无穷积分敛散性判别方法及其实际运用-本科毕业论文

齐齐哈尔大学毕业设计（论文）摘 要微积分知识及其应用对人类的进步和社会的发展做出了突出贡献, 无穷积分在其中也发挥了重要作用. 无穷积分在生活中常见且应用十分广泛. 本文首先介绍了无穷积分收敛与发散的相关概念，然后对判断无穷积分的敛散性的方法做了详细的归纳和总结. 本文主要对无穷积分的敛散性判别方法进行了详细的介绍. 从中得到不同的被积函数可以有不同的判别方法，其一，被积函数是非负函数的情况下无穷积分是否收敛，我们可以应用定义判别法、柯西准则、比较判别法、根值判别法来判别无穷积分的敛散性. 其二，在通常的条件下无穷积分敛散性的判别，我们一般考虑使用狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、对数判别法来解决. 最后通过一些实例研究了无穷积分在物理学、经济学等实际问题的应用. 关键词：无穷积分；收敛；发散；绝对收敛AbstractCalculus knowledge and its application have made outstanding contributions to human progress and social development, and infinite integral has also played an important role in it. Infinite integral is common in life and widely used.This paper first introduces the related concepts of convergence and divergence of infinite integral, and then to determine the infinite integral convergence of the method in detail. This paper focuses on the convergence of infinite integral method is introduced in detail. The different integrand can have different discriminant method on the one hand, the integrand is nonnegative function under the condition of infinite integral is convergent, we can define the application criterion, Cauchy criterion, comparative method, value method to determine the convergence of infinite integral. Secondly, under normal conditions the convergence and divergence of infinite integral, we generally consider the use of de Lickley criterion, Abel criterion and logarithmic discriminant method to solve the problem. Finally, through the application of some examples of the infinite integral in physics, economics and other practical problems.Key words: Infinite Integral; Convergence; Divergence; Absolute Convergence 不要删除行尾的分节符，此行不会被打印- II -齐齐哈尔大学毕业设计（论文）目 录摘要IAbstractII绪论1第1章 相关概念知识31.1 预备知识31.2 无穷积分敛散性的概念31.2.1 无穷积分收敛与发散31.2.2 无穷积分与级数51.2.3 无穷积分的性质61.2.4 绝对收敛与条件收敛6第2章 敛散性的判别方法72.1 被积函数是非负的判别72.1.1 定义判别法72.1.2 柯西准则72.1.3 比较判别法82.1.4 根值判别法92.2 一般情况下的判别112.2.1 狄利克雷判别法112.2.2 阿贝尔判别法122.2.3 对数判别法12第3章 无穷积分的应用153.1 在物理学中的应用153.2 在经济学中的应用16结论18参考文献19致谢20 绪 论在数学分析和天体物理学中，无穷积分起到了举足轻重的实际应用的作用. 