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习题 41 f(x) = x TA x，AT= A， xR n。（1） 若A为半正定矩阵，试证f(x) 在R n中为凸函数。（2） 若A为正定矩阵，试证f(x) 在R n中为严格凸函数。2. 求函数f(x,y) =3axyx2- y2，(a 0) 的驻点，极值点。3. 求函数f(x1,x2) =(x1- x12)2的极值点, 是否是严格的极值点?4. 在半径为R的已知圆的一切内接三角形中,求出其面积最大者。5. 设 x =(x1, x2, x3)T, A = (aij)33，AT=A，试直接展开f(x) = x TA x，然后验证f(x) = 2A x。6. 设f(x)在点x (0) 的台劳展开式为f(x) = f(x (0) +( x - x (0)T f(x (0) +( x - x (0)T f(x (0)( x - x (0)试证：f(x) =f(x (0) +f(x (0)( x - x (0)7. 判断下列函数是否是凸函数,凹函数,严格凸函数或严格凹函数。（1） f(x1,x2) = 2x12+3x22,（2） g(x1,x2) = x13-x23,（x10,在牛顿法中,在点x(k) 取搜索方向为s(k) = -H(x(k)-1g(k),试用方向导数直接证明s(k) 是 f(x)在点x(k)的下降方向,其中 g(k) = f(x(k)。17. 设Q =，试判断下列向量 p1与p2是否线性无关？是否Q-共扼？（1） p1=(1,0)T，p2=(1,-2)T；（2） p1=(1,0)T，p2=(1,1)T。18. 设f(x) = x T A xbT x，A =，b = (3,3)T，取x（1）= (0,0)T，p1= (1,0)T，p2= (1,-2)T，试证由本章共扼方向法产生的x（3）为f(x)的最优解。19. 设Q为实对称矩阵，试证Q的任意两个对应于不同特征值的特征向量都是Q共扼的。20. 用 Fletcher-Reeves共扼梯度法求f(x)的最小值, 取x（1）= (-2,4)T，其中f(x) =x12+x22- x1x2-2x121. 设f(x) = x T Q x + bT x +c，QT= Q0,试证在共扼梯度法的一维搜索f(x(k)+d(k) = f(x(k)+k d(k)中，有 22. 用外点法解 （1） （2）23. 设在外点法中 T(x ; Mk) = T(x(k) ; Mk),且罚函数中的F(x(k) = 0，试证x(k) 为规划( P)的最优解。24. 选用两种障碍函数，试用内点法解 25. 选用倒数函数作为障碍函数，试用内点法解 26. 用内点法解 27. 分别以
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