哈工大概率论小论文-用混沌理论分析确定论与概率论的关系

用混沌理论分析确定论与概率论的关系摘要通过对保守系统混沌运动的分析,试图说明混沌理论如何架起确定论与概率论由此及彼的桥梁,并揭示了传统观念中确定论与概率论的对立是基于两种形而上学的信念.自然界本质上是辩证统一的,确定论和概率论是对客观实在的互补描述.引言确定性与随机性、决定论与概率论,或者说必然性与偶然性的关系一直是科学和哲学争论不休的问题.混沌理论的产生,继量子力学之后又一次将这一问题的讨论推向高潮,人们相信,通过混沌理论可以架起确定论和概率论由此及彼的桥梁.然而两者如何沟通,详细论述甚少,而且认为两者的对立是源于无限过程的理想化极限的观点仍没有超出历史上玻尔兹曼的思想.下面我们通过对保守系统混沌运动的分析,试图对这一问题进行探讨,并说明传统确定论与概率论的对立是基于两种形而上学的信念,自然界本质上是辩证统一的,确定论与概率论是对客观实在的互补描述.1传统观念中的确定论与概率论在物理学中存在两种类型的规律:一类是以牛顿力学为代表,它能够给出事件实现与否的准确预言,人们称之为力学决定论规律或力学因果性规律;另一类是由量子力学和经典物理学中的统计决定论规律或统计因果性规律,对于事件的实现与否,它只能以确定的概率加以预言.这两类自然界的规律,或者说这两类规律对于自然界的描述,究竟何者为根本?这个问题是长期以来在哲学的自然观层次上进行争论的核心问题.从一定意义上说,力学规律性和统计规律性是两套基本精神相反的描述.长期以来,人们对于物理学规律的认识,受到力学决定论的深刻影响,形成了根深蒂固的力学规律观.不少人认为(如著名的玻耳兹曼H定理所描述的)动力学规律是自然界的基本规律,统计规律只是对事物的因果联系不够了解的一种近似,或者说是大量遵循统计规律的粒子的统计平均,统计学规律可以还原为动力学的规律.对于确定性方一程来说,随机性是一种外在的干扰,是一种涨落和噪音.确定性方程得出确定性结果;随机性方程则得出统计性结论.这表明确定性和随机性、必然性和偶然性的关系是外在的、并列的.所以统计决定论是以一种权益的方法进人物理学.统计力学没有驳倒拉普拉兹决定论、而是将它作为客观世界的真实反映,这是科学所永远追求的理想.量子力学的产生,由于测不准关系,微观客体在某时刻不能同时具有坐标和动量的准确值.这种情况下用坐标和动量来确定微观体系的状态,在原则上是没有意义的,所以必须用波函数甲来描述.由于波函数具有统计意义的内容,即波函数的模量平方!洲给出粒子在时刻T位置R出现的几率,微观粒子应遵从统计规律性.因此,在量子力学时代,人们相信微观粒子的运动规律本质上是统计性的,正如A凯斯特勒所说的“我们已经听到诺贝尔物理学奖获得者的全部合唱,告诉我们物质死去了,因果性死去了,决定论死去了”.玻耳兹曼也认为因果性概念已不敷应用,必须用互补性概念这一“更加宽广的思维框架”来代替它,因而我们说量子力学的产生在一定程度上加剧了确定论和概率论的分离,从一个极端走向另一个极端.混沌理论的产生才真正架起了两者互相沟通的桥梁.下面我将通过对混沌理论的分析来说明这一问题.2保守系统中的混沌运动混沌理论是从上个世纪萌芽、近几年迅速发展并广泛渗透到许多学科的一门理论,它不仅揭示了牛顿力学在解决复杂系统时的困难,而且彻底破碎了拉普拉兹机械决定论的梦幻,所以,有学者:认为:混沌理论己成为继相对论和量子力学以来的第三次革命,而且可望在经典力学基础方面及哲学上带来深刻的后果.混沌理论的产生和发展,基本上是沿着两条路线展开的,实质上反映了混沌的两个层次:第一,关于保守系统中的混沌运动,即哈米顿函数不显含时问,在时问演化中遵从刘维定理的可积系统,当其变得足够复杂时,会不会有随机性和统计描述的必要,甚至出现不可逆性?这是确定论的牛顿力学方程的内随机性问题,即混沌的微观层次;第二,耗散系统中的混沌现象,即描述运动流体、化学反应介质的带有耗散项的非线性宏观方程,它们本身是纯确定论的,但其解在长时间范围内呈现出很混乱的需要统计描述的运动状态,这是混沌的宏观层次.本文将通过对保守系统中混沌运动的分析,试图说明混沌理论如何架起确定论和概率论由此及彼的桥梁.