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概 率 论 作 业 本姓名： 任课教师： 专业： 班级： 学号： 黑龙江八一农垦大学文理学院数学系第一章 随机事件与概率1、设为已知事件，用表示以下事件:(1) (2) 都不发生(3)至少有一个发生 (4) 恰有一个发生(5) 至多有一个发生 （6）至少有两个发生2、设有一批产品共有100件，其中95件合格品，5件次品。从中任取10件，试求：（1）样本空间所含基本事件个数。（2）设 所含基本事件个数。（3）设所含基本事件个数。3、把10本书任意地放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率。4、一盒中装有60个零件。其中甲厂生产的占，乙厂生产的占。现随机地从盒中取 个，求其中恰有一支是甲厂生产的概率。5、一份试卷上有6道试题。某位学生在解答时，由于粗心随机地犯了4处不同的错误。试求：（1）这4处错误发生在最后一道题上的概率。（2）这4处错误发生在不同题上的概率。（3）至少有3道题全对的概率。6、将数字写在张卡片上。任意取出三张排成三位数，则这三位数是奇数的概率。7、将个小球随机地投入个盒内，求有空盒的概率和没有空盒的概率。8、将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率各是多少？9、，试求。10、，。求。11、某射手在三次射击中至少命中一次的概率为，试求该射手在一次射击中命中的概率。12、五名篮球运动员独立地投篮，每个运动员投篮的命中率都是。他们各投一次。试求：（1）恰有次命中的概率。（2）至少有次命中的概率。（3）至多有次命中的概率。13、甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹，他们命中敌机的概率都是。飞机被击中弹而坠毁的概率为，被击中弹而坠毁的概率为，被击中弹必定坠毁。（1）试求飞机坠毁的概率。（2）已知飞机坠毁，试求它在坠毁前只命中弹的概率。14、已知甲袋中装有只红球，只白球；乙袋中装有只白球。试求下列事件的概率：（1）合并两只口袋，从中随机地取一只球，该球是红球。（2）随机地取一只口袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球。（3）从甲袋中随机地取出一只球放入乙袋，再从乙袋中随机地取出一只球，该球是红球。15、一个盒子装有只乒乓球，其中只是新球。第一次比赛时随机地从盒子中取出只乒乓球，使用后放回盒子，第二次比赛时又随机地从盒子中取出只乒乓球。（1）试求第二次取出的球全是新球的概率。（2）已知第二次取出的球全是新球，试求第一次比赛时取的球恰含一个新球的概率。第一章 基础知识自测题一、判断题：1、 设为任意两事件，若互不相容，则也互不相容。 （ ）2、 在一次试验中，概率大的事件一定发生。 （ ）3、 概率为零的事件为不可能事件。 （ ）4、 若两个随机事件互不相容，则它们必然相互独立。 （ ）5、 设事件互不相容，且则。 （ ）二、填空题：1、 若事件满足且则 。2、10个球中有两个一等品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出一等品的概率为 ；则第二次才抽出一等品的概率为 ；已知第一次取到一等品，则第二次也取到一等品的概率为 。3、事件在一次试验中出现的概率为，若在三次重复独立试验中至少出现一次的概率为，则 。4、事件独立， 则中至少有一个不发生的概率为 。5、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被击中，则它是甲射中的概率为 。6、设是两个事件，当不相容时 ，当相互独立时 。7、为三个事件， 则 。8、一枚硬币连掷三次，则有正面出现的概率为 ；已知有正面出现，求也有反面出现的概率为 。三、选择题：1. A、B是两个事件，下列式子正确的是（ ）。 （A） （B） （C） （D）2. 设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。 （A）与不相容 （B）与相容 （C） （D）3. 设A, B为两个任意事件，且,，则下列选项必成立的是（ ）。 （A） （B） （C） （D）4. 当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是（ ）。 （A） （B） （C） （D）5. 向单位圆内中随机地投下3点，则这3点恰有2点落入第一象限的概率为（ ）。 （A） （B） （C） （D）6. 每次实验成功概率为，进行重复试验，到第10次试验才取得4次成功的概率为（ ）。 （A） （B） （C） （D）第二章 随机变量及其分布1、一个表面涂有红色的立方体等分成1000个小立方体。从这些小立方体中随机取一个，记他的有个面涂有红色。试求的分布律。2、随机变量的分布律为-2 -1 0 1 2 40.2 0.1 0.3 0.1 0.2 0.1试求关于的一元二次方程有实数根的概率。3、 设随机变量，已知。试求与的值。4、在一次试验中事件发生的概率为，把这个试验独立重复地做两次。在下列两种情形下分别求的值：(1)已知事件至多发生一次的概率与事件至少发生一次的概率相等；(2)已知事件至多发生一次的条件下事件至少发生一次的概率为1/2。5、某地有3000个人参加了人寿保险，每人交纳保险金10元，一年内死亡时家属可以从保险公司领取2000元。假定该地一年内人口死亡率为0.1%，且死亡是相互独立的。试求保险公司一年内赢利不少于10000元的概率。6、已知随机变量的分布函数为a) 当取何值时为连续函数？b) 当连续时，试求；c) 当是连续型随机变量时，试求的密度函数。7、设随机变量的密度函数为，（1）试确定常数的值；（2）并由此求出；（3）求随机变量的分布函数。8、（柯西分布）设随机变量的分布函数为。试求（1）常数和；（2）概率；（3）的密度函数。9、设连续型随机变量的密度函数为，试求：（1）常数；（2）落在的概率；（3）的分布函数。10、设随机变量。试求、与。11、设某种晶体管的寿命（单位：小时）是一个随机变量，它的密度函数为 （1）试求该种晶体管不能工作150小时的概率；（2）一台仪器中装有4只此种晶体管，试求该种晶体管工作150小时后至少有1只失效的概率。假定这4只晶体管是否失效是互不影响的。12、设某建筑物的使用寿命（单位：年）服从正态分布。（1）试求它能被使用60年的概率；（2）已知这幢建筑物已经使用了30年，试求它还能被使用30年的概率。13、设离散型随机变量的分布律为-2 -1 0 1 30.2 0.1 0.3 0.1 0.3试求下列随机变量的分布律：（1）；（2）。14、设随机变量，试求的密度函数。15、设随机变量，试求的密度函数与分布函数。第二章 基础知识自测题一、 判断题：1、设是随机变量的分布函数，则有。 （ ）2、设是任意一个随机变量，则有。 （ ）3、设是一个随机变量，是常数，则。 （ ）4、设，则。 （ ）5、设，则的分布函数为。 （ ）二、填空题：、设的分布律为/则，。、一袋中装有只球，编号为，在袋中同时取只，以表示取出的只球中的最大号码，写出的分布律：。3、 已知随机变量的密度为, 且,则_ ，_。4、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是求（）（至多分钟）；（）（至少分钟）； （）（恰好.分钟）。5、已知随机变量的概率密度为 ，则= 。三、选择题：1. 设离散型随机变量的分布律为，且，则为（ ）。 （A） （B）是大于零的实数 （C） （D）2. 下列函数可以作为某一随机变量的概率密度的是（ ）。 （A） （B） （C） （D）3. 设随机函数服从（0，5）上的均匀分布，则关于t的方程有实根的概率为（ ）。 （A） （B） （C）1 （D）4. 若随机变量N（0，1），分布函数是，且，则x =（ ）。 （A） （B） （C） （D）5. 设,那么当增大时，（ ）。 （A）增大 （B）减少 （C）不变 （D）增减不定第三章 二维随机变量及其分布1、把一颗骰子独立地上抛两次，设表示第一次出现的点数，表示两次出现点数的最大值。试求：(1)与的联合分布律；(2);(3);(4),的边缘分布律。2、与独立同分布，它们都服从0-1分布。