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空间向量中的距离问题 1 两点之间的距离 2 点线距离 a b o 3 点面距离 a b o 4 线面距离 a 5 面面距离 a 转化为点面距离 转化为点面距离 如图所示 在平行四边形abcd中 ab ac 1 acd 90 将它沿对角线ac折起 使ab与cd成60 角 求b d间的距离 题后感悟 求空间中两点间距离的主要方法 1 建立空间直角坐标系 求出两点的坐标 代入两点间距离公式求解 2 将以两点为端点的向量用基向量表示 再求此向量 例2 已知正方形abcd的边长为1 pd 平面abcd 且pd 1 e f分别为ab bc的中点 1 求点d到平面pef的距离 2 求直线ac到平面pef的距离 解析 1 建立以d为坐标原点 da dc dp分别为x轴 y轴 z轴的空间直角坐标系 如图所示 拓展提高 如图 已知abcd是矩形 ab a ad b pa 平面abcd pa 2c q是pa的中点求 1 q到bd的距离 2 p到平面bqd的距离 解 1 在矩形abcd中 作ae bd e为垂足连结qe qa 平面abcd 由三垂线定理得qe be qe的长为q到bd的距离在矩形abcd中 ab a ad b ae 在rt qae中 qa pa c qe q到bd距离为 2 平面bqd经过线段pa的中点 p到平面bqd的距离等于a到平面bqd的距离在 aqe中 作ah qe h为垂足 bd ae bd qe bd 平面aqe bd ah ah 平面bqe 即ah为a到平面bqd的距离 在rt aqe中 aq c ae ah p到平面bd的距离为 解法二 设点a到平面qbd的距离为h 由va bqd vq abd 得 s bqd h s abd aq h
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