早在上一个世纪,彭加勒在对天体力学“二体问题”的研究中就指出:对于满足共振条件的力学系统,“不存在能量以外的其他解析运动积分”.3,在牛顿确定论决定的时代,彭加勒已敏感地意识到:“忽略一个很小的原因造成了人们不能看到的相当大的影响,于是我们说这种影响是因为偶然性,如果精确地知道自然规律和宇宙在初始时刻的状态,但即使自然规律对我们已不再神秘,我们也还只是能近似地知道初始状态,如果这能使我们以同样的近似性预言后继的状态,这就是我们所需要的一切.我们应当说现象已被预测了,它是为规律所支配的.但这并非总是如此,初始条件的微小差别,前面的微小误差,会引起后果的巨大误差“预言成为不可能,我们有的是不规则现象”.本世纪以来,人们理论上认识和接受了不可积力学系统的存在.但是,由于牛顿力学在描述观测和准确预言观测上的巨大成功,使大多数人几乎忘了彭加勒的忠告.混沌理论研究表明:对于自由度大于2的不可积系统几乎都会出现混沌现象如考虑一个系统H=0H(I,)I+“V,OH是未受扰动(V二0)时的保守可积系统,在此情况下,系统的运动轨迹是周期的,其N个运动积分绕成一个N维环面,系统的运动就限制在N维环面上.近可积系统KAM定理稠指出,在具有很小的扰动(即相互作用)系统中,存在两类本质不同的轨道:一类是受相互作用影响很小的稳定轨道,其仍保持着KAM环面,只是有某种程度的变形;另一类是在相互作用下能发生重大变化的不稳定轨道,但当V很小时,均被限制在N维环面之间,所以近可积系统仍具有整体稳定性.但进一步研究表明:(l)当V增大时,不稳定轨道迅速增多,它们在相空间中大幅度地扩散开来,使稳定的分界线破坏,随机层扩大,最后将分界线包含在很小的局域内,整个系统出现大范围内的动力随机性;(2)对于大部分系统,H都是非线性的,并不满足KAM定理的第二个条件.AI-nold扩散lel又证明,在这种情况下,系统长时间行为N维环面也将破坏,出现混沌现象.因此,在相互作用的Hamilotn系统,不稳定轨道正是系统混沌的根源,其在系统演化中会迅速增多,且对不稳定轨道,初始两相点在相空间的距离随指数而发散,初始条件的微小差别都会导致根本不同的运动轨迹.由此可见,对于稍微复杂的系统,由于轨道的不稳定会使其出现随机行为,未来状态对初始条件极为敏感,从而使精确预测成为不可能.确定论的牛顿力学方程具有内在的不确定性随着人类认识的深化,从服从牛顿确定论规律的可积系统,到由KMA定理做稳定性保证的近可积系统,人们发现,能够通过正则变换而消除自由度间相互作用的可积系统真如凤毛麟角,现实中大多数系统都是不可积系统,其混沌行为有力地破坏了牛顿力学所描绘的确定论的封闭的宇宙画面,从根本上冲击着牛顿力学的自然观,为我们探讨确定论和概率论的关系提供了新的科学依据.3混沌理论架起了确定论与概率论的桥梁传统观念中,一个确定论的牛顿力学方程,只要给定了初始条件,就可以根据方程决定系统以后的任一状态.宇宙就像有一个拉普拉斯式的智能,“这样的智能,将用同样一个公式囊括大至宇宙中最重天体,小至最轻原子的运动;对于它来说,再没有什么更确定的东西:未来和过去同样在它的眼前.”未来状态的可预言性及对初始条件的不敏感便构成了经典确定论力学的基本特征.只有一个具有大量自由度、各自由度之间互相作用和传递能量的系统才会表现出统计性质.然而混沌理论指出,自由度很小,甚至只有两个自由度的系统都会出现内在随机性,混沌出现时,随机覆盖整个相空间,这时作为牛顿力学基础的轨道概念便失去了意义,我们只能研究相点和概率在某个区域出现的可能性,概率统计成了力学描述不可缺少的部分.力学要扩大自己,统计进人到确定论力学的领域.混沌理论的产生,不仅使确定论牛顿力学发生了新的转折,而且也堪称现代统计物理学发展中的一个里程碑.过去认为多体效应和大数假设的统计性质不可能出现,其实在自由度不多的系统中,由于非线性的相互作用也能出现.以前研究的随机性,源于自由度的平均和涨落,或者源于系统外部的无规则干扰,混沌理论揭示了一种,而且是广泛存在的随机性内在随机性.