【备战】高考数学专题讲座 第8讲 解题思想方法之数形结合思想探讨.doc

【备战2013高考数学专题讲座】第8讲：数学思想方法之数形结合思想探讨数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。中学基础数学的基本知识分三类：一是数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；二是形的知识，如平面几何、立体几何等；三是数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合思想，就是把问题的数量关系和图形结合起来的思想方法，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究（以形助数），即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究（以数辅形），即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合思想，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思想方法，在高考中经常考查。数与形转换的三条途径：（1）建系：通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解；（2）转化：通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形的角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等；（3）构造：通过对数(式)与形特点的分析，联想相关知识构造图形或函数等，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。数形结合的三种主要解题方式：（1）数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合条件的几何图形，用几何方法去解决；（2）形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何问题；（3）)数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观、明了。运用数形结合思想分析解决问题要遵循的三个原则：（1）等价性原则：要注意由于所作的草图不能精确刻画数量关系带来的负面效应；（2）双向性原则：即进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易失真；（3）简单性原则：不要为了“数形结合”而数形结合，而取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的。运用数形结合思想分析解决问题时的三点注意事项：（1）要熟记常见函数或曲线的形状和位置，画图要比较准确，明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；（2）要恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；（3）要正确确定参数的取值范围。结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面七方面探讨数形结合思想的应用：（1）数形结合思想在集合问题中的应用；（2）数形结合思想在函数问题中的应用；（3）数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用；（4）数形结合思想在方程与不等式问题中的应用；（5）数形结合思想在三角函数问题中的应用；（6）数形结合思想在平面向量问题中的应用；（7）数形结合思想在立体几何问题中的应用。一、数形结合思想在集合问题中的应用：在集合运算中常常借助于数轴、venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。典型例题：例1. （2012年全国大纲卷文5分）已知集合=是平行四边形，=是矩形，=是正方形，是菱形，则【 】a. b. c. d.【答案】b。【考点】集合的概念，集合的包含关系。【解析】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图，由图知是大的集合，是最小的集合，因此，选项a、c、d错误，选项b正确。故选b。例2.（2012年上海市文4分）若集合，则 【答案】。【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对值不等式的解法。【解析】由题意，得，。例3.（2012年山东省文5分）函数的定义域为【 】 a b c d 【答案】b。【考点】函数的定义域。分式、对数、二次根式有意义的条件。【解析】根据分式、对数、二次根式有意义的条件，得，解得。 函数的定义域为。故选b。例4. （2012年重庆市理5分）设平面点集，则所表示的平面图形的面积为【 】（a） （b） （c） （d）【答案】d。【考点】线性规划中可行域的画法，双曲线和圆的对称性。【分析】，或。 又， 满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分和。的图象都关于直线对称，和区域的面积相等，和区域的面积相等，即圆内部分和的面积之和为单位圆面积的一半，为。故选d。二、数形结合思想在函数问题中的应用：函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。特别地，数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。典型例题：例1. （2012年山东省理5分） 设 ，则“函数在r上是减函数 ”，是“函数在r上是增函数”的【 】a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件【答案】a。【考点】充分必要条件的判断，指数函数和幂函数的性质。