二项式系数增减性的拓广及应用.doc

二项式系数增减性的拓广及应用（完善）杨亢尔 （浙江省奉化中学 315500）1问题的提出 人教版全日制普通高级中学教科书（试验修订本必修）数学第二册（下A）第109页，结合“杨辉三角”，对展开式的二项式系数的增减性和最大值，有如下阐述：因为 ，所以相对于的增减情况由决定。由可知，当时，二项式系数是逐渐增大的。由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值。 而对于展开式的系数，其增减性和最大值则没有提及，许多教学参考书采用“两边夹”的方法求二项展开式的系数最大值，请看下例：例1求 展开式中系数最大的项。解：设展开式第项的系数为最大，则由，可得， 解得 ， ， ，展开式中系数最大的项为第项。注：此法只对的类型（3）适用，的递增，的递减不适用。以上解法常见于各种书刊，其依据是默认二项展开式各项系数先增后减，我们不禁要问：对于，其展开式第项的系数的增减性真的与二项式系数的增减性相仿而不受、制约而变化吗？会否出现展开式各项系数先减后增或多次增减及其他情况？若存在系数最大的项，这样的项是否一定唯一？下面我们就来探讨这些问题。2系数增减性的研究为方便起见，我们先约定，记展开式的第项系数为，则（1） ，特别地，若即则时对一切恒成立，此时单调递增。（2） ，特别地，若即则时对一切恒成立，此时单调递减。（3） 当（即）时， ，应用（1）、（2）有，此时，二项展开式系数先增后减，并且若，令，则第项系数最大；若，令，则第项，第项系数最大且相等。特别地，当时，上述结论与二项式系数性质一致。因此，上述性质可看作二项式系数增减性的拓广。综上所述，当时，二项展开式系数单调递增；二项展开式系数单调递减；（即）二项展开式系数先增后减，并且若，令，则第项系数最大；若，令，则第项，第项系数最大且相等。对于展开式，系数的增减性，只须先考虑展开式各项系数的绝对值的增减性，再结合奇数项系数为正，偶数项系数为负的特征加以确定。小注：同时也成立，则n1必为分数，不是我们讨论的。所以不用担心的结论同时成立，既增且减。记M=，、成立且只成立其一（此时，一大一小）时，有nM，进而转化为或的情形。综上，n的所有相关情况皆讨论完毕。3应用举例例1 求 展开式中系数最大的项。解 令，则，所以 展开式系数单调递减，系数最大的项为第1项。例2求 展开式中系数最大的项和系数最小的项。解 先考虑 展开式系数的增减性，令，由于，且，令，知展开式中系数最大的项为第项，又 展开式中第项的系数为正，所以 展开式中系数最大的项为。又因为展开式各项系数的绝对值先增后减，且系数最大的项为第项，考虑到展开式偶数项系数为负，因此系数最小的项只能是第4项或第6项，比较这两项系数可知 展开式中系数最小的项为。例3某次英语测验有50题选择题，每题有4个选项可供选择，其中有且只有一个选项是正确的。现让一个不懂英语的人每题任选一个选项填入，答对几题的概率最大？解 该人答对题的概率为，要求最大时的值，只须求二项展开式系数最大时的值，由于，满足，且，令，知该人答对12题的概率为