一元一次函数与方程、不等式.docx

一次函数与方程、不等式教学设计 东良中学 王军霞【教学目标】 1.知识与技能（1）理解一次函数与方程、不等式的关系；（2）会根据一次函数的图象解决问题。2.过程与方法通过探索，初步掌握用函数的观点看待方程的方法。3.情感态度和价值观实例引入，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学、探索数学奥秘的意愿。【教学重点】一次函数与方程、不等式的关系。【教学难点】利用图象解决方程、不等式的问题。【教学方法】自学与小组合作学习相结合的方法。【课前准备】教学课件。【课时安排】1课时【教学过程】一、情景导入【过渡】上节课我们学习了一次函数的相关性质。现在，我有一个问题，想要考一下大家。（1）解方程5x+10=0。（2）当自变量x为何值时，函数y=5x+10的值为0？【过渡】这两个问题其实都特别简单，大家观察这两个问题，有什么发现吗？这两个问题有什么联系呢？（学生回答）【过渡】其实，这两个问题在本质上是一样的问题，这就展示了方程与函数的关系，今天我们就来探究一下函数与方程及不等式之间的关系。21世纪教育网版权所有二、新课教学1一次函数与方程【过渡】经过刚刚的问题，我们再来看一下课本P96的思考题。仔细观察这三个方程，你能发现什么？这三个方程等号左边都是2x+1，等号右边分别是3、0、-1。【过渡】结合我们之前学习的一次函数，你能发现这两者之间有什么联系吗？（学生回答）【过渡】通过对比，我们发现，这三个方程可以看做是一次函数y=2x+1函数值分别为3，0，-1的情况，即当y分别等于3、0、-1时，x的取值。而这三个方程的解则分别对应着此时自变量的值，即图象上A，B，C三点的横坐标。21因此，我们做出函数图象，能够得到与方程的解相同的数，即是方程的解。这也就是一次函数与一元一次方程的关系。21cnjy【过渡】对于任何的一元一次方程来说，一元一次方程都可以转化为kx+b=c的形式。求解方程的解时，也就是求y=kx+b，当y=c时，自变量x的值。对于任意一个一元一次方程ax+b=0(a0)，它有唯一解，我们可以把这个方程的解看成函数y=ax+b的函数值为0时，与之对应的自变量的值，也就是函数与x轴的交点。因此，从不同的角度，我们可以总结一元一次方程与一次函数的关系：从数的角度看：求ax+b=c的解，就是求x为何值时，y=ax+b的函数值为0。从图象的角度看：方程的解是函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标。【过渡】学习了一次函数与方程的关系之后，我们再来看一次函数与不等式之间的联系。讲解课本思考内容。【过渡】我们同样发现，不等式的求解，同样可以与一次函数相联系：对于任意一个一元一次不等式ax+b0(a0)，我们可以把这个不等式的解集看成函数y=ax+b当y0时自变量x的取值范围21世纪*教育网从数的角度看：求ax+b0或ax+b0的解,也就是,x为何值时，函数y=ax+b的值大于或小于0;从图象的角度看: 求ax+b0就是自变量x为何值时直线y=ax+b的图象在x轴上方; 求ax+b0就是自变量x为何值时直线y=ax+b的图象在x轴下方。www-2-1-cnjy-com【过渡】这种一元一次方程和不等式可以通过一次函数的关系求解，那么对于二元一次方程来说，是否有同样的练习呢？【过渡】我们先来看课本的问题3。【过渡】通过题意，我们能够知道气球上升的时间在0与60min之间，即x的取值范围，两个气球的关系式都能够很轻易的写出。21*cnjy*com对于第二个问题，对于到达同一高度，我们能够很简单的想到，两个函数解析式的函数值相等就是达到同一高度。我们需要同时求出x和y的值。大家第一时间想到的是什么方法呢？（学生回答）【过渡】二元一次方程组就是解决这个问题的方法，我们将两个函数解析式当做二元一次方程组，然后求解，就能够得到我们需要的答案。【来源：21cnj*y.co*m】【过渡】刚刚的一元一次方程，我们采用了函数图象的解决方法，那么这里我们能用函数图象去解决问题吗？【过渡】我们在同一个直角坐标系中作出两个函数的图象，根据题意，两个图象的交点就是我们所求的值。每个二元一次方程都可以改写为y=kx+b的形式，于是一个二元一次方程组也对应两条直线。从数的角度看：解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从形的角度看：解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。【知识巩固】1、直线y=2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b=0的解是（A）Ax=2Bx=4Cx=8Dx=102、直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是 (-1,0) ，不等式-3x-30的解集是 x-1 。