数学建模教案10库存.pdf

十 库存策略问题 对于经常需要消耗的物质 为了方便 我们会保留一定量的库存 这时面临 一种选择 如果库存量较大 那么采购成本 人工费 运输费 手续费等 减小 但库存费用 如库存场地费 人工费 储存容器折旧费等 增加 如果库存量较 小 那么采购成本会增加 但库存费用减小 如何设计一个合适的采购计划 使 总费用最小 这就是我们今天要研究的问题 例 1 某个幼儿园平均每个月要消费 48 千克饼干 已知饼干每千克 18 5 元 送货的劳务费每次 4 元 储存费 如保管人员的劳务费 场租费 水电费 冰箱 折旧费等 平均每千克每月 6 元 可按比例分割成更短的时间单位和重量单位计 算 如每千克储存半个月 3 元 储存 10 天为 2 元等 又如每 500 克储存一个月 3 元 储存 10 天为 1 元等 问一个月进货几次可使费用最省 分析 在这个问题中 先要弄清楚进货次数对于费用的影响 根据题意 总费用 购货款 送货劳务费 储存费 其中购货款元与进货次数无关 送货劳务费随着进货次数的增加 而增加 储存费随着进货次数的增加而减少 所以需建立 送货劳务费 和 储 存费 之和与进货次数的的函数关系 然后再求函数的最小值问题 其中送货劳 务费容易得到 而储存费的计算办法是个难点 因为库存量是变化的 一般来说 是非连续变化 88818 548 解 我们先研究储存费的计算办法 假设储存费按每单位时间每千克 c 元计算 如果 q 千克的货物在一个单位时间里均匀地出库 k 次 每次出库 k q 的货 那 么 每隔 1 k 个单位时间 库存量依次为 k 1 q k 2 qq q0 kkk 1 k 个单位时间内的储存费为每千克 c k 元计 可计算得储存费 c 2k 1 q k k c k q k c k 2 q k k c k 1 q k k c qd 其中 2k 1 q k 就是相应的累计储存量 也是库存量的函数图象与坐标轴所夹部分 的面积 见图 1 q 1O 图 1 当时 储存量的图像由折线逼近成了直线 它与坐标轴所夹的图形就 成了图 1 所示的三角形 面积为 k 2 q 于是可知在均匀消费的情况下 累计储存量 趋向于 2 q 因此可得储存费为c 2 q d 上述的讨论是在一个单位时间里 如果 q 千克的货物在 t 个单位时间里均匀 地消费完 那么同理可推得储存费 q t c 2 d 我们再回到原问题 设每个月进货 n 次 于是每次进 n 48 千克 n 1 个月消费完 n 1 个月中累计储 存量为 2 2n 48 储存费为 22 n 144 6 2n 48 一个月的储存费为 n 144 n n 144 2 送货劳 务费为 4n 元 于是与进货次数 n 有关的费用 n 144 4nE 当 n 144 4n 即时 E 有最小值 6n 由此可得 每个月进 6 次货 即每 5 天送 8 千克饼干 可使费用最省 例 2 某食品进出口公司根据市场预测可知 明年需进口食糖 285 吨 其中 第一 二 三 四季度的需求量依次是 50 70 125 40 吨 假设在每个季度中 市场需求量是均匀的 已知该食糖的购入价为 1 千元 吨 售出价为 1 5 千元 吨 运输费为 0 3 千元 吨 每次办理订货进口的手续费 0 5 千元 进口的食糖在售出 之前的库存费按 0 04 千元 吨季度 计算 试设计一个合理的进货计划 使费用 尽量小 解 设第 i 季度的进口总量为 进口次数为 i Q 4321ni 在本题中 与进口次数有关的费用有两项 手续费和库存费 其中手续费为 库存费为 i 0 5n i i i i n 0 02Q 0 04 2n Q 于是建立有关费用与进口次数的函数关系 i i i n 0 02Q 0 5nE 当 i i i n 0 02Q 0 5n 即 ii Q0 2n 时 E有最小值 根据各季度不同的进货 量可得如下结果 进口次数 n 季度 进口量 Q 精确值 讨论值 确定值 第一季度 50 2 n 1 时 E 1 5 n 2 时 E 1 5 n 1 第二季度 70 2 8 n 1 时 E 1 9 n 2 时 E 1 7 n 2 第三季度 125 5 n 2 时 E 2 25 n 3 时 E 2 33 n 2 第四季度 40 1 6 n 1 时 E 1 3 n 2 时 E 1 4 n 1 即第一 二 三 四季度的进口次数分别为1 2 2 1 讨论 我们注意到 上述解题过程是在每次进货量相等的假设下 即n次进 货的量都是 n Q 那么要问 在n次进货的量不全相等的情况下 是否会出现费 用更省的情况呢 假设n次进货的量依次是 且 由于进货的次数n相同 所以等量进货和不等量进货的手续费都是0 5n 又由于 储存费单价0 04是确定的 所以储存费用大小只与累计储存量有关 1 a 1 a 在等量进货的情况下 累计储存量为 2n Q 在不等量进货的情况下 由于是 均匀消费 所以消费的速度是个定量 即的进货量将在 i a Q ai 时间内消费完 于 是累计储存量为 aa a 2Q 1 Q a Q a a Q a a 2 1 2 n 2 2 2 1 n1 1 1 1 an Q an Q a1 a2 a1 Qa2 Q 1 O 由于 2 n21 2 n 2 2 2 1 n aaa n aa a 可用数学归纳法证明 所以 比较两个累计储存量 2n Q n aaa 2Q n aa a 2Q 1 2 n21 2 n 2 2 2 1 可知等量进货可使费用最省 练习 1 永丰家具厂每年需要用玻璃 5000 平方米 已知玻璃的购买价为每平方米 45 元 每购买一次玻璃 无论数量多少 需要支付手续费和运输费等 5000 元 没用完的玻璃放在仓库里的储存费为每平方米每天 0 05 元 问永丰家具厂每年 分几次购买玻璃可使费用最省 解 假设在一年之中 玻璃的消耗量是均匀 且每次的购买量是相等的 设每年分 n 次购买 则每次的购买量为 5000 n 平方米 可用 365 n 天 这期间 的储存费约为 1 5000 365 0 05 2nn 元 要使总的费用最省 只要求 1 5000 365 C 0 05 n 5000n 2nn 的最小值 因为 91250 C 5000n2 91250 2500 2n 当且仅当 91250 5000n 2n 即n3 时 C 接近于最小值 所以永丰家具厂每年分 3 次购买玻璃可使费用最省 2 一鞋店每天卖出鞋110双 批发手续费每次200元 每双鞋一天的保管 费0 01元 问该店多少天批发一次好 解 设n天进一次货费用最省 进货数110n双 n天销售完 手续费200元 保管费 1 1100