高中数学 6.2一元二次不等式配套课件 北师大版.ppt

第二节一元二次不等式 三年11考高考指数 1 会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型 2 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数 一元二次方程的联系 3 会解一元二次不等式 对给定的一元二次不等式 会设计求解的程序框图 1 以考查一元二次不等式的解法为主 兼顾二次方程的判别式 根的存在性及二次函数的图像与性质等知识 2 以集合为载体 考查一元二次不等式的解法及集合的运算 3 以函数 数列 解析几何为载体 以二次不等式的解法为手段 考查求参数的范围问题 4 以选择题 填空题为主 有时穿插于解答题中考查 难度中等 1 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 即时应用 1 思考 不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集为r的条件是什么 不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集为 的条件是什么 提示 2 不等式2x 3 x2 0的解集是 解析 原不等式等价于x2 2x 3 0 即 x 1 x 3 0 即 1 x 3 答案 1 3 3 设一元二次不等式ax2 bx 1 0的解集为 x 1 x 则ab的值为 解析 由题意可知a 0 且 1 是方程ax2 bx 1 0的两个根 故解得 ab 6 答案 6 4 函数y 的定义域是 解析 由x2 x 12 0 即 x 4 x 3 0 得x 4或x 3 答案 4 3 2 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解过程 即时应用 思考 上述不等式中a 0 若a 0时解集的情况又将如何 提示 若a 0 则一般先将不等式进行转化 使x2的系数转化为正后再求解 但一定要注意转化过程中不等号的变化 0时解集为 0时解集为 x x1 x x2 一元二次不等式 简单的高次不等式及分式不等式的解法 方法点睛 1 解一元二次不等式的一般步骤 1 对不等式变形 使一端为0且二次项系数大于0 2 计算相应的判别式 3 当 0时 求出相应的一元二次方程的根 4 根据对应二次函数的图像 写出不等式的解集 注意 也可以这样解一元二次不等式 首先将二次项系数转化为正数 再看能否因式分解 若能 则可得方程的两根 且大于号取两边 小于号取中间 若不能 当 0时 利用求根公式求解方程的根 然后写出解集 2 用 穿针引线法 解高次不等式的步骤 1 将原不等式化为 或 0 的形式 2 各因式中x的系数必须为正 3 求相应方程的根 并在数轴上从小到大排列起来 4 穿针引线 对于偶次重解 线穿而不过 对于奇次重解 线穿而过 5 根据图形写出不等式的解集 3 解分式不等式的策略解分式不等式的思想是将分式不等式转化为等价的整式不等式 或整式不等式组 通过解整式不等式 组 去求解 提醒 当不等式的系数为字母时 需要对字母进行分类讨论 例1 1 已知函数f x 解不等式f x 3 2 解不等式 x 4 x 5 2 2 x 0 3 解不等式 4 解不等式 12x2 ax a2 a r 解题指南 1 对x分x 0 x3变成两个不等式组 2 是一元高次不等式 可用 穿针引线法 求解 3 可由分式不等式转化为整式不等式求解 4 将不等式转化后进行因式分解 比较两根大小分类求解 规范解答 1 因为所以f x 3 或 或 或所以原不等式的解集为 x x 1 2 原不等式等价于 x 4 x 5 2 x 2 0 可用 穿针引线法 如图所示 原不等式解集为 x x2 3 原不等式等价于 0 0 0 0 用 穿针引线法 可得原不等式解集为 2 1 2 6 4 原不等式可化为12x2 ax a2 0 4x a 3x a 0 令 4x a 3x a 0得x1 x2 a 0时 此时不等式等价于x 或x a 0时 此时不等式等价于x2 0 x 0 a 0时 此时不等式等价于x 或x 综上所述 当a 0时 不等式的解集为 当a 0时 不等式的解集为 0 0 当a 0时 不等式的解集为 互动探究 若本例 1 中函数解析式不变 不等式变为f x 3x 2 又该如何求解 解析 f x 3x 2 或 或 或 0 x 2或x 0 x 2 所以原不等式的解集为 x x 2 反思 感悟 1 对于本例 4 中分类讨论后 在写不等式解集时 也可以将a 0的情况与a 0或a 0结合起来写 如可写为a 0时不等式的解集为 a 0时不等式的解集为 2 含参数的不等式解法 解含参数的一元二次不等式 要把握好分类讨论的层次 一般按下列次序进行讨论 1 根据二次项系数的符号进行分类 2 根据根是否存在 即 的符号进行分类 3 若根存在时 根据根的大小进行分类讨论 讨论时对字母的范围需要做到不重不漏 变式备选 解下列不等式 1 10 x 1 25x2 2 1 ax 2 1 3 x2 1 x2 6x 8 0 解析 1 原不等式等价于25x2 10 x 1 0 5x 1 2 0 只有当5x 1 0 即x 时 不等式成立 故不等式的解集为 x x 2 由 1 ax 20 即x x 0 0 不等式的解集为 x x 0 当a 0时 原不等式可化为x ax 2 0 原不等式的解集为 x 00时 原不等式的解集为 x 0 x 3 方法一 由 x2 1 x2 6x 8 0可得或由 解得x 4或1 x 2或x 1 由 解得x 原不等式解集为 x x 1或1 x 2或x 4 方法二 将原不等式变形为 x 1 x 1 x 2 x 4 0 令f x x 1 x 1 x 2 x 4 0 各因式解依次为 1 1 2 4 结合图形 可得原不等式的解集为 x x 1或1 x 2或x 4 一元二次不等式恒成立问题 方法点睛 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 1 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元 谁是参数 一般地 知道谁的范围 