许多实际问题中都蕴含着无穷积分的知识和应用，所以说无穷积分的应用非常广泛. 所以，我们选取无穷积分的敛散性判别与应用作为研究对象. 无穷积分是微积分知识体系中的一个重要的分支，无穷积分的敛散性对科学发展以及人类社会的进步具有重大意义和深远影响. 在实际生活中，许多领域的研究都涉及无穷积分及其敛散性. 例如，在经济管理学中，当产量趋于无限增加时，我们需要去预测估计利润值，以及在供应定货分析解决中都需要无穷积分敛散性的相关知识. 在物理学中，随着距离的无限增加，我们可以根据无穷积分计算出物体离开地球所做的功，以及第二宇宙速度. 由此可见，无穷积分在实际的生活中应用是相当广泛. 为了让其更好地应用于生活之中，为了让其对人类进步和社会发展做出更大贡献，我们要对无穷积分及其敛散性的判别进行更加深入广泛的研究. 随着人们对无穷积分重要性认识的逐步加深，越来越多的人展开对无穷积分的敛散性及其应用的研究. 在国内，无穷积分的敛散性及其应用的研究成果数不胜数，例如刘红玉在2012年8月发表的含参变量无穷积分一致收敛性的判断技巧与应用1. 她在凭借数学分析教科书中的知识，关于含有参变量的广义积分的定义及其概念和判别广义积分敛散的一些方法的基础上，通过对一些经常见到的问题的研究、分析与解答,她给我们总结出了含有参变量的广义积分的一致收敛性的判断,这些都是非常具有实用性的技巧,并且她也讨论了含有参变量的广义积分在学习和实践中的应用价值. 郑宝杰和孔波等一些学者在2009年12月河南教育学院学报上发表的非负无穷积分与级数之间敛散性的关系与应用2. 这些人的工作是对数学分析中的某一些相关广义积分的问题进行了推广和广义积分实质性的应用，他们根据推广之后的一些命题得到了, 被积函数为非负函数时的广义积分与级数之间敛散性的相关的内在联系，并且这些学者也应用举例解释说明了这种联系的应用. 在国外，许多人重视无穷积分的敛散性应用的研究，例如Stump David M 在2005年英国皇家协会期刊上发表的On an infinite integral arising in the numerical integration of stochastic differential equations3，通过无穷积分来解决随机微分方程中的问题. 我们可以清楚的看出，无穷积分的研究已经不局限于微积分的应用，更多的是为现实问题的需要提供服务，这正是无穷积分的魅力所在. 因此今后会有更多的人去学习和研究无穷积分的敛散性的判别及其应用. 未来还会有更多的人一起努力让无穷积分绽放出更加璀璨的光芒. 本文主要介绍了无穷积分敛散性的相关定义，概念. 重点介绍了比较判别法判别无穷积分的敛散性、柯西判别法判别无穷积分的敛散性、柯西收敛准则判别无穷积分的敛散性,还有阿贝尔判别法判别无穷积分的条件收敛、狄利克雷判别法等方法来对无穷积分的敛散性进行判别，我们详细地学习运用所学知识. 对于柯西判别法，在原来的基础之上我们又进行了推广，我们知道柯西极限判别法可以适用于被积函数为非负函数的无穷积分，对其敛散性的判别具有一定的意义，若不然，被积分项就很有可能会出现是负数的情况，对于被积函数是变号函数的无穷积分来说，很有可能出现条件收敛的无穷积分的情况，我们能够应用阿贝尔的判别法还有狄利克雷的判别法，来判别其是不是条件收敛的. 本文最后重点介绍了无穷积分的敛散性在物理学中的应用和在经济学中的应用. 我将采取一些研究方法来完成本次课题. 首先是资料文献研究法，收集有关无穷积分的敛散性判别方法及其应用的相关文献并仔细研究，以求更加全面的掌握无穷积分. 其次是跨学科研究法，无穷积分作为微积分的重要组成部分，不仅对微积分知识的补充和发展起到重大作用，对其他学科也有着深远影响，能让我们更加深层次体会无穷积分应用的广泛性. 最后是总结经验法，通过总结以前人们对无穷积分的研究及其经验，取其精华，使研究过程更加严密，更加顺利. 以上是本课题的主要研究方法，在研究过程中还会运用到定量分析法，调查法，定性分析法等等. 力求多种研究方法相辅相成以准确深入地研究无穷积分的敛散性的判别及其应用. 第1章 相关概念知识1.1 预备知识 我们在研究无穷积分的敛散性的知识概念和应用的相关问题时，首先，我们应该了解无穷积分的收敛与发散的有关概念，另外，我们要巧妙运用定义定理的知识，无穷积分的绝对收敛、无穷积分的收敛、无穷积分的条件收敛、无穷积分的发散等概念之间的关系，可以让我们更加熟悉应用去判别无穷积分的敛散性.