高中数学 7.8用向量讨论垂直与平行配套课件 北师大版.ppt

第八节用向量讨论垂直与平行 三年8考高考指数 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述线线 线面 面面的平行和垂直关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 1 以空间向量及其运算为工具判定或证明平行 垂直是高考的重点 特别是用数量积解决空间中的垂直问题是高考的热点 2 线线 线面 面面位置关系的题型多以解答题的形式出现 综合考查学生的空间想象能力 运算能力 数形结合思想以及运用知识分析问题 解决问题的能力 1 直线的方向向量与平面的法向量的确定 1 直线的方向向量 在直线上任取一 向量作为它的方向向量 2 平面的法向量可利用方程组求出 设a b是平面 内两不共线向量 n为平面 的法向量 则求法向量的方程组为 非零 n a 0 n b 0 即时应用 1 思考 如何确定直线的方向向量 在求平面的法向量时 所列的方程组中有三个变量 但只有两个方程 如何求法向量 直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗 提示 在直线上任取两点 由这两点确定的向量即可作为直线的方向向量 给其中某一变量恰当赋值 求出该方程组的一组非零解 即可作为法向量的坐标 不唯一 凡是在直线l上的非零向量或与l平行的非零向量都可以作为直线的方向向量 凡是与平面垂直的非零向量都可以作为平面的法向量 2 若a 0 2 b 1 1 c 2 1 是平面 内的三点 设平面 的法向量n x y z 则x y z 解析 由得所以答案 2 3 4 2 利用向量的知识判定线线 线面 面面平行的方法 1 直线与直线平行的判定方法如果不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b 则a b 2 直线与平面平行的判定方法 如果平面 外的直线a的方向向量为a 平面 的法向量为n 则a a b a n 0 如果平面 外的直线a的方向向量为a e1 e2是平面 的一组基底 不共线的向量 则a 3 平面与平面平行的判定方法如果不重合的平面 和平面 的法向量分别为n1和n2 则 a 1e1 2e2 n1 n2 即时应用 1 若直线a b的方向向量分别为a 1 1 2 b 2 2 4 则直线a与b的位置关系是 2 设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为b 若a b 0 则直线l与平面 的位置关系是 3 空间直角坐标系中 a 1 2 3 b 2 1 6 c 3 2 1 d 4 3 0 则直线ab与cd的位置关系是 解析 1 a 1 1 2 b 2 2 4 b 2a a与b共线 即a b或a与b重合 2 a b 0 a b l 或l 3 与共线 又与没有公共点 ab cd 答案 1 a b或a与b重合 2 l 或l 3 ab cd 3 利用向量的知识判定线线 线面 面面垂直的方法 1 直线与直线垂直的判定方法如果不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b 则a b 2 直线与平面垂直的判定方法 如果直线a的方向向量为a 平面 的法向量为n 则a a b 0 a n 如果直线a的方向向量为a e1 e2是平面 的一组基底 不共线的向量 则a 3 平面与平面垂直的判定方法如果不重合的平面 和平面 的法向量分别为n1和n2 则 a e1 0且a e2 0 n1 n2 0 即时应用 1 若平面 的法向量分别为a 1 2 4 b x 1 2 并且 则x的值为 2 若直线l1 l2的方向向量分别为a 2 4 4 b 6 9 6 则直线l1 l2的位置关系是 解析 1 由 得a b 0 解得x 10 2 由a b 2 6 4 9 4 6 0得a b 从而l1 l2 答案 1 10 2 l1 l2 利用空间向量证平行 方法点睛 用向量证平行的方法 提醒 用向量证明平行问题时 要注意解题的规范性 如证明线面平行时 仍需要表明一条直线在平面内 另一条直线在平面外 例1 1 若直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 能使l 的是 a a 1 0 0 n 2 0 0 b a 1 3 5 n 1 0 1 c a 0 2 1 n 1 0 1 d a 1 1 3 n 0 3 1 2 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是c1c