【解析】p：“函数在r上是减函数 ”等价于，q：“函数在r上是增函数”等价于且，即且，p是q成立的充分不必要条件.。故选a。例2. （2012年北京市理5分）已知，若同时满足条件：，则m的取值范围是 【答案】。【考点】简易逻辑，函数的性质。【解析】由得。 条件，当时，。 当时，不能做到在时，所以舍去。 作为二次函数开口只能向下，且此时两个根为。 为保证条件成立，必须。 又由条件的限制，可分析得出时，恒负。 就需要在这个范围内有得正数的可能，即4应该比两根中小的那个大。 由得， 当时，解得交集为空集，舍去。 当时，两根同为24，舍去。当时，。综上所述，。例3. （2012年全国大纲卷理5分）已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则【 】a或2 b或3 c或1 d或1【答案】a【考点】导数的应用。【解析】若函数图像与轴有两个不同的交点，则需要满足其中一个为零即可。因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可知只有在极大值点或者极小值点有一点在轴时满足要求（如图所示）。 ，。 当时，函数取得极值。由或可得或，即。故选a。例4. （2012年全国课标卷理5分）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为【 】 【答案】。【考点】反函数的性质，导数的应用。【解析】函数与函数互为反函数，它们的图象关于对称。 函数上的点到直线的距离为 设函数，则，。 由图象关于对称得：最小值为。故选。例5. （2012年北京市理5分）某棵果树前n年的总产量s与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为【 】a.5 b.7 c.9 d.11【答案】c。【考点】直线斜率的几何意义。【解析】据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可以用导数来解，但图像不连续，所以只能是广义上的。实际上，前n年的年平均产量就是前n年的总产量s与n的商：，在图象上体现为这一点的纵坐标与横坐标之比。 因此，要使前m年的年平均产量最高就是要这一点的纵坐标与横坐标之比最大，即这一点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当n=9时，倾斜角最大。从而m值为9。故选c。例6. （2012年天津市理5分）函数在区间内的零点个数是【 】（a）0 （）1（）2（）3【答案】b。【考点】函数的零点的概念，函数的单调性，导数的应用。【分析】，函数在定义域内单调递增。 又，。 函数在区间（0，1）内有唯一的零点。故选b。例7. （2012年山东省理5分）设函数，若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点a（x1，y1）,b(x2，y2),则下列判断正确的是【 】a. 当a0时，x1x20 b. 当a0， y1y20时，x1x20，y1y20时，x1x20， y1y20【答案】b。【考点】导数的应用。【解析】令，则。设，。令，则要使的图像与图像有且仅有两个不同的公共点必须：，整理得。取值讨论：可取来研究。当时，解得，此时，此时；当时，解得，此时，此时。故选b。例8. （2012年重庆市理5分）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如题图所示，则下列结论中一定成立的是【 】（a）函数有极大值和极小值 （b）函数有极大值和极小值 （c）函数有极大值和极小值 （d）函数有极大值和极小值【答案】d。【考点】函数在某点取得极值的条件，函数的图象。【分析】由图象知，与轴有三个交点，2，1，2， 。 由此得到， ，和在上的情况：212000000极大值非极值极小值 的极大值为，的极小值为。故选d。例9. （2012年天津市理5分）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 .【答案】。【考点】函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点。【分析】函数，当时，当时，综上函数。作出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在蓝色或黄色区域内，如图，此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是。例10. （2012年福建省理4分）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设，且关于x的方程恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 【答案】。【考点】新定义，分段函数的图象和性质，分类讨论和数形结合思想的应用。【解析】根据新运算符号得到函数为， 化简得：。如图，作出函数和的图象，如果有三个不同的实数解，即直线与函数f(x)的图象有三个交点，如图，（1）当直线过抛物线的顶点或时，有两个交点；（2）当直线中时，有一个交点；（3）当直线中时，有三个交点。设三个交点分别为：x1，x2，x3，且依次是从小到大的顺序排列，所以x1即为方程2x2x小于0的解，解得x1，此时x2x3，所以x1x2x3。与函数f(x)有2个交点的最低位置是当ym与x轴重合时，此时x1x2x30。所以当方程有三个不等实根时，x1x2x3。例11. （2012年全国课标卷文5分）当时，则a的取值范围是【 】 （a）(0，) （b）(，1) （c）(1，) （d）(，2)【答案】b。【考点】指数函数和对数函数的性质。【解析】设,作图。 当时，, 在时, 的图象在的图象上方。 根据对数函数的性质，。单调递减。 由时，得，解得。 要使时，必须。 a的取值范围是(，1) 。故选b。例12. （2012年北京市文5分）函数的零点个数为【 】a.0 b.1 c.2 d.3【答案】b。【考点】幂函数和指数函数的图象。【解析】函数的零点个数就是（即）解的个数，即函数和的交点个数。如图，作出图象，即可得到二者交点是1 个。所以函数的零点个数为1。