下面我们对无穷积分敛散性的有关概念进行简要介绍. 1.2 无穷积分敛散性的概念 1.2.1 无穷积分收敛与发散下面我们给出定义下无穷积分的收敛与发散.定义1.14 如果函数在区间（或，）上有定义，那么符号（或，）我们把它叫做函数的无穷积分. 我们令，函数在上是可积的. 如果极限存在（或者不存在），那么我们叫做无穷积分是收敛的（是发散的），其极限我们把它叫做无穷积分（的值），我们也可以把它叫做广义可积, 即 我们令,函数在上是可积的，如果极限存在（或者不存在），那么我们叫做无穷积分是收敛的（是发散的），其极限我们把它叫做无穷积分（的值），即=如果, 现在有两个这样的无穷积分与他们都是收敛的（至少有一个是发散的），那么我们叫做无穷积分是收敛的（是发散的），且=+我们知道根据积分区间的可加性的这一个性质，我们容易证明上式的右端的实际值与实数c无关5. 我们可以为了计算方便，通常取.例1.1 求下列无穷积分的值： ； ； 解 = = =+=例1.2 判别无穷积分（a0）何时收敛，何时发散. 解 在的时候，有=在的时候，有 =+ 于是，我们知道，当的时候，无穷积分是收敛的，所以我们根据解题过程得出，无穷积分（的值）是 ；当时，无穷积分是发散的.我们可以清晰的看出在上面几道无穷积分的习题中，无论我们需要求出无穷积分的值还是需要判别无穷积分的敛散性，我们都应该首先求出相关的被积函数的原函数，然后我们再对其取极限. 显然我们知道，用这种方法只有在相关的被积函数存在着已知的初等函数的原函数, 这个前提条件下才是能够进行的. 假如这个相关的被积函数的原函数是很难求出的，或者它根本不是我们目前已知的初等函数，我们上面介绍的方法就不能使用下去了. 因此，我们需要更深层次的去研究我们应该怎样去判别无穷积分敛散性和怎么样求解无穷积分的值的方法.1.2.2 无穷积分与级数 上述三种形式的无穷积分:，它们之间是有联系的, 无穷积分的敛散性可归结为两个无穷积分与的敛散性. 对无穷积分进行换元设，有=于是，无穷积分与都可以总结归纳为形如的无穷积分，因此只需我们大家讨论关于无穷积分的敛散性就可以了. 形如的无穷积分的敛散性与形如的广义调和级数的敛散性比较如下： 表1-1 无穷积分与广义调和级数的敛散性比较示意表 收敛 收敛 发散 发散 我们看到，上述无穷积分与级数，对都收敛，对都发散. 我们都知道这不是一种漫无边际的巧合，这是因为无穷积分本身的性质与级数自身的性质之间有着紧密的联系.定理1.16 无穷积分收敛对任意数列，有 而 =，级数收敛于同一个数，然而=1.2.3 无穷积分的性质 性质1.1 假如与都是收敛的，为任意两个常数，那么 也是收敛的，然后 性质1.2 假如在任意一个有限区间上是可积的，那么与同敛态，然后有 其中右边第一项是定积分性质1.3 假如在任意一个有限区间上是可积的，然后是收敛的，那么一定也是收敛的，并有当收敛的时候，我们叫做是绝对收敛的性质1.3告诉我们：我们把叫做绝对收敛的无穷积分，它自身的无穷积分根据已知的判别方法我们可以知道它也一定是收敛的但是这句话的逆命题在通常的条件下是不能够成立的，所以我们把是收敛的广义积分但它不是绝对收敛的广义积分叫做条件收敛1.2.4 绝对收敛与条件收敛 定义1.2 假如无穷积分是收敛的，那么我们就叫无穷积分是绝对收敛的.定义1.3 假如无穷积分是收敛的，而是发散的，那么我们就叫无穷积分是条件收敛的. 第2章 敛散性的判别方法2.1 被积函数是非负的判别 2.1.1 定义判别法我们能够利用无穷积分定义的相关知识，得到如何去判别无穷积分收敛的一种手段，这是我们证明无穷积分收敛的一个思路非常清晰、简单并且非常常用的一种方法 例2.17 我们来判别广义积分何时收敛，何时发散解 因为在的时候，在的时候，所以我们有在的时候，上面无穷积分所求得的极限是，然而在的时候，上面无穷积分的极限所以我们有在的时候，上述无穷积分是收敛的，它的值是；并且在的时候，它是发散的，无穷积分发散于2.1.2 柯西准则 我们根据定义，无穷积分收敛或者发散，最根本是决定于函数在当的时候是否存在极限然后我们就能够运用函数极限所学的的柯西收敛准则的知识，相对照得到了关于无穷积分收敛的柯西收敛准则 定理2.18 现在我们给出无穷积分收敛的充分必要的条件是：任意的，假如存在，然后我们只要、我们就有所以我们知道，一定能够运用柯西收敛准则的这一充分性满足的条件，来求证得出无穷积分是收敛的还是发散的 我们在下面继续运用狄利克雷判别法判别无穷积分的时候，也用到了柯西收敛准则求解和判断广义积分是收敛的还是发散的2.1.3 比较判别法比较判别法是我们判断广义积分是否为绝对收敛的一种常用的方法因为无穷积分是随其上限是单调逐渐增加的，所以我们有是收敛的充分并且必要的条件是有一个上界它是属于实数范围内的我们能够在这样的条件下，得到下面的比较判别法：定理2.29 （比较法则）假如我们现在让定义在上的两个函数和都在实数上的任意有限区间上可积，并且这两个函数都符合：，那么在 是收敛的时候，是收敛的（或者，在发散的时候，一定也是发散的）例2.2 判别在什么时候收敛，在什么时候发散. 