高中数学 第一章 集合单元小结学案2 新人教版必修2.doc

第一章 集合本章整合知识建构综合应用专题1集合与方程总结：方程的思想是高考考查的重要数学思想之一,方程知识是高中数学的基础知识,在集合中方程的思想也得到了充分的体现.集合与方程的结合的题目关键是要深刻理解集合的概念,要找到它们的“切合点”.1.集合与韦达定理【例题1】若方程ax2+5x+c=0的解集是,求a,c的值.分析:方程的解集中的元素是方程的解,这是方程与集合知识的一个“切合点”.解：由解集是,可知这是个二次方程,即a0.由韦达定理,有解得a=-6,c=-1.绿色通道本题主要考查的是集合的基本概念与方程的结合,解决这类问题要注意对新学集合的有关基本概念的识记和理解.2.集合与根的判别式【例题2】已知集合a=x|x2+4x=0,集合b=x|x2+2(a-1)x+a2=0,其中xr,若ab=b,求实数a的取值范围.分析:本题先易判断出a=0,-4,再由ab=bba,可得b=,0,-4,0,-4,从而再通过分类讨论得到实数a的取值范围.解：a=0,-4,ab=b,ba.b=,0,-4,0,-4.(1)当b=时,方程x2+2(a-1)x+a2=0无实根,=4(a-1)2-4a2.(2)当b=0或b=-4时,方程有两个相等实根,=4(a-1)2-4a2=0,得a=.代入验证,均不符合.舍.(3)当b=-4,0时,方程x2+2(a-1)x+a2=0的两个根为-4,0,则此时a亦无解.综上,可知a.黑色陷阱利用一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程根的情况,当二次项系数为参数时,一定要先考虑它到底是不是一元二次方程,即二次项系数是不是有可能为零.在解答此题的过程中,往往疏忽对b=进行讨论.3.集合与方程组【例题3】已知集合s=x|2,3,a2+2a-3,a=|a+1|,2,a=a+3,求a的值.分析:根据补集的定义及元素的互异性列出方程组,然后解得a的值.解：由补集概念及集合中元素互异性,知a应满足(1)或(2)在(1)中,由得a=0,依次代入检验.因为a=0不能使成立,所以应舍去.在(2)中,由得a=-3或a=2,分别代入检验.因为a=-3不能使成立,所以应舍去;a=2能同时满足.因此a=2.绿色通道欲求a的值,要充分挖掘补集的含义找出集合a、a与全集s的关系,另外要注意集合中元素的互异性,检验结论的正确性.专题2数形结合解集合问题总结：华罗庚说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,应用数形结合的思想就能扬这两种方法之长,避呆板单调解法之短.在解决问题时,应用数形结合的思想方法,根据一些数量关系作出“形”的解释,发掘其中“形”的因素,以增加解决问题的有效途径.1.数轴在集合中的应用【例题1】已知a=x|x2,b=x|4x+p0,当ba时,求实数p的取值范围.分析:集合a、b都是以不等式给出的数集,欲求实数p,使之满足ba,可先将“定集合a”在数轴上表示,然后再根据集合b中不等式的方向,确定p与集合a中端点-1与2的关系,它体现了数形结合的思想.解：b=x|4x+p0=x,将集合a在数轴上表示出来,如图1-1所示.图1-1ba,-1,即p4,p的取值范围为p4.黑色陷阱不等式表示集合常用数轴的直观图来求解.求解过程中不注意不等式边界值的取舍,是集合运算中常犯的错误.2.venn图的应用【例题2】全集u=x|x是不大于9的正整数,(a)b=1,3,(b)a=2,4,8,(a)(b)=6,9,求集合a、b.分析:根据补集的定义,a、b都是全集u的子集,求集合a、b可以利用元素与集合交集、并集的关系求出a、b中的元素从而解决问题,也可以用venn图法直接得到结果.解法一:u=x|x是不大于9的正整数=1,2,3,4,5,6,7,8,9.(a)b=1,3,(b)a=2,4,8,1,3b,2,4,8a.(a)(b)=(ab)=6,9,ab=1,2,3,4,5,7,8.1,3a,2,4,8b,ab=5,7.a=2,4,5,7,8,b=1,3,5,7.解法二:根据题意画出venn图,如图1-2所示,图1-2a=2,4,5,7,8,b=1,3,5,7.