试求与的联合分布律。3、两名水平相当的棋手弈棋三盘。设表示某名棋手获胜的盘数，表示他输赢盘数之差的绝对值。假定没有和棋，且每盘棋的结果是相互独立的。试求：(1) 与的联合分布律； （2）,的边缘分布律。4、 一个箱子中装有100件同类产品，其中一、二、三等品分别有70,20,10件。现从中随机地抽取一件。记试求：（1）的联合分布律；（2）的边缘分布律； 2 1 1 120.2 0 0.1 0.2 0 0.2 0.1 0.2 5、设随机变量的分布律为试求：（1）与的边缘分布律；（2）；（3）与是否相互独立，请说明理由。（4）；（5）的分布律。6、已知随机变量与的联合分布律为 1 2 3 1 20.05 0.08 0.120.15 试问，当，取何值时与相互独立？7、设的联合密度函数为。试求：（1）常数的值；（2）；(3) 与的边缘概率密度函数；(4) 与是否相互独立？8、设二元随机变量的联合密度函数为：，试求：（1）的边缘密度函数；（2）；（3）；（4）。9、设与的联合概率密度函数为，(1) 与相独立吗？(2) 试求。第三章 基础知识自测题一、 判断题：1、连续型随机变量的分布函数一定是连续函数。 （ ）2、二维连续随机变量的两个边缘密度函数完全可以决定它的联合密度函数。 （ ）3、若随机变量和独立同分布，则。 （ ）4、多维随机变量联合分布决定边缘分布,但是边缘分布不一定决定联合分布。 （ ）二、填空题：1、设二维离散型随机变量的联合概率分布律如下： 1231/2/问，时，相互独立。2、设平面区域由曲线及直线，所围成，二维随机变量在区域上服从均匀分布，则关于的边缘概率密度在处的值为 。3、设与独立同分布，且，则 。三、选择题：1. 设随机变量XN（），YN（），记，则（ ）。 （A） （B） （C） （D）2. 设随机变量（X，Y）的密度函数为，则概率为（ ）。 （A）0.5 （B）0.3 （C） （D）0.43. 设随机变量X与Y相互独立，其概率分布为, ，则下列式子正确的是（ ）。（A） （B） （C） （D）4. 设二维随机变量的联合概率密度为，则A =（ ）。 （A） （B）3 （C）2 （D）5. 设与分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数位中应取（ ）。 （A） （B） （C） （D）第四章 随机变量的数字特征1、一批零件中有9个合格品及3个废品，安装机器时从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望，方差及均方差。2、一台试验仪器中有三个元件，各元件发生故障是相互独立的，其概率分别为0.2,0.3,0.4。求发生故障的元件数的数学期望，方差及均方差。3、把4只球随机地投入4个盒子中去，设随机变量表示空盒子的个数，求的期望和方差。4、某人有把钥匙，其中只有一把钥匙能开他家的门，开门时任取一把试开，试过的不再重试，直至把门打开为止，求试开次数的数学期望及方差。5、设随机变量服从辛普生分布，其概率密度为， 求的期望和方差。6、对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间内，求球体积的数学期望。7、设随机变量的联合概率密度为 ， 求。8、设随机变量的概率密度为 ，求。10、设随机变量的概率分布为 -101 -11/81/81/801/801/811/81/81/8验证：和不相关，但和不独立。第四章 基础知识自测题一、判断题：1、若随机变量和不相关，则和必独立。（ ）2、若随机变量和的协方差，则。（ ）3、设,则当变小时，的值不变。（ ）4、设，是两个随机事件，且有，引入随机变量，则（），互不相容； （ ） （），相互独立； （ ）（），相互独立； （ ） （），不相关； （ ）（）； （ ） （） （ ）二、填空题：1、设的均值、方差都存在，且，并且，则 ， 。2、设和是两个相互独立的随机变量，则和的联合概率密度为。3、设，则 时，。4、设两个相互独立的随机变量和的方差分别为2和3，则随机变量的方差是 。5、设，则 。6、设，且相互独立，则 。三、选择题：1. 设随机变量XN（0,1），则Y服从（ ）。 （A）N（1, 4） （B）N（0, 1） （C）N（1, 1） （D）N（1, 2）2. 设X是一随机变量，则对任意常数C必有（ ）。 （A） （B） （C） （D）3. 设随机变量服从指数分布，参数（ ）时，。 （A）3 （B）6 （C） （D）4. 设随机变量X与Y相互独立，且XN，YN，则仍具正态分布且有（ ）。 （A）ZN （B）ZN （C）ZN （D）ZN5. 设X，Y为两个随机变量，已知，则必有（ ）。 （A）X与Y相互独立 （B）（C） （D）以上都不对6. 对于任意两个随机变量X和Y，若，则（ ）。 （A） （B） （C）X和Y独立 （D）X和Y不独立7. 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则是X和Y（ ）。 （A）不相关的充分条件，但不是必要条件 （B）独立的必要条件，但不是充分条件 （C）不相关的必要条件，但不是充分条件 （D）独立的充分必要条件四、设随机变量的概率密度为，求和的相关系数。第五章 随机变量序列的极限1、设是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为的泊松分布，记的近似值。2、据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为小时的指数分布，现随机地取只，设它们的寿命是相互独立的，求这只元件的寿命的总和大于小时的概率。3、 一部元件包括部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为毫米，均方差为毫米，规定总长度为毫米时产品合格，试求产品合格的概率。4、 设各零件的重量都是随机变量它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为，均方差为，问只零件的总重量超过的概率是多少。概率论综合自测题（一）一、判断题 1、若两个随机变量不相容，则它们必然相互独立。 ( )2、在一次试验中，概率为零的事件一定不发生。 ( )3、设是任意一个随机变量，则有。 ( ) 4、二维随机变量的两个边缘分布函数可以决定它的联合分布函数。 ( ) 5、两个随机变量、不相关的充要条件是和相互独立。 ( )二、选择题1、设为两个互斥事件，且则下列结论正确的是（ ）。 2、常数=（ ）时，为离散型随机变量的概率分布律。 1 2 0.5 3 3、已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数 的值为（ ）。 4、已知随机变量，则服从（ ）。 5、设两个相互独立的随机变量和的方差分别为2和3，则随机变量的方差是（ ）。 40 62 -3 36三、填空题1、设事件相互独立则 ， 。2、事件在一次试验中出现的概率为，若在三次重复独立试验中至少出现一次的概率为，则 。3、给定的分布律为，则的分布律为 。4、设随机变量的概率密度为，则= 。5、设随机变量服从1，3上的均匀分布，则 。6、设随机变量,且，则 。7、设与独立同分布，且，则 。8、随机变量，且与独立，设，则 ， 。四、设随机变量，试求的密度函数。五、一个盒子装有6只乒乓球，其中4只是新球。第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球，使用后放回盒子，第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球。（1）试求第二次取出的球全是新球的概率。（2）已知第二次取出的球全是新球，试求第一次比赛时取的球恰含一个新球的概率。六、设随机变量的密度函数为 求：（1）常数的值；（2）；（3）。七、设与的联合概率密度函数为 试求：（1）常数；（2）与的边缘概率密度；（3）与是否相互独立，说明理由。概率论综合自测题（二）一、判断题 1、若随机事件的频率为，则。 ( ) 2、三个事件如果两两独立，则称三个事件相互独立。 ( ) 3、设，则当变小时，的值不变。 ( ) 4、连续型随机变量的分布函数一定是连续函数。 ( ) 5、若，则与相互独立的充要条件是。( )二