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2.1.1 简单形式的柯西不等式一、选择题1.下列说法:二维形式的柯西不等式中a,b,c,d没有取值限制.二维形式的柯西不等式中a,b,c,d只能取数,不能为代数式.柯西不等式的向量式中取等号的条件是.其中正确的个数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.0个解析由柯西不等式的概念知,只正确,a,b,c,d是实数,没有其取值限制.答案A2.函数y的最小值是()A.20 B.25 C.27 D.18解析y2x(12x)()2()2(23)225.答案B3.设a、b(0,),且ab,P,Qab,则()A.PQ B.PQC.P0,b0,ab0.ab.又ab,而等号成立的条件是,即ab,ab.即PQ.答案A二、填空题4.设a、b、c是正实数,且abc9,则的最小值是_.解析(abc)()2()2()218.2.答案25.若a2b2c22,x2y2z24,则axbycz的取值范围是_.解析(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2,(axbycz)28,2axbycz2.答案2,26.设a,b,m,nR,且a2b25,manb5,则的最小值为_.解析运用柯西不等式求解.根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2),得255(m2n2),m2n25,的最小值为.答案三、解答题7.若2x3y1,求4x29y2的最小值,并求出最小值点.解由柯西不等式(4x29y2)(1212)(2x3y)21,4x29y2.当且仅当2x13y1,即2x3y时取等号.由得4x29y2的最小值为,最小值点为.8.设a,b(0,),若ab2,求的最小值.解(ab)()2()2(11)24.24,即2.当且仅当,即ab时取等号,当ab1时,的最小值为2.9.已知a2b21,a,bR,求证:|acos bsin |1.证明(acos b
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