《垂直于弦的直径》教学设计.1.2垂直于弦的直径.doc

垂直于弦的直径 蓬鸥中学 黄思洁教学目标：1理解圆的轴对称性，在经历探索圆的对称性及相关性质的过程中，培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性。2掌握垂径定理及推论，学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题，从中让学生学会运用文字、 图形结合认识新知。3. 经历“（由）垂径定理构造直角三角形（结合）勾股定理建立方程”的过程，感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力。教学重点：掌握垂径定理及推论。教学难点：结合垂径定理判断出命题中的题设和结论，及应用垂径定理解决问题。教学过程活动1 实践操作，探索新知 1.实验归纳探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？结论：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴。（注：提醒学生对称轴是直线。）圆的对称轴有无数条。证明：O关于直线CD对称 （分析：只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上）【设计意图】：让学生在探究中得出结论，并证明圆是轴对称图形，掌握证明一个图形是轴对称图形的常用方法。2探究新知 演示：将圆沿直径CD对折学生用折叠圆的方法去观察比较，猜想结论。小组合作交流，展示交流成果，思考：根据轴对称性，取对称点，找出图中相等的线段和弧观察：图形重合部分（轴对称、A与A重合）猜想证明：线段相等、弧相等 师生结合动画演示，验证猜想的正确性； 然后引导学生分析上述命题的条件和结论：即由一条直线若满足：（1）过圆心，（2）垂直于弦；则可以推出：（3）平分弦，（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧。归纳：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。【设计意图】：利用多媒体的动画演示，让学生在动感变化中去体会用“叠合法”证明垂径定理在整个活动中从学生观察课件演示开始，然后思考、交流、论证、总结，让学生充分体验到知识的形成过程。而分析垂径定理中的题设和结论的过程，既可以加深学生对定理的理解，又为学习推论作好准备。3巩固定理O中,CD是直径，ABCD.图中相等的线段有 _，相等的弧有 _。 如图，在O中，AB是弦， OCAB于点C，AB=8，BC=_=_ OB=5在RtOCB中，OC=_=_【设计意图】：学生解答借助这两道简单的填空题的过程中，既巩固了垂径定理，又加深对定理中题设和结论的理解。其中第2题直接构造了直角三角形，引导学生利用勾股定理解决问题，同时为更好地解答课本第83页练习1做了铺垫.活动2 例题示范，学以致用1、 课本第83页 练习1：在O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OD=3，求O的半径。【分析】连结OA,构造直角三角形，运用勾股定理来解决。 2、解决求赵州桥拱半径的问题例2：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约1400年的历史，是我国古人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）【分析】解决这个问题的关键是要根据赵州桥的实物图抽象出几何图形，把实际问题转化为数学问题把这个问题中的已知什么和欲求什么转化为数学问题的已知和求解，因此要画出图形，并结合图形写出已知、求解；其次再讨论如何解决这个问题；最后才写出解题过程。3、师生共同完成解题后，引导学生进行归纳：解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。 【设计意图】：利用学生所学的数学知识，解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，同时通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验，逐步将数学知识转化为数学技能。4、拓宽思维 交换垂径定理中的条件和结论，由一条直线若满足：（1）过圆心；（2）平分弦；则可以推出：（1）垂直于弦，（2）平分弦所对的劣弧；（3）平分弦所对的优弧，结论是否依然成立?教师按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论。启发发学生利用圆的轴对称性来证明问题，得出垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。【设计意图】：利用刚学的垂径定理交换题设和结论，巩固了学生对垂径定理的题设和结论的掌握，也可以顺利地过渡到垂径定理的推理。同时在归纳垂径定理的推论时注意强调容易忽视“不是直径”这一条件。活动3：运用知识，解决问题：1、判断下列命题：（1）平分弦的直线，必定过圆心。（2）平分弦的直线，垂直于这条弦。（3）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。【设计意图】：学生结合垂径定理学生很容易判断这几个命题，可以通过这个活动进一步分清定理的题设和结论。教师强调在垂径定理中“垂”和“径”缺一不可。2、课本第83页 练习第2题：如图，在O中，AB,AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB,OEAC,垂足分别为D、E.求证：四边形ADOE是正方形.活动4 归纳小结，形成技能学生自己总结，并在全班交流，小结归纳： 1、圆是轴对称图形； 2、要分清垂径定理的题设和结论，了解垂径定理的直接应用； 3、掌握利用垂径定理解题时做辅助线的方法：解决有关弦的问题，经常是构造直角三角形，利用或是过圆心作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连结半径等辅助线构造直角三角形，为应用垂径定理创造条件。【设计意图】：学生总结的大多是本节课知识方面的收获，探索过程中的经验和教训，教师要引