【拿高分 选好题】（新课程）高中数学二轮复习 第一部分 18个必考问题 专项突破《必考问题10 基本不等式及其应用》热点命题 苏教版.doc

必考问题10基本不等式及其应用【真题体验】1(2011江苏，8)在平面直角坐标系xoy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于p，q两点，则线段pq长的最小值是_解析设过坐标原点的一条直线方程为ykx，因为与函数f(x)的图象交于p，q两点，所以k0，且联立解得p，q，所以|pq| 4.答案42(2011浙江文，16)若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值为_解析由x2y2xy1，得(xy)2xy1，即xy(xy)21，所以(xy)21，故xy，当xy时“”成立，所以xy的最大值为.答案3(2011南京模拟)若不等式4x29x22kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为_解析由4x29x22kxy(x0，y0)，得2k.因为2 12，所以2k12，又kz，所以k3，即kmax3.答案34(2012泰州中学调研)已知a，b，c是平面上任意三点，bca，cab，abc，则y的最小值是_解析y要最小，则a要最大，而a的最大值是bc，所以y，即最小值是.答案5(2012扬州中学检测)已知x，y，zr，且xyz1，x2y2z23，则xyz的最大值是_解析由题意可得xy1z，x2y23z20z，所以2xy(1z)2(3z2)2z22z2，由基本不等式可得2xyx2y2，即2z22z23z21z，故xyz(z2z1)zz3z2z，(z3z2z)3z22z1(3z1)(z1)，所以z，导数大于等于0，原函数递增；z，导数小于等于0，原函数递减；z，导数大于等于0，原函数递增，且z时，xyz的值是，z时，xyz的值是，故最大值是.答案【高考定位】高考对本内容的考查主要有：基本不等式是c级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题【应对策略】掌握高考对基本不等式的考查的常见题型，主要从三个方面考查：一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等；三是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式解决掌握利用基本不等式求最值时，要满足三个条件：“一正”、“二定”、“三相等”，而且求解时要逐一检验.必备知识1基本不等式两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数即若a，b0，则(当且仅当ab时取等号)基本变形：(1)ab2；2ab；(2)若a，br，则a2b22ab，2.2基本应用(1)已知a0，b0，则当abp(常数)，则ab2，当且仅当ab时，ab取得最小值2；(2)当abs(常数)，则ab，当且仅当ab时，ab取得最大值；必备方法1利用基本不等式时，要注意“正、定、等”三要素，“正”，即x，y都是正数；“定”，即不等式另一边为定值；“等”，即当且仅当xy时取等号2利用基本不等式时，要注意“积定和最大，和定积最小”这一口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧，但应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号成立的条件是否同时成立命题角度一利用基本不等式求最值命题要点 应用基本不等式求和的最小值或积的最大值；构造基本不等式满足的条件求最值【例1】 (2012扬州中学检测)已知：xy0，且xy1，若x2y2a(xy)恒成立，则实数a的取值范围是_审题视点 听课记录审题视点 此题为不等式恒成立问题，先根据分离参数法转化为函数的最值问题，再利用基本不等式求最值解析因为xy0，所以x2y2a(xy)恒成立即为amin，而xy1，所以(xy)2，当且仅当时，min2，故a2.答案a2 基本不等式在求函数最值时，具有重要应用，要注意构造应用基本不等式求最值的条件，同时要特别注意基本不等式应用的条件是否具备，特别是等号能否取到，而且还要在条件不满足的情况下能够求解或者转化，如等号取不到时，要借助函数图象，利用函数单调性求解最值等【突破训练1】 (2012徐州考前信息卷)已知正数x，y满足：1，则xy的最小值为_解析根据“1”的代换，利用基本不等式求解因为xyx(y2)2x(y2)2222，当且仅当，且1即xy1时，等号成立，故xy的最小值为22.答案22命题角度二基本不等式在实际问题中的应用命题要点 构造函数模型，利用基本不等式求实际问题中的最值问题【例2】 (2012苏州调研)如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域abcd，在点a处有一个可转动的探照灯，其照射角paq始终为45(其中点p，q分别在边bc，cd上)，设pab，tan t.