3、当x 2 时，直线y=-x+2上的点在x轴的下方。4、画出函数y=- 1/2 x+2/3 的图象，给合图象回答问题（1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？（2）当x取何值时，y0，y=0，y0？（3）当y3/2 时，求x的取值范围。解：如图所示：（1）根据图象可得随着自变量x的增大，函数值y增大，它的图象从左到右呈上升趋势；（2）根据图象可得x-3时y0；x=-3时y=0，x-3时，y0；（3）根据图象可得y 3/2 时x05、如图所示的是函数y1=kx+b与y2=mx+n的图象，ykx+bymx+n（1）方程 的解是 x=3，y=4 ；21教育网（2）y1中变量y1随x的增大而 减小 ；（3）在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移1个单位，恰好在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的关系式y=6、某单位计划国庆组织员工到泰山旅游，人数估计在1025人之间，甲、乙两个旅行团服务质量相同，且组到泰山的价格都是每人200元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予游客七五折优惠；乙旅行社表示可免去1人费用，其余人8折优惠 。 2-1-c-n-j-y （1）分别写出选择甲、乙旅行社所需费用y（元）与人数x（人）之间的函数关系 （2）设y表示选择乙旅行社比甲旅行社多付费用，写出y与x的函数关系式解：（1）设人数为X,甲旅行社费用为，乙旅行社费用，并且有10x25。 =0.75200x ， =0.8200（x-1） 得： =150x ， =160x-160 （2）如果， 则150x 160x-160 ， x 16 ；如果， ，则150x 160x-160 ， x 16 ；如果， = ，则150x=160x-160 ， x=16 ；因为10x25所以 当x=16甲乙两家的旅游总费用一样； 当10x16甲家比乙家便宜； 当 16x 25乙家比甲家便宜【达标检测】1、一次函数y=kx+b（k0）的图象如图所示，当y0时，x的取值范围是（C）A. x0 B. x0C. x2 D. x22、如果实数k，b满足kb0且不等式kxb的解集是xb /k ，那么函数y=kx+b的图象只可能是（A）【来源：21世纪教育网】A BC D 3、设一次函数y=-x+3，当0x3时，函数y的最小值是 0 4、已知一次函数y=（4m+1）x-（m+1） （1）m为何值时，y随x的增大而减小？（2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴下方？（3）m为何值时，直线位于第二、三、四象限？ 解：（1）一次函数y=（4m+1）x-（m+1），y随x的增大而减小，4m+10，解得：m- 1/4，答：当m-1/4 时，y随x的增大而减小（2）一次函数y=（4m+1）x-（m+1），直线与y轴的交点在x轴下方，-（m+1）0，解得：m-1，且m-1/4 ，答：当m-1且m- 1/4 时，直线与y轴的交点在x轴下方（3）一次函数y=（4m+1）x-（m+1），直线位于第二、三、四象限，4m+10且-（m+1）0，解得：-1m- 1/4 ，答：当：-1m-1/4时，直线位于第二、三、四象限。5、在直角坐标系中，直线l1经过（2，3）和（-1，-3），直线l2经过原点O，且与直线l1交于点P（-2，a）21cnjycom（1）求a的值；（2）（-2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？（3）设直线l1与y轴交于点A，你能求出APO的面积吗？解：（1）直线l1经过（2，3）和（-1，-3），2k+b3； k+b3解得：k2；b1，直线l1的解析式为：y=2x-1，把P（-2，a）代入y=2x-1得：a=2（-2）-1=-5；（2）设L2的解析式为y=kx，把P（-2，-5）代入得-5=-2k，解得k=5/2 ，所以L2的解析式为y=5/2 x，所以点（-2，-5）可以看作是解二元一次方程组y2x1y5/2x所得；（3）对于y=2x-1，令x=0，解得y=-1，则A点坐标为（0，-1），所以SAPO=21=1【板书设计】1、一次函数与方程：2、一次函数与不等式。【教学反思】通过两个问题提问，学生看出一次函数与一元一次方程的关系，创设情境，引出一次函数与方程有一定的关系，使学生主动投入到一次函数与方程、不等式关系的探索活动中；紧接着，用一连串的问题引导学生自主探索、合作交流，从数和形