b1c1的中点 求证 mn 平面a1bd 解题指南 1 验证a n 0是否成立即可 2 建立空间直角坐标系 由向量共线得线线平行 或利用垂直于平面a1bd的法向量n 从而得出线面平行 规范解答 1 选d 若l 则a n 0 经验证知 d满足条件 2 方法一 如图所示 以d为原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 则d 0 0 0 a1 1 0 1 m 0 1 n 1 1 于是 da1 mn 而mn 平面a1bd da1 平面a1bd mn 平面a1bd 方法二 建立如方法一中的坐标系 则d 0 0 0 m 0 1 n 1 1 a1 1 0 1 b 1 1 0 设平面a1bd的一个法向量是n x y z 则 且 得取x 1 得y 1 z 1 n 1 1 1 又 又mn平面a1bd mn 平面a1bd 反思 感悟 1 利用空间向量解决空间中线面位置关系的证明问题 以代数运算代替复杂的空间想象 为解决立体几何问题带来了简捷的方法 2 用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系 并准确地确定点的坐标 另外运算错误也是解题中常出现的问题 变式训练 如图 在平行六面体abcd a1b1c1d1中e f g分别是a1d1 d1d d1c1的中点 求证 平面efg 平面ab1c 证明 设则而 a b 故 又又而 又 eg ef e ac b1c c 平面efg 平面ab1c 利用空间向量证明垂直 方法点睛 用向量证明垂直的方法 证明两直线所在的方向向量互相垂直 即证它们的数量积为零 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或将线面垂直的判定定理用向量表示 证明两个平面的法向量垂直 或将面面垂直的判定定理用向量表示 例2 如图所示 在四棱锥p abcd中 pc 平面abcd pc 2 在四边形abcd中 b c 90 ab 4 cd 1 点m在pb上 pb 4pm pb与平面abcd的夹角为30 1 求证 cm 平面pad 2 求证 平面pab 平面pad 解题指南 建立空间直角坐标系 1 可证明与平面pad的法向量垂直 也可将分解为平面pad内的两个不共线向量的线性组合 利用共面向量定理证明 2 取ap中点e 利用向量证明be 平面pad即可 规范解答 由题意可知 以c为坐标原点 cb所在直线为x轴 cd所在直线为y轴 cp所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系 pc 平面abcd pbc为pb与平面abcd的夹角 pbc 30 pc 2 bc pb 4 a b c d m p y z x d 0 1 0 b 0 0 a 4 0 p 0 0 2 1 方法一 令n x y z 为平面pad的一个法向量 则即 令y 2 得n 2 1 又cm 平面pad cm 平面pad 方法二 假设 平面pad 则存在x y使 则方程组的解为 由共面向量定理知与共面 故假设成立 又 cm 平面pad cm 平面pad 2 取ap的中点e 连接be 则e 2 1 pb ab be pa 又 be da 又pa da a be 平面pad 又 be 平面pab 平面pab 平面pad 互动探究 本例的条件不变 结论改为 求证 ab cm 则如何用向量法证明 证明 由本例的解题过程可知 即ab cm 反思 感悟 方向向量与法向量的作用利用直线的方向向量与平面的法向量证明线线 线面 面面的平行和垂直关系的关键就是把垂直与平行关系转化为向量的垂直与平行关系 然后利用向量的数量积解决 当然垂直与平行关系的判断与证明也可以不利用向量方法 而利用定理进行转化证明 两种方法都要熟练掌握 变式备选 如图 已知直三棱柱abc a1b1c1中 abc为等腰直角三角形 bac 90 且ab aa1 d e f分别为b1a c1c bc的中点 求证 1 de 平面abc 2 b1f 平面aef 证明 如图建立空间直角坐标系 令ab aa1 4 则a 0 0 0 e 0 4 2 f 2 2 0 b 4 0 0 b1 4 0 4 1 取ab中点为n 则n 2 0 0 c 0 4 0 d 2 0 2 de nc 又nc在平面abc内 de不在平面abc内 故de 平面abc 2 则 b1f ef 即b1f af 又 af fe f b1f 平面aef 三垂线定理的应用 方法点睛 三垂线定理的应用 1 证明问题 如线线垂直 线面垂直 面面垂直 2 计算问题 如求空间一点到平面内某一直线的距离 