故选b。例13. （2012年湖南省文5分）设定义在r上的函数是最小正周期为2的偶函数，是的导函数，当时，01；当 且时 ，则函数在-2，2 上的零点个数为【】a .2 b .4 c.5 d. 8 【答案】。【考点】函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题。【解析】由当 且时 ，知为减函数；为增函数。又时，0f(x)1，在r上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，在同一坐标系中作出和草图像如下，由图知在-2，2 上的零点个数为4个。例14. （2012年福建省文5分）已知f(x)x36x29xabc，abc，且f(a)f(b)f(c)0.现给出如下结论：f(0)f(1)0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是【 】a b c d【答案】c。【考点】函数的零点和单调性。【解析】对函数求导得：f(x)3x212x9，令f(x)0，解得x11，x23。当x1时，函数f(x)单调递增；当1x3时，函数f(x)单调递增。因为ab0，且方程有解，故a0，所以a0,1b3。画出函数f(x)的图象，如图所示显然f(0)0，f(3)0，所以f(0)f(1)0。所以正确。故选c。例15. （2012年重庆市文5分）设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是【 】 （a） （b） （c） （d）【答案】c。【考点】函数的图象，函数单调性与导数的关系。【分析】由函数在处取得极小值可知，当时，则，函数的图象与轴相交； 当左侧附近时，则，函数的图象在轴上方；当右侧附近时，则，函数的图象在轴下方。对照选项可知只有c符合题意。故选c。例16. （2012年陕西省理5分）下图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】。【考点】抛物线的应用。【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，抛物线过点（2，2，）.代入得，即。抛物线方程为。当时，水位下降1米后，水面宽米。三、数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用：解析几何的基本思想就是数形结合，在圆锥曲线解题中将数形结合的数学思想运用于对点、线的性质及其相互关系的研究，借助于图象研究曲线的性质是一种常用的方法。典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知为双曲线的左右焦点，点在上，则【 】a b c d【答案】c。【考点】双曲线的定义和性质的运用，余弦定理的运用。【解析】首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。由可知，。设，则。根据双曲线的定义，得。在中，应用用余弦定理得。故选c。例2. （2012年全国课标卷理5分）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为【 】 【答案】。【考点】椭圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义。【解析】是椭圆的左、右焦点，。是底角为的等腰三角形，。为直线上一点，。又，即。故选。例3. （2012年北京市理5分）在直角坐标系xoy中.直线l过抛物线的焦点f，且与该抛物线相交于a、b两点，其中点a在x轴上方。若直线l的倾斜角为60，则oaf的面积为 【答案】。【考点】抛物线的性质，待定系数法求直线方程，直线和抛物线的交点。【解析】根据抛物线的性质，得抛物线的焦点f（1，0）。 直线l的倾斜角为60，直线l的斜率。 由点斜式公式得直线l的方程为。 。 点a在x轴上方，。 oaf的面积为。例4. （2012年四川省理4分）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是 。【答案】3。【考点】椭圆的性质。【解析】画出图象，结合图象得到的周长最大时对应的直线所在位置即可求出结论如图，设椭圆的右焦点为e。由椭圆的定义得：的周长：。，当ab过点e时取等号。即直线过椭圆的右焦点e时的周长最大，此时的高为：ef=2，直线。把代入椭圆得。当的周长最大时，的面积是。例5. （2012年全国课标卷理12分）设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值。【答案】解：（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边。 点到准线的距离。 ，。 。 ，。 圆的方程为。 （2）由对称性设，则 三点在同一直线上，点关于点对称，得：。，即 ，直线，整理得。 直线的斜率为。 又直线与平行，直线的斜率为。 由得，。 直线与只有一个公共点，令，得。切点。直线，整理得坐标原点到距离的比值为。【考点】抛物线和圆的性质，两直线平行的性质，点到直线的距离，导数和切线方程。【解析】（1）由已知，的面积为，根据抛物线和圆的性质可求得以及，从而得到圆的方程。 （2）设，根据对称性得，由在准线上得到，从而求得的坐标（用表示），从而得到直线的方程和斜率。由直线与平行和直线与只有一个公共点，应用导数可求出直线的方程。因此求出坐标原点到距离的比值。例6. （2012年北京市理14分）已知曲线c：（1）若曲线c是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为a，b（点a位于点b的上方），直线与曲线c交于不同的两点m、n，直线y=1与直线bm交于点g。求证：a，g，n三点共线。【答案】（1）原曲线方程可化为：。 曲线c是焦点在x轴点上的椭圆， ，是。 若曲线c是焦点在x轴点上的椭圆，则m的取值范围为。（2）证明：m=4，曲线c的方程为。 将已知直线代入椭圆方程化简得：。由得，。由韦达定理得：。设。则mb的方程为，。 an的方程为。欲证a，g，n三点共线，只需证点g在直线an上。将代入，得，即，即，即，等式恒成立。