2010-2015新课标数学全国卷分类汇编详解(解析几何).doc

2016届数学HW复习资料 2010-2015新课标全国卷分类汇编（解析几何） 解析几何2010-2015新课标全国卷分类汇编（解析几何）1.(2015课标全国，理5) 已知是双曲线上的一点，是的两个焦点，若,则的取值范围是（A) (B) (C) (D) 答案：A解析：由条件知F1(3，0)，F2(3，0)，MF1(3x0，y0)，MF2(3x0，y0)，MF1MF2x02+y0230.又x022-y021，x022y02+2.代入得y0213，33y033.2.(2015课标全国，理14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 答案：x-322+y2254解析：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0，2)，设圆心为(a，0)(a0)，所以(a-0)2+(0-2)24a，解得a32，故圆心为32，0，此时半径r43252，因此该圆的标准方程是x-322+y2254.3. (2015课标全国，理20)在直角坐标系中，曲线与直线交于两点。()当时，分别求在点和处的切线方程.()轴上是否存在点，使得当变动时，总有说明理由。解：(1)由题设可得M(2a，a)，N(2a，a)，或M(2a，a)，N(2a，a).又yx2，故yx24在x2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为yaa(x2a)，即axya0.yx24在x2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为yaa(x+2a)，即ax+y+a0.故所求切线方程为axya0和ax+y+a0.5分(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykx+a代入C的方程得x24kx4a0.故x1+x24k，x1x24a.从而k1+k2y1-bx1+y2-bx22kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2k(a+b)a.当ba时，有k1+k20，则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意.12分4.(2015课标全国，理7)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A26B8C46D10答案：C解析：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，将点A，B，C代入，得D+3E+F+100，4D+2E+F+200，D-7E+F+500，解得D-2，E4，F-20.则圆的方程为x2+y22x+4y200.令x0得y2+4y200，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1，y2是方程y2+4y200的两根，由根与系数的关系，得y1+y24，y1y220，故|MN|y1y2|(y1+y2)2-4y1y216+8046.5. (2015课标全国，理11)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A5B2C3D2答案：D解析：设双曲线的标准方程为x2a2-y2b21(a0，b0)，点M在右支上，如图所示，ABM120，过点M向x轴作垂线，垂足为N，则MBN60.ABBM2a，MN2asin 603a，BN2acos 60a.点M坐标为(2a，3a)，代入双曲线方程x2a2-y2b21，整理，得a2b21，即b2a21.e21+b2a22，e2.6(2015课标全国，理20)已知椭圆C：9x2+y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点m3，m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形?若能，求此时l的斜率;若不能，说明理由.解：(1)设直线l：ykx+b(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).将ykx+b代入9x2+y2m2得(k2+9)x2+2kbx+b2m20，故xMx1+x22-kbk2+9，yMkxM+b9bk2+9.于是直线OM的斜率kOMyMxM9k，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点m3，m，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为y9kx.设点P的横坐标为xP.由y-9kx，9x2+y2m2得xP2k2m29k2+81，即xPkm3k2+9.将点m3，m的坐标代入l的方程得bm(3-k)3，因此xMk(k-3)m3(k2+9).四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是km3k2+92k(k-3)m3(k2+9)，解得k147，k24+7.因为ki0，ki3，i1，2，所以当l的斜率为47或4+7时，四边形OAPB为平行四边形.7.(2014课标全国，理4)已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A B3 C D3m答案：A解析：由题意，可得双曲线C为，则双曲线的半焦距.不妨取右焦点，其渐近线方程为，即.所以由点到直线的距离公式得.故选A.8.(2014课标全国，理10)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若，则|QF|()A B3 C D2答案：B解析：如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p|FM|4.过Q作QHl于H，则|QH|QF|.由题意，得PHQPMF，则有，|HQ|3.|QF|3.9.(2014课标全国，理20)已知点A(0，2)，椭圆E：(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程分析：(1)由过A(0，2)，F(c,0)的直线AF的斜率为或过两点的直线斜率公式可求c，再由，可求a，由b2a2c2可求b2，则椭圆E的方程可求(2)由题意知动直线l的斜率存在，故可设其斜率为k，写出直线方程，并与椭圆方程联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，利用弦长公式求出弦PQ的长|PQ|，利用点到直线的公式求出点O到直线PQ的距离d，则由，可将SOPQ表示成关于k的函数，转化为求函数f(k)的最大值问题注意k应使得一元二次方程的判别式大于0.解：(1)设F(c,0)，由条件知，得.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即时，.从而.又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积SOPQ.