高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考）第二章第3课时 函数的奇偶性与周期性课件 理.ppt

第3课时函数的奇偶性与周期性 基础梳理1 函数的奇偶性 y轴 原点 f x f x f x f x 思考感悟奇 偶函数的定义域有何特点 提示 若函数f x 具有奇偶性 则f x 的定义域关于原点对称 反之 若函数的定义域不关于原点对称 则该函数无奇偶性 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x t 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 f x 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 的正数 那么这个 正数就叫做f x 的最小正周期 最小 最小 答案 b 3 2011 高考浙江卷 若函数f x x2 x a 为偶函数 则实数a 解析 函数f x x2 x a 为偶函数 f x f x 即 x 2 x a x2 x a x a x a a 0 答案 0 4 定义在r上的奇函数f x 满足f x 1 f x 若f 1 5 1 则f 2012 5 解析 f x 1 f x f x 2 f x 1 f x 2为函数f x 的周期 因此f 2012 5 f 0 5 f 1 5 f 1 5 1 答案 1 2 f x 的定义域为 1 1 关于原点对称 又f 1 f 1 0 f 1 f 1 0 f x 既是奇函数又是偶函数 3 f x 的定义域为r 关于原点对称 当x 0时 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 f 0 0 也满足f x f x 故该函数为奇函数 题后感悟 1 利用定义判断函数奇偶性的步骤 2 分段函数奇偶性的判断 要注意定义域内x取值的任意性 应分段讨论 讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简 判断f x 与f x 的关系 得出结论 也可以利用图象作判断 备选例题 教师用书独具 2 f x 的定义域是 当a 0时 f x x2 x 2 f x x2 x 2 x2 x 2 f x 因此f x 是偶函数 当a 0时 f a a2 2 f a a2 2a 2 f a f a 且f a f a 因此f x 既不是偶函数也不是奇函数 变式训练1 2011 高考广东卷 设函数f x 和g x 分别是r上的偶函数和奇函数 则下列结论恒成立的是 a f x g x 是偶函数b f x g x 是奇函数 c f x g x 是偶函数d f x g x 是奇函数解析 选a 由f x 是偶函数 可得f x f x 由g x 是奇函数可得g x g x 故 g x 为偶函数 f x g x 为偶函数 1 已知f x 是r上的奇函数 且当x 0时 f x x2 x 1 求f x 的解析式 2 已知奇函数f x 的定义域为 2 2 且在区间 2 0 内递减 求满足 f 1 m f 1 m2 0的实数m的取值范围 题后感悟 根据函数的奇偶性 讨论函数的单调区间是常用的方法 奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究 只需研究对称区间上的单调性即可 备选例题 教师用书独具 设定义在 2 2 上的偶函数f x 在区间 0 2 上单调递减 若f 1 m f m 求实数m的取值范围 答案 f 1 g 0 g 1 2010 高考安徽卷 若f x 是r上周期为5的奇函数 且满足f 1 1 f 2 2 则f 3 f 4 等于 a 1b 1c 2d 2 解析 由f x 是r上周期为5的奇函数知f 3 f 2 f 2 2 f 4 f 1 f 1 1 f 3 f 4 1 故选a 答案 a 题后感悟 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质 对函数周期性的考查 主要涉及函数周期性的判断 利用函数周期性求值 以及解决与周期有关的函数综合问题 解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息 找到函数的周期 利用周期在有定义的范围上进行求解 备选例题 教师用书独具 已知函数f x 是 上的偶函数 若对于x 0 都有f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x log2 x 1 则f 2012 f 2013 的值为 a 2b 1c 1d 2 解析 依题意得 x 0时 有f x 4 f x 2 f x 即x 0时 f x 是以4为周期的函数 因此f 2012 f 2013 f 2012 f 2013 f 0 f 1 而f 0 log2 0 1 0 f 1 log2 1 1 1 故f 2012 f 2013 1 答案 c 变式训练3 2012 阜阳月考 设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x 恒在f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2012 解 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 2 x 2 4 x 4 2 4 x 0 2 f 4 x 2 4 x 4 x 2 x2 6x 8 又f 4 x f x f x f x x2 6x 8 即f x x2 6x 8 x 2 4 3 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2008 f 2009 f 2010 f 2011 0 f 0 f 1 f 2 f 2012 f 0 0 方法技巧1 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 反之也真 利用这一性质可简化一些函数图象的画法 也可以利用它去判断函数的奇偶性 失误防范1 判断函数的奇偶性 首先应该判断函数定义域是否关于原点对称 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 如例1 2 判断函数f x 是奇函数 必须对定义域内的每一个x 均有f x f x 而不能说存在x0使f x0 f x0 对于偶函数的判断以此类推 命题预测从近几年的高考试题来看 函数的奇偶性 周期性是高考命题的热点 主要是奇偶性与单调性的小综合 周期性的考查常以利用周期性求函数值为主 以选择题 填空题的形式出现 属中 低档题 预测2013年的高考中 对这一知识点的考查难度不大 以客观题型为主 考查函数的奇偶性 周期性 典例透析 2011 高考陕西卷 设函数f x x r 满足f x f x f x 2 f x 则y f x 的图象可能是 解析 由于f x f x 所以函数y f x 是偶函数 图象关于y轴对称 所以a c错误 由于f x 2