高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例 导数实际应用中的三类问题素材 新人教A版选修11.doc

3.4 生活中的优化问题举例导数实际应用中的三类问题导数有着广泛的应用,比如:一.最优化问题例1. 从一块边长为a的正三角形铁皮的三个角上截去三个同样大小的四边形（如图),然后按虚线把三边折起做成一个无盖的正棱柱形盒子，要截去多大的小四边形方使盒子容积最大？分析: 将四边形分解成两个全等的直角三角形，将盒子高作为自变量，体积作为因变量，建立函数关系，运用导数求解解: 设盒子的高为x,则盒子的底面边长为(), 得x或x.v在x(0,)上为增函数，在(,)上为减函数，v在x=处取得最大值，此时小四边形面积.答：截去三个面积都为的四边形时，盒子的容积最大.评析: 解空间几何体有关的最值问题，要熟悉相关几何体的形和数的特征二.学科间综合问题例2.如图,已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长分析:由抛物线y=4-x2的图象性质可知，矩形是关于y轴对称的，设矩形的长为2x，则宽为4-x2，利用面积公式，运用导数求解解: 设矩形的长为2x，则宽为4-x2,矩形面积s=2x(4-x2）=8x-2x3 (0x2),=8-6x2,令0得- x ,s在(0, )上为增函数，在(，2)上为减函数当x=时，矩形面积最大.答: 当矩形的长、宽分别为和时矩形面积最大.评析: 这是与解析几何有关的问题，本题充分利用了抛物线的图形特征和数量特征三.方案设计类例3. 有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）.（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积v1；（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积v2v1.分析: 本例主要考查利用导数研究函数单调性、求最值等基础知识，解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，若在函数的定义域内函数只有一个极值点，该极值点即为函数的最值点.在第(2)问中,有多种设计方案,哪一种容器的容积最大呢?当然,原材料不浪费的情况下,最为优化.解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为42x，高为x，v1=（42x）2x=4（x34x2+4x）（0x2）.v1=4（3x28x+4）.令v1=0，得x1=，x2=2（舍去）.而v1=12（x）（x2），又当x时，v10；当x2时，v10，当x=时，v1取最大值.（2）重新设计方案如下：如图，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图，将图焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积v2=321=6，显然v2v1.故第二种方案符合要求.解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