求两平行直线间的距离 求两条异面直线的夹角等 3 二面角问题 主要是构造二面角的平面角 例3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱bb1 dd1上的动点 1 求证 ef ac 2 当e恰为棱bb1的中点时 能否在棱dd1上确定点f的位置 使平面ace与平面acf垂直 请说明理由 解题指南 1 利用三垂线定理证ef ac 2 通过证二面角的平面角为90 证面面垂直 规范解答 1 在正方体中 dd1 底面abcd ac 底面abcd dd1 ac 连接bd b1d1 则ac bd 又dd1 bd d 于是知ac 平面bb1d1d 又e f分别是棱bb1 dd1上的动点 所以ef 平面bb1d1d 故ef ac b1 c1 d1 a1 f g d c a b e o 2 df 底面abcd 设ac bd o ac bd 由三垂线定理知fo ac 同理eo ac 故 eof是二面角e ac f的平面角 设正方体棱长为1 fd t 在rt fdo中 e为棱bb1的中点 在rt ebo中 在平面bb1d1d内 过点e作eg dd1于g 则fg 要使平面ace与平面acf垂直 即 eof 90 则eo2 fo2 ef2 即解得t 1 故当点f运动到顶点d1时 平面ace与平面acf垂直 反思 感悟 解答本题容易出现找不出正确的二面角的平面角而得出错误答案的情况 变式训练 如图 abc所在平面 外一点p 已知pa bc pb ac 1 求证 p在平面 内的投影是 abc的垂心 2 求证 pc ab 证明 1 作po 平面 于o点 连接ao并延长交bc于d 连接bo并延长交ac于e pa bc bc ad 同理 ac be o为 abc的垂心 2 连接oc并延长交ab于f o为 abc的垂心 ab cf 又 po 平面 ab pc 满分指导 空间向量平行与垂直运算中的规范解答 典例 12分 2012 长沙模拟 已知空间中三点a 2 0 2 b 1 1 2 c 3 0 4 设a b 1 若 c 3 且c 求向量c的坐标 2 若m a b n a b 与2a b垂直 求m n应满足的关系式 解题指南 1 求的坐标 由c 得c的坐标 根据 c 3求得 可得所求 2 根据条件得到m a b n a b 和2a b的坐标 根据垂直的充要条件可求得m n满足的条件 规范解答 1 由条件得a 1 1 0 b 1 0 2 2 1 2 2分 c c 2 1 2 2 2 4分 c 1或 1 c 2 1 2 或c 2 1 2 6分 2 由条件得a b 0 1 2 a b 2 1 2 2a b 3 2 2 m a b n a b 2n m n 2m 2n 8分 m a b n a b 与2a b垂直 m a b n a b 2a b 3 2n 2 m n 2 2m 2n 12n 2m 0 m 6n 11分即当m 6n时 可使m a b n a b 与2a b垂直 12分 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示与备考建议 1 2012 宝鸡模拟 已知a cos 1 sin b sin 1 cos 则向量a b与a b的夹角是 a 0 b 30 c 60 d 90 解析 选d a b cos sin 2 sin cos a b cos sin 0 sin cos a b a b cos sin cos sin 2 0 sin cos sin cos cos2 sin2 sin2 cos2 0 a b a b 即向量a b与a b的夹角是90 2 2012 昆明模拟 如图 正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直 ab af 1 m在ef上 且am 平面bde 则m点的坐标为 a 1 1 1 b 1 c 1 d 1 解析 选c m在ef上 设me x a 0 d 0 0 e 0 0 1 b 0 0 设平面bde的法向量n a b c 由 得a b 故可取一个法向量 3 2012 锦州模拟 在空间直角坐标系中 以点a 4 1 9 b 10 1 6 c x 4 3 为顶点的 abc是以bc为斜边的等腰直角三角形 则实数x的值为 解析 由题意知又可得x 2 答案 2 4 2012 荆州模拟 在正方体ac1中 p为dd1中点 o为底面abcd的中心 则直线ob1与平面pac的位置关系为 解析 如图分别以da dc dd1所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系 不妨设正