 约束条件:（A） ,（B）（C)（D)（E）（F） ,（J） 通过Lingo软件(运行结果见附录二),确定第一年打第2,3,6,8口井,第二年打第1口井,第三年打第7口井.计算出打井的总费用为30万元，从而得到修管道的费用为150万元，进而利用求得最大值.剩余费用全部用于修管道，并且管道只修20公里长，即此时费用则有,管道最大输水量为117.39万吨,第四年最大可供370.7282万吨水；第五年最大可以供355.1535万吨水.六、模型评价与改进1、本文把所解决的问题归结为优化问题，建立的数学模型清晰合理。2、用指数平滑法和移动平均发进行数据处理，使数据更接近实际。3、运用MATLAB和LINGO软件处理数据和进行运算，降低运算量，简单易行，有很大的可操作性，且所得数据较为合理可靠。4、运用01模型解题，全面可靠。5、但在实际运用本方案中还应考虑自然因素对产水量的影响，还有需水量的变化，根据实际情