由于以上各步是可逆的，从而点在直线an上。a，g，n三点共线。【考点】椭圆的性质，韦达定理的应用，求直线方程，三点共线的证明。【解析】（1）根据椭圆长轴大于短轴和长、短轴大于0得不等式组求解即得m的取值范围。 （2）欲证a，g，n三点共线，只需证点g在直线an上。故需求出含待定系数的直线mb和an的方程，点g的坐标，结合韦达定理的应用用逆推证明。也可通过证明直线mb和an在时横坐标相等来证a，g，n三点共线或直线an和ag斜率相等。还可用向量求解。例7. （2012年广东省理14分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c1：的离心率，且椭圆c上的点到q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆c的方程；（2）在椭圆c上，是否存在点m（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆o：x2+y2=1相交于不同的两点a、b，且oab的面积最大？若存在，求出点m的坐标及相对应的oab的面积；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1），可设 。 ，故椭圆c的方程为。设为椭圆上的任一点，则。，当时，取得最大值，即取得最大值。又椭圆c上的点到q（0，2）的距离的最大值为3，解得。所求的椭圆c方程为。（2）假设点m（m，n）存在，则 ， 即圆心o到直线的距离。 。（当且仅当，即时取等号）。解得，即或或或。 所求点m的坐标为，对应的oab的面积为。【考点】椭圆的性质，两点间的距离公式，二次函数的最大值，基本不等式的应用。【解析】（1）由可得椭圆c的方程为，设设为椭圆上的任一点，求出的表达式，一方面由二次函数的最大值原理得的最大值，另一方面由已知椭圆c上的点到q（0，2）的距离的最大值为3列式求出，从而得到椭圆c的方程。 （2）假设点m（m，n）存在，求出的表达式，应用基本不等式求得oab的面积最大时m，n的值和对应的oab的面积。四、数形结合思想在方程与不等式问题中的应用：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。特别地，线性规划问题是在约束条件（不等式）下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。典型例题：例1. （2012年陕西省理5分）设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 .【答案】2。【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，简单线性规划。【解析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域d，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可：，曲线及该曲线在点处的切线方程为。由轴和曲线及围成的封闭区域为三角形。在点处取得最大值2。例2. （2012年浙江省理14分）已知，函数（）证明：当时， （i）函数的最大值为； （ii）；（）若对恒成立，求的取值范围【答案】() 证明：()当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，此时的最大值为：|2ab|a。综上所述：函数在0x1上的最大值为|2ab|a。() 设， ，令。当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，|2ab|a。综上所述：函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a，即|2ab|a0在0x1上恒成立。()解：由()知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大。11对x0，1恒成立，|2ab|a1。取b为纵轴，a为横轴则可行域为：和，目标函数为zab。作图如下：由图易得：当目标函数为zab过p(1，2)时，有所求ab的取值范围为：。【考点】分类思想的应用，不等式的证明，利用导数求闭区间上函数的最值，简单线性规划。【解析】() ()求导后，分b0和b0讨论即可。() 利用分析法，要证|2ab|a0，即证|2ab|a，亦即证在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a。 （）由（）知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大根据11对x0，1恒成立，可得|2ab|a1，从而利用线性规划知识，可求ab的取值范围。例3. （2012年四川省理5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是【 】a、1800元 b、2400元 c、2800元 d、3100元【答案】c。【考点】线性规划的应用。【解析】设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得 利润为z元/天，则由已知，得 z=300x+400y，且画可行域如图所示，目标函数z=300x+400y可变形为y= 这是随z变化的一族平行直线，解方程组得，即a（4,4） 。故选c。例4. （2012年天津市理5分）设，若直线与圆相切，则的取值范围是【 】（a） （）（）（）【答案】d。【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法【分析】直线与圆相切，圆心到直线的距离为，。又，即。设，则，解得。故选d。例5. （2012年广东省理5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为【】a12 b11 c3 d【答案】b。【考点】简单线性规划。【解析】如图，作出变量x，y约束条件的可行域，解得最优解（3,2）当时，目标函数z=3x+y的最大值为。故选b。