2016-2017学年人教A版选修2-1___2.4.1__抛物线及其标准方程学案1.doc

24 抛物线2.4.1抛物线及其标准方程抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线问题1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是AB是直角三角形的一条直角边问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：|DA|DC|.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.抛物线的标准方程平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(1，0)，C(0,1)，D(0，1)；l1：x1，l2：x1，l3：y1，l4：y1.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y24x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y24x.问题3：到定点C和定直线l3，到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？提示：x24y，x24y.抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(，0)xy22px(p0)(，0)xx22py(p0)(0，)yx22py(p0)(0，)y1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线2抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点取决于一次项，开口取决于正负号，即标准方程中，如果含的是x的一次项，则焦点就在x轴上，并且焦点的横坐标为(或)，相应的准线是x(或x)；如果含的是y的一次项，有类似的结论3抛物线标准方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)准线方程为2y40；(2)过点(3，4)；(3)焦点在直线x3y150上思路点拨精解详析(1)准线方程为2y40，即y2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x22py(p0)又2，所以2p8，故抛物线的标准方程为x28y.(2)点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x2x2p1y(p10)把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(3)令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0)所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.一点通求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2ay(a0)1以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()Ay216xBy216xCy28x Dy28x解析：由双曲线方程1，可知其焦点在x轴上由a216，得a4，该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，抛物线的焦点为F(4,0)设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由4，得p8，故所求抛物线的标准方程为y216x.答案：A2已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m的值；(2)求抛物线的焦点和准线方程解：(1)法一：抛物线焦点在x轴上，且过点M(3，m)，设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点坐标F(，0)由题意知解得或所求抛物线方程为y28x，m2.法二：设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点坐标F(，0)，准线方程x.由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于5，即点M到准线的距离等于5，则35，p4，抛物线方程为y28x.又点M(3，m)在抛物线上，m224，m2，所求抛物线方程为y28x，m2.(2)p4，抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程是x2.抛物线定义的应用例2已知抛物线的方程为x28y，F是焦点，点A(2,4)在此抛物线上求一点P，使|PF|PA|的值最小思路点拨精解详析(2)20)，则1022p(2)，p25，抛物线方程为x250y，即yx2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x8时，y821.28，即船体在x8之间通过，B(8，1.28)，此时B点距水面6(1.28)4.72(米)而船体高为5米，无法通行又54.720.28(米)，0.280.047，15071 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔一点通涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解5探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是()A11.25 cm B5.625 cmC20 cm D10 cm解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y22px(p0)A(40,30)在抛物线上，3022p40，p，光源到反光镜顶点的距离为5.625 (cm)答案：B6一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为(，)，如图所示设隧道所在抛物线方程为x2my，则()2m()，ma，即抛物线方程为x2ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82ay，即y.欲使卡车通过隧道，应有y()3，即3.解得a12.21或a0)，得其准线方程为x.又圆的方程为(x3)2y216，圆心为(3,0)，半径为4.依题意，得3()4，解得p2.答案：26(2012陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，抛物线方程为x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2米答案：27根据下列条件求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.解：(1)双曲线方程化为1，左顶点为(3,0)由题意设抛物线方程为y22px(p0)且3，p6，方程为y212x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y22px(p0)，A(m，3)由抛物线定义得5|AF|m|.又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x.8如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OP1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少