就选谁当主元 求谁的范围 谁就是参数 2 对于二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方 3 一元二次不等式恒成立的条件 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的充要条件是 a 0且b2 4ac 0 x r ax2 bx c 0 a 0 恒成立的充要条件是 a 0且b2 4ac 0 x r 例2 已知不等式mx2 2x m 1 0 1 若对任意实数x不等式恒成立 求m的取值范围 2 若对一切m 2 2 不等式恒成立 求x的取值范围 解题指南 1 讨论m的情况 结合二次函数图像求解 2 变换主元将其看成关于m的一元一次不等式 利用其定义范围 2 2 求参数x的取值范围 规范解答 1 不等式mx2 2x m 1 0恒成立 即函数f x mx2 2x m 1的图像全部在x轴下方 当m 0时 不等式变为1 2x 0 对任意实数x不恒成立 故m 0不满足 当m 0时 函数f x mx2 2x m 1为二次函数 需满足图像开口向下且方程mx2 2x m 1 0无解 则m无解 综上可知不存在符合条件的m使不等式恒成立 2 设g m x2 1 m 1 2x 当x2 1 0时 即x 1 检验得x 1时符合题意 当x2 1时 则其为一个以m为自变量的一次函数 其图像是直线 由题意知该直线当 2 m 2时在x轴下方 即 解 得x 或x 解 得 x 由 得 x 且x 1 综上得x的取值范围为 x x 反思 感悟 解决不等式恒成立问题 通常有两种思路 1 转化成含有参数的不等式 借助对应函数图像 找到满足题目要求的条件 构造含参数的不等式 组 求得参数范围 2 分离参数 通过求函数的最值 进而确定参数的范围 变式训练 已知f x x2 2ax 2 a r 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解析 方法一 f x x a 2 2 a2 此二次函数图像的对称轴为直线x a 当a 1 时 f x 在 1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得 3 a 1 当a 1 时 f x min f a 2 a2 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2 a2 a 解得 1 a 1 综上所述 a的取值范围为 3 1 方法二 令g x x2 2ax 2 a 由已知得x2 2ax 2 a 0在 1 上恒成立 即 4a2 4 2 a 0 即a2 a 2 0 得 2 a 1 或即得 3 a 2 综上得 3 a 1 即实数a的取值范围是 3 1 一元二次不等式的实际应用 方法点睛 解不等式应用题的一般步骤 例3 汽车在行驶中 由于惯性的作用 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住 我们称这段距离为 刹车距离 刹车距离是分析事故的一个重要因素 在一个限速为40km h的弯道上 甲 乙两辆汽车相向而行 发现情况不对 同时刹车 但还是相撞了 事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m 乙车的刹车距离略超过10m 又知甲 乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km h 之间分别有如下关系 s甲 0 1x 0 01x2 s乙 0 05x 0 005x2 问 甲 乙两车有无超速现象 解题指南 由题意只需利用刹车距离与车速的关系 与实际刹车距离构建不等关系求解即可 规范解答 由题意知 对于甲车 有0 1x 0 01x2 12 即x2 10 x 1200 0 解得x 30 或x 40 不合实际意义 舍去 这表明甲车的车速超过30km h 但根据题意刹车距离略超过12m 由此估计甲车车速没有超过限速40km h 对于乙车 有0 05x 0 005x2 10 即x2 10 x 2000 0 解得x 40 或x 50 不合实际意义 舍去 这表明乙车的车速超过40km h 超过规定限速 反思 感悟 不等式应用题多是解决现实生活 生产 科技中的最优化问题 本题即是利用一元二次不等式解决现实生活中常见的交通事故责任调查与取证的问题 其关键是正确确定不等关系 变式训练 国家原计划以2400元 吨的价格收购某种农产品m吨 按规定 农户向国家纳税为 每销售收入100元纳税8元 称税率为8个百分点 即8 为了减轻农民负担 决定降低税率 根据市场规律 税率降低x x 0 个百分点 收购量能增加2x个百分点 试确定x的范围 使税率调低后 国家此项税收总收入不低于原计划的78 解析 设税率调低后的税收总收入为y元 则y 2400m 1 2x 8 x m x2 42x 400 由题意知 0 x 8 要使税收总收入不低于原计划的78 有y 2400m 8 78 整理得x2 42x 88 0 解得 44 x 2 又0 x 8 0 x 2 所以x的取值范围是 0 2 创新探究 一元二次不等式在二元二次方程中的应用 典例 2011 浙江高考 设x y为实数 若4x2 y2 xy 1 则2x y的最大值是 解题指南 由题意可设出方程2x y t 则此方程所表示的直线应与4x2 y2 xy 1所表示的曲线有交点 即联立方程消元后有解 从而可得t的范围 从而本题获解 规范解答 设2x y t y t 2x 代入4x2 y2 xy 1整理得6x2 3tx t2 1 0 则此方程应有解 即 9t2 4 6 t2 1 0 即t2 解得 则2x y的最大值为答案 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 可以得到以下创新点拨与备考建议 1 2011 山东高考 设集合m x x 3 x 2 0 n x 1 x 3 则m n a 1 2 b 1 2 c 2 3 d 2 3 解析 选a 由集合m x x 3 x 2 0 x 3 x 2 集合n x 1 x 3 m n x 1 x 2 即为 1 2 2 2011 江西高考 若集合a x