(1)用t表示出pq的长度，并探求cpq的周长l是否为定值(2)问探照灯照射在正方形abcd内部区域的面积s至少为多少(平方百米)?审题视点 听课记录审题视点 将实际问题转化为数学问题，再用数学知识求最值解(1)bpt，cp1t,0t1.daq45，dqtan(45)，cq1.pq lcpcqpq1t1t1t2，周长l为定值(2)ss正方形abcdsabpsadq122，当且仅当t1时，取等号所以探照灯照射在正方形abcd内部区域的面积s至少为2(平方百米) 实际应用题的解题步骤一般分为两步，第一步将实际问题转化为数学问题，第二步求最值，最值问题的求解一般有基本不等式法和导数法，应用基本不等式求最值时一定要注意检验条件是否具备【突破训练2】 (2012泰州中学调研)某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x(xn*,80x100)件之间的关系如下表所示：日产量x808182x9899100次品率pp(x)其中p(x)(a为常数)已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元(k为给定常数)(1)求出a，并将该厂的日盈利额y(元)表示为日产量x(件)的函数；(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？解(1)根据列表数据可得a108，p(x)(80x100，xn*)由题意，当日产量为x时，次品数为x，正品数为x，yxkxk.整理，得ykx(80x100，xn*)(2)令108xt，t8,28，tn*.yk(108t)kkk.当且仅当t，即t12时取得最大盈利此时x96.所以，ykx(80x100，xn*)为获取最大盈利，该工厂的日生产量应定为96件命题角度三基本不等式与其他知识的综合应用命题要点 基本不等式与函数、方程的综合；基本不等式与解三角形综合；基本不等式与解析几何等其它知识的综合应用【例3】 已知函数f(x)(x0)(1)判断f(x)在(0，)上的增减性，并证明你的结论；(2)解关于x的不等式f(x)0；(3)若f(x)2x0在(0，)上恒成立，求a的取值范围审题视点 听课记录审题视点 (1)利用定义判断函数的单调性；(2)利用分类讨论的方法解含参数的不等式；(3)利用分离参数的方法解不等式恒成立问题解(1)任取x1，x2(0，)，且x1x2.则f(x1)f(x2).因为x1x2，x1，x2(0，)所以x2x10，从而0.所以得到f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故f(x)在(0，)上单调递减(2)由0(x0)即0.当a0时，解得0x2a.当a0时，解得x0.综上，当a0时，不等式的解集为x|0x2a，当a0时，不等式的解集为x|x0(3)f(x)2x0(x0)，即2x.要满足此不等式恒成立只需min大于或等于即可，而2x24，当且仅当x1时取等号所以4，解得a0或a. 以函数、方程、解三角形、解析几何等知识为载体考查基本不等式求最值，是本部分中常见题型，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件【突破训练3】 (2012南通、泰州、扬州调研)已知圆心角为120的扇形aob的半径为1，c为的中点，点d，e分别在半径oa，ob上若cd2ce2de2，则odoe的最大值是_解析在cod中，由余弦定理得cd21od2od，同理在eoc、doe中，由余弦定理分别得ce21oe2oe，de2oe2od2odoe，代入cd2ce2de2整理得2(odoe)2(oeod)3odoe，由基本不等式得3odoe，所以2(odoe)2(oeod)，解得0odoe，即odoe的最大值是.答案10基本不等式求最值的三个条件要逐一检验，不能遗漏一、两次应用基本不等式时要检验两次等号能否同时取到【例1】 若点(1，2)在直线axby20(a0，b0)上，则的最小值为_解析因为点(1，2)在直线axby20(a0，b0)上，所以a2b20(a0，b0)，即b1(a0，b0)，所以2，当且仅当，即a22，b2时取等号，即的最小值为.答案老师叮咛：一般地，不宜同时应用两次基本不等式，原因是两次应用基本不等式时，容易遗忘两次的等号能否同时成立，事实上，两次等号成立的条件不同，即最后的等号取不到.如本题容易出现下面的错误解法：因为a2b20(a0，b0)，所以a2b22(a0，b0)，即ab，所以22，即的最小值为2，因为两次等号不能同时成立，故2取不到.二、要有应用基本不等式求中间变量范围的意识【例2】 已知二次函数f(x)ax2xc(xr)的值域为0，)，则的最小值为