绿色通道直接用元素与交集、并集、补集的关系在求解集合的问题中往往相对困难得多,运用数形结合就能使问题显得简明扼要.进入高中学习后就应该逐步培养数形结合的思想,养成数形结合的习惯.【例题3】某班举行数理化竞赛,每人至少参加一科,已知参加数学竞赛的有27人,参加物理竞赛的有25人,参加化学竞赛的有27人,其中参加数学、物理两科的有10人,参加物理、化学两科的有7人,参加数学、化学两科的有11人,而参加数、理、化三科的有4人,画出集合关系图,并求出全班人数.分析:本题解题的关键是把文字语言转化成集合语言,借助于维恩图的直观性把它表示出来,再根据集合中元素的互异性求出问题的解.正确理解集合的含意,首先是分析集合中的元素有什么特点,一个集合能化简(或求解)的一般应考虑将它化简(或求解),然后再分析集合间的关系,并正确使用各种符号.解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为a、b、c,由题意可知a、b、c三集合中元素个数分别为27、25、27,ab、bc、ac、abc的元素个数分别为10、7、11、4.画出维恩图,如图1-3所示,图1-3可知全班人数为10+13+12+6+4+7+3=55(人).绿色通道能正确使用一些集合符号把文字语言转化成集合语言、图形语言,是把实际问题转化成数学问题的重要一步.专题3集合与分类讨论思想总结：分类讨论思想是高中的重要数学思想之一,分类讨论思想在与集合概念的结合问题主要是以集合作为一个载体,与集合中元素的情况结合加以考查,解决此类问题关键是要深刻理解集合概念,结合集合中元素的特征解决问题.1.由集合的互异性决定分类【例题1】设a=-4,2a-1,a2,b=9,a-5,1-a,已知ab=9,则实数a=_.分析:由ab=9知道a与b集合中均含有9这个元素,从而分类讨论得到不同的a的值,注意集合中元素互异性的运用.解：由ab=9,得2a-1=9,或a2=9,解得a=5,3,-3.当a=5时,a=-4,9,25,b=9,0,-4,ab=9,-4,与ab=9矛盾;当a=3时,a-5=-2,1-a=-2,b中元素重复,舍去;当a=-3时,a=-4,-7,9,b=9,-8,4,满足题设.a=-3.绿色通道本题主要考查了分类讨论的思想在集合中的具体运用,同时应该注意集合中元素的互异性在集合元素的确定中起重要作用.正确理解集合的含义,首先是分析集合中的元素有什么特点,一个集合能化简(或求解)的一般应考虑将它化简(或求解),然后再分析集合间的关系,并正确使用各种符号.黑色陷阱本题在解题过程中易出现的错误:(1)分类讨论过于复杂;(2)不进行检验,导致出现增根;(3)分类讨论之后没有进行总结.2.因空集而引起的讨论【例题2】已知集合a=x|x2+4x=0,b=x|x2+ax+a=0,若ba,求实数a满足的条件.分析:由于集合a可用列举法表示为0,-4,所以b可能等于a,即b=0,-4;b也可能是a的真子集,即b=,或b=0,或b=-4,由此求出实数a满足的条件.解：a=x|x2+4x=0=0,-4,且ba,可得(1)当b=a时,b=0,-4,由此可知,0,-4是方程x2+ax+a=0的两根,由韦达定理,有此方程无解.(2)当ba时,b,即b=0,或b=-4,=a2-4a=0,解得a=0或4,此时b=0,b=-2.b=0,符合题意,即a=0符合题意;b=,则=a2-4a0,解得0a4.综合(1)(2),知a满足的条件是0a4.绿色通道解决这类问题常用到分类讨论的方法.如ab即可分两类:(1)ab;(2)a=b.而对于(1)ab又可分两类:(1)a;(2)a=.从而使问题得到解决.需注意a=这种情况易被遗漏.注意培养慎密的思维品质.解决含待定系数的集合问题时,常常会引起讨论,因而要注意检验是否符合全部条件,合理取舍,谨防增解.3.讨论方程解的情况【例题3】集合a由kx2-3x+2=0的解构成,其中kr,若a中的元素至多有一个,求k值的范围.分析:方程的解是集合中的元素,讨论集合中元素的情况即讨论方程解的情况.解：若k=0,则x=.知a中有一个元素,符合题设;若k0,则方程为一元二次方程.当=9