设，则t0，.因为，当且仅当t2，即时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为或.10.(2014课标全国，理10)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A B C D答案：D解析：由已知得，故直线AB的方程为，即.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立将代入并整理得，线段|AB|x1x2p12.又原点(0,0)到直线AB的距离为.11.(2014课标全国，理16)设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_答案：1,1解析：如图所示，设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P，则点P在圆O上，且MP与圆O相切，而点M在直线y1上运动，由圆上存在点N使OMN45，则OMNOMPOMA，OMA45，AOM45.当AOM45时，x01.结合图象知，当AOM45时，1x01，x0的范围为1,112.(2014课标全国，理20)设F1，F2分别是椭圆C：(ab0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.分析：在第(1)问中，根据椭圆中a，b，c的关系及题目给出的条件可知点M的坐标，从而由斜率条件得出a，c的关系，再利用离心率公式可求得离心率，注意离心率的取值范围；在第(2)问中，根据题目条件，O是F1F2的中点，MF2y轴，可得a，b之间的一个关系式，再根据条件|MN|5|F1N|，可得|DF1|与|F1N|的关系，然后可求出点N的坐标，代入C的方程，可得a，b，c的另一关系式，最后利用a，b，c的关系式可求得结论解：(1)根据及题设知，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得， (舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|，设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方程，得.将及代入得.解得a7，b24a28，故a7，.13.(2013课标全国，理4)已知双曲线C：(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ay By Cy Dyx答案：C解析：，.a24b2，.渐近线方程为.14.(2013课标全国，理10)已知椭圆E：(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A B C D答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在椭圆上，得，即，AB的中点为(1，1)，y1y22，x1x22，而kAB，.又a2b29，a218，b29.椭圆E的方程为.故选D.15.(2013课标全国，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解：由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|.若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得，解得k.当k时，将代入，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|AB|.当时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|或|AB|.16.(2013课标全国，理11)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x答案：C解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x05，则x05.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(xx0)(yy0)y0.将x0，y2代入得px084y00，即4y080，所以y04.由2px0，得，解之得p2，或p8.所以C的方程为y24x或y216x.故选C.17(2013课标全国，理12)已知点A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0,1) BC D答案：B18.(2013课标全国，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(ab0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则，由此可得.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为y，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|.由已知，四边形ACBD的面积.当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.19.(2012课标全国，理4)(设是椭圆 的左右焦点，为直线上的一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为A.B.C.D.【解析】选C.画图易得,是底角为的等腰三角形可得，即, 所以.20.(2012课标全国，理8)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，则的实轴长为A.B. C. D. 【解析】选C.易知点在上，得，.21.(2012课标全国，理20)设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、两点() 若，面积为，求的值及圆的方程；()若、三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，的距离的比值. 解: ()由对称性可知,为等腰直角三角形,斜边上的高为,斜边长.点到准线的距离.由得, ,.圆的方程为. ()由对称性,不妨设点在第一象限,由已知得线段是圆的在直径,代入抛物线得.直线的斜率为.直线的方程为.由 得,.由得, .故直线与抛物线的切点坐标为,直线的方程为.所以坐标原点到，的距离的比值为.22.(2011课标全国，理7)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（A） （B） （C）2 （D）3【解析】：通径，得，选B23.(2011课标全国，理14)在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线 交于两点，且的周长为16，那么的方程为 。解析：由得a=4.c=,从而b=8,为所求。24. (2011课标全国，理2