解 由于，并且无穷积分等于是收敛的，我们能够根据比较法则得出，广义积分是绝对收敛的我们现在也能够推理得到比较法则的极限形式：定理2.3 假如函数和在每一个有限区间上都是可积的，还有，然后有： 在的时候，和收敛发散是相同的； 在的时候，因为收敛能够知道也收敛； 在的时候,因为发散能够知道也发散在我们做题选用作为对比元素的时候，比较判别法（比较原则）及其下面的极限形式就是柯西判别法：我们令定义在，在实数上任何有限的区间上是可积的，那么那么有： 在的时候，无穷积分是收敛的； 在的时候，无穷积分是发散的例2.3 判别无穷积分在什么时候收敛，在什么时候发散解 在的时候，我们选，然后因为柯西判别法所以我们知道是收敛的在的时候，然后因为柯西判别法我们知道是发散的2.1.4 根值判别法 定理2.410 我们令是上的正函数，假如那么在的时候，无穷积分是收敛的；在的时候，无穷积分是发散的证明 我们让存在，任意的，那么是收敛的所以无穷积分是收敛的因为，我们令，存在，任意，那么然后是发散的，所以无穷积分是发散的例2.4 判别无穷积分的敛散性.解 我们令那么所以所以在的时候，无穷积分是收敛的；在的时候，无穷积分是发散的注记 我们可以把形式像的无穷积分总结它们常用的判别法是用进行判别，然而这道题目求它的极限是很不容易求得的！ 2.2 一般情况下的判别2.2.1 狄利克雷判别法定理2.511 （狄利克雷判别法）假使函数在上是有界的，函数在上, 且当的时候单调并且其极限趋于零，那么是收敛的证明 因为已知, 现在我们令任意的，因为，所以存在，在的时候，那么然后由于函数是单调的函数，我们能够运用积分第二积分中值定理，使每一个，存在，可以让所以得到 由于柯西准则，我们证明出了无穷积分是收敛的2.2.2 阿贝尔判别法 定理2.6 （阿贝尔判别法）假如收敛，在上单调并且是有界的，那么是收敛的例2.512 判别无穷积分在什么时候是收敛的，在什么时候是发散的解 在的时候，由于，但是无穷积分在的时候是收敛的，所以由比较判别法知道是收敛的而且是绝对收敛的在的时候，对于任意的，那么但是在的时候单调并且其极限趋于零（），然后由狄利克雷判别法我们知道在的时候它总是收敛的然而从其他的角度，因为，但是无穷积分符合狄利克雷判别法的判别条件，所以它是收敛的，但是无穷积分是发散的，那么在的时候所求无穷积分不是绝对收敛的那么我们就叫做这个无穷积分是条件收敛的在的时候，根据定义我们知道该无穷积分发散所以由于上面的论述我们知道，在的时候是绝对收敛的，的时候是条件收敛，在的时候是发散的2.2.3 对数判别法 定理2.713 假设函数在上是连续的，对任意的都可以使，然后，所以假如在的时候，那么无穷积分是收敛的；假如在的时候，那么无穷积分是发散的；假如在的时候，那么无穷积分是收敛的也可能是发散的，所以他的敛散性是无法判定的证明 由于所以任意的，存在，在的时候，那么所以我们能够运用比较判别法判别.在的时候，我们令，那么，因为，所以是收敛的；在的时候，我们令，那么，因为，所以是发散的；在的时候，我们观测无穷积分我们容易得到在的时候是收敛的，在的时候是发散的，然而对任意的我们可以使我们能够看到所以 那么在的时候，无穷积分可能是收敛的，也可能是发散的 同理我们能够证出：在的时候，那么无穷积分一定是收敛的这个定理给我们指导了一个新的判别方法，我们能够判别无穷积分是收敛的还是发散的我们本就能够运用洛必达法则来推出并得到以下的推论推论2.114 假如函数在上是连续的，使任意的都能够让，还有，所以在为定理内容中符合条件下的时候，我们能够很容易的判别有同样的论断是正确的证明 根据洛必达法则和题意给出能够知道所以推论的论断是十分正确的例2.6 判别无穷积分的敛散性解 已知函数在上是连续的，使任意的满足，所以然后，根据定理能够得到，无穷积分是收敛的.第3章 无穷积分的应用3.1 在物理学中的应用例3.1 发射火箭需要计算克服地球引力所做的功，设火箭的质量是，问将火箭垂直地向上发射到天空在距离地表面高度的时候，需要做多少功？