例6. （2012年江西省理5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为【 】a50，0 b30，20 c20，30 d0，50【答案】b。【考点】建模的思想方法，线性规划知识在实际问题中的应用。【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为.线性约束条件为，即。如图，作出不等式组表示的可行域,易求得点。平移直线，可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且（万元）。故选b。例7. （2012年湖南省理5分）已知两条直线 ：和：，与函数的图像从左至右相交于点a，b ，与函数的图像从左至右相交于c,d .记线段ac和bd在x轴上的投影长度分别为 , ,当m 变化时，的最小值为【 】a b. c. d. 【答案】b。【考点】数形结合，函数的图象，基本不等式的应用。【解析】如图，在同一坐标系中作出，图像， 由，得，由，得。根据题意得。，。故选b。例8. （2012年福建省理5分）若函数图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为【 】a. b.1 c. d2【答案】b。【考点】线性规划。【解析】约束条件确定的区域为如图阴影部分，即abc的边与其内部区域，分析可得函数与边界直线交与点（1，2），若函数图象上存在点（x，y）满足约束条件，即图象上存在点在阴影部分内部，则必有m1，即实数m的最大值为1。故选b。例9. （2012年辽宁省理5分）设变量x，y满足则的最大值为【 】(a) 20 (b) 35 (c) 45 (d) 55【答案】d。【考点】简单线性规划问题。【解析】如图，画出可行域：根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大，最大值为55。故选d。例10. （2012年全国大纲卷理5分）若满足约束条件，则的最小值为 。【答案】。【考点】线性规划。【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点（3，0）时，目标函数最大，当目标函数过点（0，1）时最小。例11.（2012年全国课标卷理5分）设满足约束条件：；则的取值范围为 【答案】。【考点】简单线性规划。【解析】求的取值范围，则求出在约束条件下的最大值和最小值即可。作图，可知约束条件对应四边形边边际及内的区域： 。 当时，取得最大值3；当时，取得最小值。 的取值范围为。例12.（2012年安徽省理5分）若满足约束条件：；则的取值范围为 来【答案】。【考点】简单线性规划。【解析】求的取值范围，则求出的最大值和最小值即可。作图，可知约束条件对应边际及内的区域：。 当时，取得最大值0；当时，取得最小值。 的取值范围为。例13.（2012年广东省理5分）不等式的解集为。【答案】。【考点】分类讨论的思想，解绝对值不等式。【解析】分类讨论：由不等式得，当时，不等式为，即恒成立；当时，不等式为，解得，；当时，不等式为，即不成立。综上所述，不等式的解集为。另解：用图象法求解：作出图象，由折点参考点连线；运用相似三角形性质可得。例14.（2012年江苏省5分）已知正数满足：则的取值范围是 【答案】。【考点】可行域。【解析】条件可化为：。 设，则题目转化为：已知满足，求的取值范围。 作出（）所在平面区域（如图）。求出的切线的斜率，设过切点的切线为， 则，要使它最小，须。 的最小值在处，为。此时，点在上之间。 当（）对应点时， ， 的最大值在处，为7。 的取值范围为，即的取值范围是。五、数形结合思想在三角函数问题中的应用：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。典型例题：例1. （2012年四川省理5分）设函数，是公差为的等差数列，则【 】a、 b、 c、 d、【答案】d。【考点】等差数列性质，三角函数性质。【解析】，。是公差为的等差数列，。，解得。故选d。关于， 可化为。由，设，作图可得二者交点在处：例2. （2012年上海市理5分）设，在中，正数的个数是【 】a25 b50 c75 d100【答案】 d。【考点】正弦函数的周期性。【解析】对于（只有)，都为正数。 当时，令，则，画出终边如右， 其终边两两关于轴对称，即有， 其中=26,27,49，此时。， ，。从而当=26,27,49时，都是正数。又。同上可得，对于从51到100的情况同上可知都是正数，故选d。例3. （2012年浙江省理14分）在中，内角，的对边分别为，已知，（）求的值；（）若，求的面积【答案】解：()cosa0，sina。又coscsinbsin(ac)sinacoscsinccosacoscsinc整理得：tanc。（）由图辅助三角形知：sinc，。又由正弦定理知：，解得。abc的面积为：s。【考点】三角恒等变换，正弦定理，三角形面积求法。【解析】()由a为三角形的内角，及cosa的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sina的值，再将已知等式的左边sinb中的角b利用三角形的内角和定理变形为（a+c），利用诱导公式得到sinb=sin（a+c），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanc的值。（）由tanc的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinc 和cosc的值，将cosc的值代入中，即可求出的值，由求出c的值，最后由s即可求出三角形abc的面积。例4. （2012年上海市文5分）若（），则在中，正数的个数是【 】a、16 b、72 c、86 d、100【答案】c。【考点】正弦函数的周期性和对称性。【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项： 在中，分成7部分，加上。在7部分中，每一部分正数的个数是相同的。 讨论一个周期的情况： 如图， 中，当时，所以均为正数；当时，由于正弦函数的性质，知也为正数；当时，由于正弦函数的性质，知为0。因此共有12个正数。 另为正数。 