高考数学总复习 第2章 第3节 函数的单调性与最值课件 新人教A版.ppt

第三节函数的单调性与最值 1 理解函数的单调性 最大值 最小值及其几何意义 2 会运用函数的图象理解和研究函数的性质 一 函数的单调性1 单调函数的定义 f x1 f x2 f x1 f x2 逐渐下降 逐渐上升 2 单调区间的定义若函数f x 在区间d上是或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做f x 的单调区间 增函数 减函数 区间d 函数y f x 的图象如图所示 那么函数f x 的增区间是 0 0 吗 提示 不是 函数f x 的增区间是 0 和 0 不是 0 0 二 函数的最值 f x m f x0 m f x m f x0 m 解析 由函数单调性的定义易知y x3在 0 上为增函数 答案 d 答案 d 答案 a 解析 作y f x g x 的图象如下图所示 由图可知 当x 2时 y f x g x 取得最大值1 答案 1 5 函数y x 3 x 的递增区间是 1 用定义证明函数单调性的一般步骤 1 取值 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 2 作差 即f x2 f x1 或f x1 f x2 并通过通分 配方 因式分解等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 3 判号 根据给定的区间和x2 x1的符号 确定差f x2 f x1 或f x1 f x2 的符号 当符号不确定时 可以进行分类讨论 4 定论 根据定义得出结论 2 1 若f x 与g x 在定义域内均是增函数 减函数 那么f x g x 在其公共定义域内是增函数 减函数 2 复合函数的单调性判断 要注意掌握 同则增 异则减 的法则 1 求函数的单调性或单调区间的方法 1 利用已知函数的单调性 2 定义法 先求定义域 再利用单调性定义 3 图象法 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 可由图象的直观性写出它的单调区间 4 导数法 利用导数取值的正负确定函数的单调区间 2 求复合函数y f g x 的单调区间的步骤 1 确定定义域 2 将复合函数分解成基本初等函数 y f u u g x 3 分别确定这两个函数的单调区间 4 若这两个函数同增或同减 则y f g x 为增函数 若一增一减 则y f g x 为减函数 即 同增异减 求出下列函数的单调区间 1 f x x2 4x 3 2 f x log2 x2 1 思路点拨 注意 1 函数含有绝对值 故可将其转化为分段函数并作出图象求解 2 中的函数为函数y log2u u x2 1的复合函数 要注意其定义域 自主解答 1 先作出函数y x2 4x 3的图象 由于绝对值的作用 把x轴下方的部分翻折到上方 可得函数的图象 如图 所示 由图可知 函数的增区间为 1 2 3 减区间为 1 2 3 2 函数的定义域为x2 1 0 即 x x 1或x 1 令u x x2 1 图象如图 所示 由图象知 u x 在 1 上是减函数 在 1 上是增函数 而f u log2u是增函数 故f x log2 x2 1 的单调增区间是 1 单调减区间是 1 于是可得函数f x x2 4 x 3的图象 如图所示 由图可知 函数的增区间为 2 0 2 减区间为 2 0 2 函数的最值求法 1 若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数 常用配方法 2 函数单调性的变化是求最值和值域的主要依据 函数的单调区间求出后 再判断其增减性是求最值和值域的前提 当然 函数图象是函数单调性的最直观体现 3 基本不等式法 当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法 4 导数法 当函数较复杂 如指数 对数函数与多项式结合 时 一般采用此法 5 数形结合法 画出函数图象 找出坐标的范围或分析条件的几何意义 在图上找其变化范围 思路点拨 规范解答 1 证明 法一 函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 令x y 0 得f 0 0 利用赋值法 求得f 0 的值2分再令y x 得f x f x 判断函数f x 的奇偶性4分在r上任取x1 x2 则x1 x2 0 紧扣单调性定义 设出x1 x2 突出取值的任意性f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 f x1 x2 0 作差变形 进而判断出f x1 f x2 的符号即f x1 f x2 因此f x 在r上是减函数 回扣减函数的定义 呈现结论6分 法二 设x1 x2 紧扣单调性的定义 设出x1 x2则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 作差变形 将函数值的差转化为差的函数值 以利于应用题设条件3分 又 x 0时 f x 0 f x1 x2 0 利用条件 判断f x1 x2 的符号即f x1 f x2 f x 在r上为减函数 结合减函数定义 说明结论成立 2 f x 在r上是减函数 6分 f x 在 3 3 上也是减函数 判断出f x 在 3 3 上的单调性 f x 在 3 3 上的最大值和最小值分别为f 3 与f 3 而f 3 3f 1 2 f 3 f 3 2 9分由单调性判断最值并求出 f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 归纳小结 呈现结论12分 错源 忽视了定义域分界点上的函数值大小致误 纠错 误选b项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件 要知道函数在r上为减函数 还需使