并由此计算当火箭初速度不小于多少的时候，才能够让火箭脱离地球所控制的引力范围？解 取轴竖直向上，地球的半径设为，质量为，由万有引力定律，火箭所受地球的引力为 随着火箭发射的高度而变化，当火箭在地面上，即时，火箭所受的引力就是火箭的重力 代入上式，, 为了发射火箭必须克服地球引力，克服地球引力的与大小相等，下面用微元法来求变力做功,取为积分变量, 为了使火箭脱离地球引力范围，也就是说要把火箭发射到无穷远处，即所需做的功这些功是根据火箭燃料燃烧而释放的动能转化而来，假如火箭从地面离开时的初速度为，则动能为，所以为了让火箭脱离地球的引力范围，就要有代入上式得 我们可以根据这道实际的物理题，计算垂直发射质量为的宇宙飞船脱离地球的引力所做的功，需要计算一个定积分的上限无限增大的极限，也就是说计算无穷积分的值，这就是无穷积分在物理学中一个最真实最普遍的一个应用. 例3.2 现在我们把一个带有电量的点电荷放在轴上坐标原点处的位置上，我们知道它会产生一个自己的电场，这个新的电场对在它周围的电荷会产生作用力，我们还可以由物理学知道，假如将一个单位正电荷放在新产生的电场中距离原点为的位置的时候，那么我们知道这个新的电场对它产生的作用力大小为（这里是常数），现在我们把这个单位正的点电荷在电场中从的位置上沿轴移动到的位置上的时候，请试计算电场力对它所作的功为多少，到无穷远的位置呢？解 取为积分变量，取任一小区间，功微元，所求功为 如果我们要考虑把单位电荷从原点的位置上移动到无穷远处那么此时电场力对它所做的功是 3.2 在经济学中的应用 例3.315 已知一家企业由现在到未来的某时刻,每年以美元连续资金流量的累积现值为其中是现行的利率假设资金流量的情况是连续不断的在这个假设成立的前提下, 求在未来的无限时间周期上的累积现值是多少？解 例3.4 现在呼和浩特一家牛奶公司有一个的投资工程, 他们的投资成本的资金是(万元) , 投资的每年的年利率是, 每年年底的均匀收入率是(万元), 现在求该投资项目为无限期时的纯收入的贴现值(或我们把它叫做投资的资本价值) 解 由题设的已知条件我们能够看出，收入率是 (万元) , 年利率是, 所以无限期的投资的总收入的贴现为： 所以当我们的投资是没有期限的时候的纯收入贴现值是那么该项目为无限期时的纯收入的贴现值是（万元）.结 论本文主要研究了无穷积分的敛散性的一些判别方法及其实际运用.第一部分的内容是重点介绍了无穷积分敛散性相关的定义、概念、等知识，然后给出了收敛的无穷积分、发散的无穷积分、绝对收敛的无穷积分、条件收敛的无穷积分等概念知识. 叙述了在通常的情况下, 判别无穷积分敛散性的运用中比较简单的应用，为后文的主要内容起到了引领下文的作用.第二部分的内容是重点介绍了无穷积分敛散性的判别方法. 同时，还研究了无穷积分的一些常用性质并给予了证明. 本文总结了比较判别法判别无穷积分的敛散性，柯西判别法判别无穷积分的敛散性、柯西收敛准则判别无穷积分的敛散性,还有阿贝尔判别法判别无穷积分的条件收敛、狄利克雷判别法等方法来对无穷积分的敛散性进行判别，我们详细地学习运用所学知识. 对于柯西判别法，在原来的基础之上我们又进行了推广，我们知道柯西极限判别法可以适用于被积函数为非负函数的无穷积分，对其敛散性的判别具有一定的意义，若不然，被积分项就很有可能会出现是负数的情况，对于被积函数是变号函数的无穷积分来说，很有可能出现条件收敛的无穷积分的情况，我们能够应用阿贝尔的判别法还有狄利克雷的判别法，来判别其是不是条件收敛的. 然而，假如对变号的被积函数或者不定号的被积函数所形式的无穷积分来说，我们单单能判别出它不是绝对收敛，当我们实际运用的时候，我们需要对被积函数加上绝对值，这是我们需要重点注意的地方. 第三部分重点归纳了无穷积分敛散性的应用，主要是无穷积分敛散性在物理学中的应用，无穷积分的敛散性在经济学中的应用，无穷积分对社会的进步和数学的发展做出了突出的贡献. 无穷积分也发挥了重要作用.许多实际问题中都蕴含着无穷积分的知识和应用，所以说无穷积分的应用非常广泛. 纵观近代数学的发展，我们可以看出越来越多的人研究无穷积分. 无穷积分对解决实际问题起到了非常大的作用，所以无穷积分的敛散性的未来是无限光明的，会更好的被应用于生活之中.参考文献1 帕尔哈提阿里甫,阿布力米提阿布都热依木.利用函数计算含参变量无穷积 分的一种方法J.佳木斯大学学报:自然科学版,2017,(01):131-132. 2 玉璋.正函数无穷积分敛散性的一种判别法J.重庆科技学院学报,2008,(02):142-144. 3 Robust.H-inf