由于力学系统内部轨道的不稳定,传统物理学中所研究的随机性无论是长时间还是短时间都是不可预测的,而内随机性只出现在系统的长时间范围内,短时间的行为还是可以预测的.外随机运动只能确定到它的统计数字特征,混沌运动却是确定论系统中出现的完全确定的运动,“它是丝毫不带随机因素的固定规则所产生的”.因此,我们说混沌理论也扩大了统计物理学的领域,使其深人到了确定论的动力学体系.确定论和概率论的描述,在混沌理论中沿着两个方面终于走到了一起.从混沌理论的观点来看,严格决定论只描述了极少数的可积系统,即可以通过正则变换而消除相互作用的系统.但自然界是普遍联系的,对于绝大多数系统,相互作用并不能通过正则变换而消除,因此,在几乎所有存在初始条件和参数变化的实际系统中,都会出现混沌,只是混沌也许很弱或被其他因素所掩盖,或者相互作用很小,短时间中此种不稳定不足以影响整个系统的行为.所以,我们认为,严格决定论观点其实包含了两条形而上学的假定:1可以用无限精确的测量来确定和区分力学方程所描述的运动轨迹;2确定论的方程,只要初始条件给定,其轨道无论在何时必然是完全确定的,本身不包含任何不稳定因素,即使存在不稳定点其测度也为零.第一条是从科学观层次上来说明的,其涉及某种无穷过程的理想极限.然而科学所涉及的都是有限现象,因此,科学所研究的一切过程都在必然中包含着偶然性的成分,只要承认科学发展的任何阶段都存在着测量精度限制,确定论轨道就成为不能确定的抽象.现在大多数人仅从人类认识的意义上来批判严格的确定论,但是这一条正像玻耳兹曼和玻恩一样仍然暗含了客观自然界在原则上是决定论的8,确定论描述和概率论描述的绝对对立仍源于人类认识的局限性.测量永远是不可能完善的,但牛顿力学给人的信念是:只要近似知道了一个系统的初始条件和自然规律,就可以计算系统的近似行为.事物的行为方式有一种收敛性,任意小的影响是不会放大为任意大的结果的.近似和收敛的信念一直存在于传统科学哲学核心里.然而混沌理论从自然界本身的意义上对经典信念的反驳,使我们真正看到严格决定论只是一个武断的梦幻.混沌理论表明,在不可积系统中存在着在相互作用下能发生重大变化的不稳定轨道,这类轨道在系统演化中会迅速增多,且对初始条件极为敏感.对此类轨道,无论实验精度如何,都不可能预言和确定其长时间行为.可见,确定性本身包含着不确定性,蕴涵着随机的种子,这种随机性决不会因测量精度的无限提高而消除.另外还有许多最初不包含任何随机因素的确定论方程,如HENON映象191和带有耗散项的非线性迭代方程,由于相互作用、不同自由度间的祸合、或者方程的迭代,使系统的复杂性不可逆地增强,不稳定和随机性也逐渐增大,概率论的描述也就变得不可缺少,确定论方程中就会滋生出随机性.这种随机性是复杂系统演化的必然结果,与测量毫无关系.由此可见,随机性并非完全和偶然性相伴,确定性也并非永远必然.因此,确定性之中包含随机性,严格的决定论描述要用概率论来补充,即使存在一个拉普拉斯式的神灵,它也无法从上述确定论系统中得到混沌态时系统轨道的准确预言.偶然性与随机性是客观世界的一种必然特性,它们并不能因人类知识的无限增加、技术手段的不断提高而消除.通过对混沌理论的分析,我们认为:即使原则上也不存在完全非统计性的关于实在的概念的图像,严格的确定论与绝对的统计论都是形而上学的两极,实际上两者是统一的,它们的关系是互补的,只有将两者结合起来,才能描述出实在的完整图像.我们相信,科学是走在一个没有终点的道路上,形而上学的目标在吸引和激发着人类理性不断地努力追求,但人类认识却处于无限的发展中,一旦达到了形而上学的终极,它也就走到了僵化的尽头,成为辩证唯物主义所批判的“形而上学”.混沌理论在自然观层次上对确定性与随机性的统一还带给我们更深刻的哲学启迪:康德因为“道德”的需要,认为自由意志必须有,否则便谈不上道德,又因为因果律的存在,康德却不能依他自己所构筑的哲学体系的标准,逻辑地证明自由意志的客观存在,他只能主观地设定它.而混沌理论把生气勃勃的智力创造和主体能动性加人了曾被完全物化了的经典科学,加人了决定论,它既承认世界的因果联系的普遍性,又强调其特殊性;既肯定有序,又肯定无序,并找到了两者独特的结合方式;既肯定了事物的决定论