在中，正数的个数是。故选c。例5. （2012年湖南省文12分）已知函数的部分图像如图所示.（）求函数的解析式；（）求函数的单调递增区间.【答案】解：（）由题设图像知，周期，。点在函数图像上，。又，。，即。又点在函数图像上，。函数的解析式为。（）。由得的单调递增区间是。【考点】三角函数的图像和性质。【解析】（）结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出，从而求出的解析式。 （）用（）的结论和三角恒等变换及的单调性求得。六、数形结合思想在平面向量问题中的应用：平面向量中应用勾股定理、面积公式、相似三角形的相似比、三角函数等将抽象的向量问题转化纯粹的代数运算。典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）中，边上的高为，若 ，则【 】a b c d 【答案】d。【考点】向量垂直的判定，勾股定理，向量的加减法几何意义的运用。【解析】，在中，根据勾股定理得。由等面积法得，即，得。又点在上，。故选d。例2. （2012年四川省理5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是【 】a、 b、 c、 d、且【答案】c。【考点】充分条件。【解析】若使成立， 即要、共线且方向相同，即要。所以使成立的充分条件是。故选c。例3. （2012年天津市理5分）已知为等边三角形，设点满足，若，则【 】（a） （）（）（）【答案】a。【考点】向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.。【分析】=，=， 又，且，即，即，解得。故选a 。例4. （2012年湖南省理5分）在abc中，ab=2，ac=3，= 1则【 】a. b. c. d. 【答案】 a。【考点】平面向量的数量积运算，余弦定理。【解析】如图知。又由余弦定理得，即，解得。故选a。例5 （2012年上海市理4分）在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 .【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系。平行四边形中，。设，则。由得，。的横坐标为，的纵坐标为。函数在有最大值，在时，函数单调增加。在时有最小值2；在时有最大值5。的取值范围是。例6. （2012年北京市理5分）已知正方形abcd的边长为l，点e是ab边上的动点。则的值为 ； 的最大值为 【答案】1；1。【考点】平面向量的运算法则。【解析】如图，根据平面向量的运算法则，得 。 ，正方形abcd的边长为l，。 又， 而就是在上的射影，要使其最大即要点e与点b重合，此时。 的最大值为。例7. （2012年浙江省理4分）在中，是的中点，则 【答案】。【考点】平面向量数量积的运算。【解析】此题最适合的方法是特殊元素法：如图，假设abc是以abac的等腰三角形，am3，bc10，由勾股定理得abac。则cosbac，。例8. （2012年湖南省文5分）如图，在平行四边形abcd中 ，apbd，垂足为p，且 ，则= .【答案】18【考点】平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算。【解析】设，则=。七、数形结合思想在立体几何问题中的应用：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。典型例题：例1. （2012年北京市理5分）某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是【 】a. b. c. d. 【答案】 b。【考点】三棱锥的三视图问题。【解析】如下图所示。图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系、等腰三角形的性质和三角形面积公式，可得：这里有两个直角三角形，一个等腰三角形。 该三梭锥的表面积是。故选b。例2. （2012年四川省理5分）如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为【 】a、 b、 c、 d、【答案】a。【考点】球面距离及相关计算，向量和反三角函数的运用。【解析】要求、两点间的球面距离，由于，故只要求得即可。从而可求出即可求（比较繁）或用向量求解：如图，以o为原点，分别以在平面上的射影、所在直线为轴。过点作（即面）的垂线，分别过点作轴的垂线。，。面与平面的角为，即，。 。故选a。例3.（2012年重庆市理5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是【 】（a） （b） （c） （d）【答案】a。【考点】异面直线的判定，棱锥的结构特征，勾股定理和余弦定理的应用。【分析】如图所示，设四面体的棱长为，取中点p，连接，所以，在中，由勾股定理得=。在中，。，。故选a。例4. （2012年上海市理4分）如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 .【答案】。【考点】四面体中线面的关系，椭圆的性质。【解析】作于，连接，则，平面。又平面，。 由题设，与都在以为焦距的椭球上，且、都垂直于焦距所在直线。=。 取中点，连接，。四面体的体积。显然，当在中点，即是短轴端点时，有最大值为。例5（2012年四川省理4分）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是 。【答案】90。【考点】异面直线夹角问题。【解析】如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系.设正方体边长为2，则（0,0,0），n（0,2,1），m（0,1,0）a1（2,0,2）。cos = 0。，即异面直线与所成角为90。例6（2012年上海市理12分）如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是矩形，pa底面abcd，e是pc的中点.已知ab=2，ad=2，pa=2.求：（1）三角形pcd的面积；（6分