例谈“回归定义”策略在数学高考中的运用.doc

例谈“回归定义”策略在数学高考中的运用概念是学科构成的细胞，加强概念的过程性学习是体现对数学本质理解探寻的追求.“回归定义”实质是重新审视概念并用概念的定义解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想.高考对中学数学主体内容中的那些核心概念、重要定义的重点考查是从不回避的，其出发点之一就是“玩概念”，突出数学的本质与基础，也引导教与学的回归思考.1 以函数为载体“回归定义”函数是中学数学最重要的概念，对函数概念的考查，突出的是运动变化和对应关系，具体体现为“函数三要素”；函数的下位概念中，最突出的是函数的单调性，新课程有强化“导数”工具倾向，但也有必要力图体现性质本身意义的反思，也即“回归定义”.例1 （2011年湖南文16）给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，. （1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ； （2）设，且当时，则不同的函数的个数为 .评述：湖南卷每年最后一道小题一般都起到好的“把关”作用，这道题以函数概念为载体，紧扣对应关系，若能将符号语言用韦恩图直观给出对应法则，是不难得出答案的：（1），（2）16.事实上，从阅卷来看，此题得分极低，这不能不引人深思. 例2 （2011上海理20）已知函数，其中常数满足.（1）若，判断函数的单调性；（2）若，求时的取值范围.评述：上海一直走在全国课改的前面，他们的课堂技术支持在全国也是最先进的（笔者2004年下半年到华东师大参加骨干教师新课程培训，深入过一些实际课堂），譬如，计算器进高考考场也只上海.但上海的考题却命制的成功而富特色：技术是为了更好地理解数学本质，为理解数学本质服务！笔者跟踪分析了上海的函数解答题，象2011年这道题不是偶然出现，而是延续了多年来考概念（定义）、考本质理解的基本思路，而不只是一种具体的方法或技术.本题以两个具体的指数函数和常量函数作积作和“组合”起来，直接利用单调性的意义和基本初等函数单调性求解，这在“导数法”流行的今天显得“另类”，但这里面对命题和教学不也都有启发意义吗？2 以数列为载体“回归定义”数列每年都有一道解答题，理科一般还将其设置在后两道位置，时常作为“压轴题”出现.对递推数列是否应该出现在考题中，数学界一直存在争议,如文1，不过目前高考还是年年有不同的“递推”面孔出现.笔者曾撰文2表达过这样的观点：突出化归思想，将递推数列回到等比（差）数列模型.命题者可以通过技术处理，降低构造辅助数列难度，将重心放置在对等差、等比两个基本数列定义的考查上来，这样的考查笔者认为还是合理可行的.例3(2011年天津理20)已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（III）略 评述：所给递推公式虽然复杂，但命题者做了比较恰当的技术处理，（I）问的设置至少有两个作用：降低门槛，使所有学生都能获得一定的基础分；通过特殊值的计算，获得为后续问题变形转化的基本经验；（II）问给出一个新数列的构造，也有两个意图，一是回归等比数列定义要求依据定义给出证明（这是学生必须掌握而又能掌握的），二是为第（III）问做铺垫.显然此题的用意不是要求学生掌握通过特殊的技巧由递推公式求通项，而是基本定义和化归思想的运用.给出（II）证明：对任意，得将代入，可得即又因此是等比数列.例4（2010安徽理20）设数列中的每一项都不为0.证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有. 评述：本题将等差数列与充要条件结合，考查推理论证、运算变形和求解能力.解决此题要求学生对等差数列的定义有深刻的理解，要熟练掌握定义不同的语言表述，特别是符号语言：或.对等差数列定义深入思考，必然涉及到两个基本认识（却易被忽略）：对公差是否为0的讨论和项数满足的前提条件，即“”.此题给教学的启发是：对重要概念定义的学习既要突出本质吃透内涵，又要充分认识概念的外延和适用范围；要引导和学会从不同角度、用不同表征方式刻画同一个概念对象，熟练掌握语言的转换和表述，特别是提升到抽象的符号语言这一层次.在笔者的解题经历印象中，2011年江苏20对等差数列定义的考查就更隐蔽深刻（附题如下）：设部分为正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数都成立. （1）设的值； （2）设的通项公式.3 以圆锥曲线为载体“回归定义”解析几何对圆锥曲线的学习，是先给出定义，再将定义坐标翻译得出方程，进而由方程研究性质和几何关系.在这条逻辑链条中，定义处于源头位置，所以回归定义、巧用用定义解题应成为一种有力有效的策略武器.例5 （2011广东理19）设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程；（2）略评述：求轨迹和轨迹方程是解几一类重要题型.由于解析几何运算量大，所以要特别注意挖掘题设中的几何关系，若能发现动点轨迹正好满足某类圆锥曲线定义，那么选择“定义法”是上策.如此题，如果直接用坐标翻译未尝不可，但采用平方法化简显然“不合算”！（1）问解答如下：设圆C的圆心C为，半径为.圆的圆心为，半径为2；圆的圆心为，半径为2.由题设条件知，所以.所以C的圆心轨迹L是以原点为中心，焦点在轴上，焦距为，实轴长为的双曲线，因此，L的方程为例6（2009重庆卷文）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 . 评述：凡涉及焦点三角形、焦半径、准线为背景的问题，基本上都需要从定义出发，而且用定义能达到简化运算之效.需要说明的是，新课程对圆锥曲线的第二定义已不作要求，这对命题考查带来一定的变化和影响，但重视运用定义解题，善于从定义角度分析和思考应成为一种重要的策略意识.解法1:因为在中，由正弦定理得.设点，由焦点半径公式，得，.则.得.由椭圆的几何性质知，所以，整理得.解得或，又，故椭圆的离心率.解法2: 由上知，又由椭圆的定义知，则，即.由椭圆的几何性质知,则，即.所以.后略.4 在“新定义”情境中“回归定义”考查创新意识是高考的要求，其中给出新定义是一种重要方式，它需要考生具有较好的阅读理解能力，从而甄别考生的学习潜能，达到高考选拔区分的目的.这类问题“新题不难，难题不怪”，其中重要一点是紧扣“新定义”.例7（2011江苏19）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致.（1）设，若和在区间上单调性一致,求b的取值范围；（2）设且，若和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.评述：单调性本是学生熟悉的基本概念，本题给出“区间上单调性一致”概念与“单调性”有联系但也有所区别，需要考生有较好的概念理解能力.（1）由题意知上恒成立，因为，故进而上恒成立，所以因此 （2）令若又因为，所